高三数学一轮复习 3.2同角三角函数的基本关系与诱导公式课件_图文

[备考方向要明了] 考什么 1. 能 利用 单位圆 中的三 数基本关系式解决条件求值 π 角函数线推导出 ± α, 问题,主要包括知角求值、 2 π±α 的正弦、余弦、正 知值求角和知值求值. 切的诱导公式. 2.作为一种运用与三角恒等变 2.理解同角三角函数的 换相结合出现在解答题中, 2 基本关系式:sin x+ 主要起到化简三角函数关系 sin x 2 cos x=1, =tan x. 式的作用,如2012年高考 cos x 怎么考 1.利用诱导公式及同角三角函 T15,2011年高考T15. [归纳 知识整合] 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系: sin2α+cos2α =1; (2)商数关系:tan α= sin α . cos α [探究] 1.如何理解基本关系中“同角”的含义? 提示:只要是同一个角,基本关系就成立,不拘泥于角 sin 4α 2α 2α 的形式,如 sin +cos =1,tan 4α= 等都是成立的, 3 3 cos 4α 而 sin2θ+cos2φ=1 就不成立. 2.诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ+α (k∈Z) 二 π+α 三 -α 四 π-α 五 π -α 2 六 π +α 2 sin α cos α tan α -sin α -cos α tan α -sin α sin α cos α cos α cos α -cos α sin α -sin α -tan α -tan α 函数名改变符号 看象限 函数名不变符号看象限 即 α+k·2π(k∈Z),-α,π±α 的三角函数值,等于 α 的 同名函数值,前面加上一个把 α 看成 锐角 时原函数值的符 π 号;2± α 的正弦(余弦)函数值,分别等于 α 的余弦(正弦)函数 值,前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号. [探究] 2.有人说sin(kπ-α)=sin(π-α)=sin α(k∈Z), 你认为正确吗? 提示:不正确.当k=2n(n∈Z)时,sin(kπ-α)= sin(2nπ-α)=sin(-α)=-sin α; 当k=2n+1(n∈Z)时,sin(kπ-α)=sin[(2n+1)·π-α]= sin(2nπ+π-α)=sin(π-α)=sin α. 3.诱导公式的口诀“奇变偶不变,符号看象限”中 的“符号”是否与α的大小有关? 提示:无关,只是把 α 从形式上看作锐角,从而 2kπ π π +α(k∈Z),π+α,-α,π-α, -α, +α 分别是第一, 2 2 三,四,二,一,二象限角. [自测 牛刀小试] 1 1. (教材习题改编)已知 cos(π+α)= , 则 sin α 的值为_______. 2 1 1 解析: cos(π+α)=-cos α= ,∴cos α=- , 2 2 3 ∴sin α=± 1-cos α =± . 2 3 答案:=± . 2 2.tan 690° 的值为________. 2 解析: tan 690° =tan(-30° +2×360° )=tan(-30° )= 3 -tan 30° =- . 3 3 答案:=- . 3 sin α-cos α 3.(教材习题改编)若 tan α=2,则 的值为____. sin α+cos α sin α-cos α tan α-1 2-1 1 解析: = = = . sin α+cos α tan α+1 2+1 3 1 答案:= . 3 3 4.(教材习题改编)已知 tan α= 3,π<α< π,则 cos α- 2 sin α=________. 3 4 解析:∵tan α= 3,π<α< π,∴α= π, 2 3 4 4 ∴cos α-sin α=cos π-sin π 3 3 3-1 π π 1 3 =-cos +sin =- + = . 3 3 2 2 2 3-1 答案: 2 ? 19π? ? 13π? 10π 5.计算 sin - 2cos?- 4 ?+tan?- 3 ?=________. 3 ? ? ? ? ? 4π? 解析: 原式=sin?2π+ 3 ?- ? ? ? π? =sin?π+3 ?- ? ? ? ? 3π? π? 2cos?4π+ 4 ?-tan?4π+3 ? ? ? ? ? ? π? π ? ? 2cos π-4 -tan 3 ? ? π π 3 3 =-sin + 2cos - 3=- +1. 3 4 2 3 3 答案:- +1 2 同角三角函数关系式的应用 1 [例 1] 已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α= . 5 (1)求 tan α 的值; 1 (2)把 2 2 用 tan α 表示出来,并求其值. cos α-sin α [自主解答] (1)法一: ① ② 1 ? ?sin α+cos α= , 5 联立方程? 2 2 ? ?sin α+cos α=1, 1 由①得 cos α= -sin α, 5 将其代入②,整理得 25sin2α-5sin α-12=0. ∵α 是三角形内角, 4 ? ?sin α=5, ∴? ?cos α=-3, 5 ? 4 ∴tan α=- . 3 1 法二:∵sin α+cos α= , 5 ∴(sin α+cos α) 2 ?1?2 =?5? ,即 ? ? 1 1+2sin αcos α= , 25 24 ∴2sin αcos α=- , 25 24 49 ∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+ = . 25 25 12 ∵sin αcos α=- <0 且 0<α<π, 25 ∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α>0. 7 ∴sin α-cos α= . 5 ?sin α+cos α=1, ? 5 由? ?sin α-cos α=7,

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