2.1.2指数函数比较大小_图文

▲ 指数函数y=ax (a>0且a ≠1)的图像和性质
0<a<1 a>1

图 像

定 义 域 值 域

R (0,+∞)

R (0,+∞)

0 函 1)过定点(0,1)即 x=0时,y=a =1 1)过定点(0,1)即 x=0时,y=a0=1 数 2)当x>0时,0<ax<1;当x<0时,ax>1 2)当x>0时,ax>1;当x<0时,0<ax<1 性 质 3)在R上是减函数 3)在R上是增函数

指数函数 性质运用
-----比较大小

函数单调性逆用
若f ( x)在D上是减函数,且 x1 ? x2,则f ( x1 )
f ( x1 ) ? f ( x2 ),则x1 (2)若 f ( x)在D上是增函数,且

x1 ? x2,则f ( x1 ) (1)若 f ( x)在D上是增函数,且

< >

f ( x2 )

f ( x2 )



< x2 f ( x)在D上是减函数,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ),则x1 > x2

一、新课
比较下列函数值的大小 底数相同,指数不同

例1: 1.7 与1.7

2.5

3

分析:利用函数单调性,1.7 2.5 与 1.7 3 的底数是1.7, 它们可以看成函数 y=

1.7

x

当x=2.5和3时的函数值;
5 4.5

?函数y=1.7
1 .7
?

? 1.7>1,

4

x

3.5

在R上是增函数,

f?x? = 1.7x
2.5 2 1.5 1

3

而2.5<3,所以
2.5 <

1.7

3
-2 -1

0.5

0
-0.5

1

2

3

4

5

6

2.5 3

(1)

?

?0.3
____

>

__

?

?0.5

(2)0.8

?0.1

< 0.8

?0.2

2 0.3 (3) ( ) 2

<

2 ?0.6 ( ) 2

底数相同,指数不同的函数值的大小比较方 法是什么呢? 构造出相应的指数函数,利用指数函数的单 调性比较函数值的大小。 当底数a >1时,指数越大,函数值越大

当0 < a <1 时,指数越大,函数值越小

( x ? 1) ( 1)
2

m

5 m ( ) < > ( x ? 1) (m ? n) (2) 7
2 n

5 n ( ) (m ? n) 7

(3)比较 ( x ? 2x ? 3) , ( x ? 2x ? 3)
2 0.5 2

0.7

的大小。

? x 2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1) 2 ? 2 ? 1 ?函数y ? ( x 2 ? 2 x ? 3) x 在R上是增函数 ? 0.5 ? 0.7

? ( x 2 ? 2 x ? 3) 0.5 ? ( x 2 ? 2 x ? 3) 0.7

(4)比较

a

?0.8

,a

?0.7

的大小

当a ? 1,函数y ? a x在R上是增函数, ? ?0.8 ? ?0.7, ? a ?0.8 ? a ?0.7
当0 ? a ? 1,函数y ? a x在R上是减函数, ? ?0.8 ? ?0.7, ? a ?0.8 ? a ?0.7

( 1)

> n 若2 m ? 2 n , 则m ___

< n ( 2) 若0.2m ? 0.2n , 则m ___
( 3) 若a m ? a n , 则m ___ > n(0 ? a ? 1)
(4) 若a ? a , 则m ___ < n(a ? 1)
m n

(1 ? m) ( 5)

2

1 ? m) (?1 ? m ? 0) >(
3

单调性逆用:比较 自变量大小

2.5

1.7

3

1.7

指数相同,底数不同

法一: 图象法 法二: 作商法 (两个指数式的商与1比较)
2.51.7 2.5 1.7 ? 1.7 ? ( ) , 3 3
5 x 根据函数y ? ( ) 的性质,当x ? 0时,0 ? y ? 1 6 5 1.7 ? 0 ? ( ) ? 1,即2.51.7 ? 31.7 6 0.3 0.3 ?0.3

练习:

2

< 3

0.7

< 0.4

?0.3

1.7

0.3

0.9
0.3

3.1

底数不同,指数不同

分析: 1.7

0 3.1 1 . 7 > 0 . 9 0 . 9 > = 1 =

0

?1.7 ? 1.7 ? 1,
0.3 0

1 ? 0.9 ?
0

0.9

3.1

?1.7 ? 0.9 7 练习: 30.8 ____ > 0.2
0.3

3.1

2 ____ > 0.5

0.8

0.7

1 2

<

3

3

是否所有的底数不同,指数不同的两个指数式的大小比 较都采用这种方法呢?例如: 1618 和1816 呢?

二、基础训练 三、拓展训练
0.9 0.48 ?1.5 ,则( y ? 4 , y ? 8 , y ? 0 . 5 2、设 1 2 3



A、y3 ? y1 ? y 2

B、 y 2 ? y1 ? y3 C、 y1 ? y 2 ? y3 D、 y1 ? y3 ? y 2

2 x ?7 4 x ?1 a ? a (a?0, 且a ? 1) 中x的 3、(1)求不等式

取值范围; 3 x ?1 2x (2 ) 设 y1 ? a , y2 ? a ,其中 (a?0, 且a ? 1) ,确定x为何值时,有 y1 ? y2 , y1 ?
y2

四、课堂小结
(一)、底数相同,指数不同
构造出相应的指数函数,利用指数函数的单调 性比较函数值的大小。

(二)指数相同,底数不同
一般采取图象法和作商法(结果与1比较)

(三)指数不同,底数不同
找出中间值(一般为1),把这个中间值与原来两个数值 分别比较大小,然后确定原来两个数值的大小关系.

五、课后作业
P59A组:7、8

P60B组:1、4


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