2017


4.3.1 空间直角坐标系
4.3.2 空间两点间的距离公式 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.在空间直角坐标系中,点 P(1,3,-5)关于平面 xOy 对称的点的坐标是 ( A.(-1,3,-5) C.(1,-3,5) B.(1,3,5) D.(-1,-3,5) )

【解析】 P(1,3,-5)关于平面 xOy 对称的点的坐标为(1,3,5). 【答案】 B 2.点 P? A. C. 30 6 33 6
2 2

3 2? ? 6 , , ?到原点 O 的距离是( 3 2? ?6 B.1 D.
2

)

35 6

【解析】 |PO|= 【答案】 B

? 6? ? 3? ? 2? ? ? +? ? +? ? =1. ?6? ?3? ?2?
)

3.与 A(3,4,5),B(-2,3,0)两点距离相等的点 M(x,y,z)满足的条件是( A.10x+2y+10z-37=0 B.5x-y+5z-37=0 C.10x-y+10z+37=0 D.10x-2y+10z+37=0 【解析】

由|MA|=|MB|,得(x-3) +(y-4) +(z-5) =(x+2) +(y-3) +z ,化

2

2

2

2

2

2

简得 10x+2y+10z-37=0,故选 A. 【答案】 A 4.已知点 A(1,a,-5),B(2a,-7,-2),则|AB|的最小值为( A.3 3 C.2 3 【解析】 |AB|= ?2a-1? +?-7-a? +?-2+5? = 5a +10a+59
1
2 2 2 2

)

B.3 6 D.2 6

= 5?a+1? +54, 当 a=-1 时,|AB|min= 54=3 6. 【答案】 B 5.如图 4?3?3,在空间直角坐标系中,有一棱长为 a 的正方体 ABCD?A1B1C1D1,A1C 的中 点 E 到 AB 的中点 F 的距离为( )

2

图 4?3?3 A. 2a C.a B. 2 a 2

1 D. a 2

【解析】 由题意得 F?a, ,0?,A1(a,0,a),C(0,a,0), ? 2 ?

?

a

?

?a a a? ∴E? , , ?,则|EF|= ?2 2 2?
【答案】 B 二、填空题

?a-a? +?a-a? +?0-a? = 2a. ? 2? ?2 2? ? 2? 2 ? ? ? ? ? ?

2

2

2

6.点 P(1,2,-1)在 xOz 平面内的射影为 B(x,y,z),则 x+y+z=________. 【解析】 点 P(1,2,-1)在 xOz 平面内的射影为 B(1,0,-1),∴x=1,y=0,z=- 1,∴x+y+z=1+0-1=0. 【答案】 0 7.在空间直角坐标系中,以 O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2)为一个三棱锥 的顶点,则此三棱锥的表面积为________. 【解析】 S△AOC=S△BOC=S△AOB 1 = ×2×2 2 =2,

S△ABC=

3 3 2 ×|AB| = ×8=2 3, 4 4

故三棱锥的表面积 S=6+2 3. 【答案】 6+2 3 三、解答题
2

8.已知点 A(-4,-1,-9),B(-10,1,-6),C(-2,-4,-3),判断△ABC 的形 状. 【解】 |AB|= ?-4+10? +?-1-1? +?-9+6? = 49, |BC|= ?-10+2? +?1+4? +?-6+3? = 98, |AC|= ?-4+2? +?-1+4? +?-9+3? = 49. 因为|AB|=|AC|,且|AB| +|AC| =|BC| , 所以△ABC 为等腰直角三角形. 9.如图 4?3?4,在空间直角坐标系中,BC=2,原点 O 是 BC 的中点,点 D 在平面 yOz 内,且∠BDC=90°,∠DCB=30°,求点 D 的坐标.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

图 4?3?4 【解】 过点 D 作 DE⊥BC,垂足为 E. 在 Rt△BDC 中,∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得|BD| =1,|CD|= 3,∴|DE|=|CD|sin 30°= 1 1 =|OB|-|BD|cos 60°=1- = , 2 2 1 3? ? ∴点 D 的坐标为?0,- , ?. 2 2? ? [能力提升] 10.在空间直角坐标系中,一定点 P 到三个坐标轴的距离都是 1,则该点到原点的距离 是( A. ) 6 2 3 2 B. 3 6 3
2

3 ,|OE|=|OB|-|BE| 2

C.

D.
2

x +y =1, ? ? 2 2 【解析】 设 P(x,y,z),由题意可知?y +z =1, ? ?x2+z2=1,
3 6 2 2 2 2 2 2 ∴x +y +z = ,∴ x +y +z = . 2 2

3

【答案】 A 11. 如图 4?3?5, 正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为 a, M 为 BD1 的中点, N 在 A1C1 上, 且|A1N| =3|NC1|,试求 MN 的长.

图 4?3?5 【解】 以 D 为原点,以 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,则 B(a,a,0),

A1(a,0,a),C1(0,a,a),D1(0,0,a).由于 M 为 BD1 的中点,所

? ? ? ? 以 M? , , ?,取 A1C1 中点 O1,则 O1? , ,a?,因为|A1N|=3|NC1|, ?2 2 2? ?2 2 ?
a a a a a

?a 3 ? 所以 N 为 O1C1 的中点,故 N? , a,a?. 4 4 ? ?
由两点间的距离公式可得:|MN|=

?a-a? +?a-3a? +?a-a? = 6a. ?2 4? ?2 4 ? ?2 ? 4 ? ? ? ? ? ?

2

2

2

4


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