高中数学 1.6 三角函数模型的简单应用习题1 新人教A版必修4

1.6 三角函数模型的简单应用
考查知识点及角度 基础 函数的图象、 解析式问题 函数模型的应用 拟合函数问题 4、5 1、3 2 难易度及题号 中档 6、7 8、9 10 稍难

1.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s(cm) π? ? 和时间 t(s)的函数解析式为 s=6sin?2π t+ ?,那么单摆来回摆动一 6? ? 次所需的时间为( A.2π s C.0.5 s ) B.π s D.1 s

2π 解析:单摆摆动一次所需时间即该函数的一个周期,即 T= =1(s). 2π 答案:D 2.发电厂发出的电是三相交流电,它的三根导线上的电流强度分别是时间 t 的函数:

IA=Isin ω t,IB=Isin(ω t+120°),IC=Isin(ω t+240°),则 IA+IB+IC 的值为(
A.I C.0 B. 3I D.不能确定

)

解析:由题意得到结果与 t 的取值无关,所以可令 t=0,则 IA+IB+IC=Isin 120°+

Isin 240°=0.
答案:C 3.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十 字路口的车流量由函数 F(t)=50+4sin (0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分,t 的单位 2 是分,则下列哪个时间段内车流量是增加的?( A.[0,5] C.[10,15] ) B.[5,10] D.[15,20]

t

π t π 解析:由 2kπ - ≤ ≤2kπ + (k∈Z)得 4kπ -π ≤t≤4kπ +π ,k∈Z,当 k=1 2 2 2 时,[10,15]? [3π ,5π ],所以在[10,15]内车流量增加. 答案:C

3 4.振动量函数 y= 2sin(ω x+φ )(ω >0)的初相和频率分别为-π 和 ,则它的相位 2 是________. 1 2 2π 解析:T= = ,∴ω = =3π .∴相位 ω x+φ =3π x-π . f 3 T 答案:3π x-π 5.如图,点 P 是半径为 r 的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置 P0 开始,按逆时针 方向以角速度 ω (rad/s)做圆周运动,则点 P 的纵坐标 y 关于时间 t 的函数关系式为 ______________.

解析: 当质点 P 从 P0 转到点 P 位置时, 点 P 转过的角度为 ω t, 则∠POx=ω t+φ , 由 任意角的三角函数定义知 P 点的纵坐标 y=rsin(ω t+φ ). 答案:y=rsin(ω t+φ ) 6.如图所示,某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似地满足函数 y=Asin(ω t+ φ )+b(0<φ <2π ).

(1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. 解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是 30-10=20(℃). (2)∵从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin(ω x+φ )+b 的半个周期的图象, 1 ∴ T=14-6. 2 π 1 1 ∴T=16,ω = ,A= (30-10)=10,b= (30+10)=20. 8 2 2

?π ? 此时 y=10sin? x+φ ?+20. 8 ? ?
3π 将 x=6,y=10 代入上式,得 φ = . 4 综上,所求的解析式为

? y=10sin? x+
π ?8

3π ? ?+20,x∈[6,14]. 4 ?

7.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆 时针方向旋转一周,点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则 函数 d=f(l)的图象大致是( )

解析:令 AP 所对圆心角为 θ ,由|OA|=1, θ d 得 l=θ ,sin = , 2 2 θ l ∴d=2sin =2sin . 2 2 即 d=f(l)=2sin (0≤l≤2π ),它的图象为 C. 2 答案:C 8.如图是弹簧振子做简谐振动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振动的位移, 则这个振子振动的函数解析式是____________________.

l

解析:由题图可设 y=Asin(ω t+φ ),则 A=2, 又 T=2(0.5-0.1)=0.8, 2π 5 所以 ω = = π . 0.8 2

?5 ? 所以 y=2sin? π t+φ ?. ?2 ?
将点(0.1,2)代入 y=2sin? π? ? 得 sin?φ + ?=1, 4? ? π π 所以 φ + =2kπ + ,k∈Z. 4 2 π 即 φ =2kπ + ,k∈Z, 4 π 令 k=0 得,φ = . 4

?5π t+φ ?中, ? ? 2 ?

所以 y=2sin?

?5π t+π ?. 4? ? 2 ? ?5π t+π ? ? 4? ? 2

答案:y=2sin?

9. 据市场调查, 某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上, 按月呈 f(x)=Asin(ω x π? ? +φ )+B?A>0,ω >0,|φ |< ?的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 9 千元, 2? ? 7 月 份 价 格 最 低 为 5 千 元 , 根 据 以 上 条 件 可 确 定 f(x) 的 解 析 式 为 ____________________________. 解析:由题可知 =7-3=4,∴T=8. 2 5+9 =B, ? ? 2 2π π ∴ω = = .又? T 4 9-5 ? ? 2 =A,

T

∴?

? ?A=2, ?B=7. ?

?π ? 即 f(x)=2sin? x+φ ?+7.(*) ?4 ?
又过点(3,9),代入(*)式得 sin? 由

?3π +φ ?=1. ? ? 4 ?

3π π π π +φ =2kπ + (k∈Z),且|φ |< ,∴φ =- . 4 2 2 4

π? ?π * 即 f(x)=2sin? x- ?+7(1≤x≤12,x∈N ). 4 4? ? π? ?π * 答案:f(x)=2sin? x- ?+7(1≤x≤12,x∈N ) 4? ?4

10.当我们所处的北半球为冬季的时候,新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏,因此北半球的 人们冬天愿意去那里旅游,下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表.

x(月份) t(气温)

1 17.3

2 17.9

3 17.3

4 15.8

5 13.7

6 11.6

x(月份) t(气温)

7 10.06

8 9.5

9 10.06

10 11.6

11 13.7

12 15.8

(1)根据这个统计表提供的数据,为惠灵顿的月平均气温作出一个函数模型; (2)当自然气温不低于 13.7℃时, 惠灵顿市最适宜于旅游, 试根据你所确定的函数模型, 确定惠灵顿市的最佳旅游时间.

解:(1)以月份 x 为横轴,温度 t 为纵轴作出图象,并以光滑的曲线连接诸散点,得如 图所示的曲线.

由于各地月平均气温的变化是以 12 个月为周期的函数,依散点图所绘制的图象,我们 可以考虑用 t=Acos(ω x+φ )+k 来描述. 由最高气温为 17.9℃,最低气温为 9.5℃, 17.9-9.5 17.9+9.5 则 A= =4.2;k= =13.7. 2 2 2π π 显然 =12,故 ω = . ω 6 又 x=2 时图象居最高点,依 ω x+φ =0, π π 得 φ =-ω x=- ×2=- . 6 3 所以 t=4.2cos?

?π x-π ?+13.7 为惠灵顿市的常年气温模型函数式. ? 3? ? 6

(2)如图所示,作直线 t=13.7 与函数图象交于两点,(5,13.7),(11,13.7). 这说明在每年的十一月初至第二年的四月末气温不低于 13.7℃,是惠灵顿市的最佳旅 游时间.

实际生活中具有周期性的现象往往可以借助三角函数模型来描述. 三角函数模型构建的步骤: (1)收集数据,观察数据,发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图,选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题. (4)根据问题的实际意义,对答案的合理性进行检验.


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