2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(35)

加试模拟训练题(35) (附详细答案) 1、 平面上给定一个锐角三角形 ABC.过顶点 B 的高交以 AC 为直径的圆于 P,Q,过顶点 C 的高交以 AB 为直径的圆于 M、N.求证:M、N、P、Q 四点共圆. 2. 设 a, b, c 是正实数,且满足 abc ? 1 ,证明: 1 ?? 1 ?? ? ? a ? 1 ? ?? b ? 1 ? ?? c ? 1 ? b ?? c ?? ? 1? ? ?1 a? (第 41 届国际数学奥林匹克试题) 3、 某足球邀请赛有十六个城市参加,每市派出甲、乙两个队.根据比赛规则,每两队之 间至多赛一场,并且同一城市的两队之间不进行比赛.比赛若干天后进行统计,发现除 A 市甲队外, 其它各队已比赛过的场数各不相同. 问 A 市乙队已赛过多少场?请证明你的结论. 4.求不定方程 5x-3y=2 的正整数解。 加试模拟训练题(35) 1、 平面上给定一个锐角三角形 ABC.过顶点 B 的高交以 AC 为 直径的圆于 P, Q, 过顶点 C 的高交以 AB 为直径的圆于 M、 N. 求 证:M、N、P、Q 四点共圆. 【题说】 1992 年捷克和斯洛伐克数学奥林匹克(最后一轮)题 6. 【证】 由于 MN 和 PQ 的垂直平分线分别是 AB 和 AC.所以, AM=AN,AP=AQ. 设 B',C'分别是 AC 与 AB 边上高的垂足,于是由射影定理,得 AM2=AC'·AB=AB·ACcos∠BAC AP2=AC·AB'=AB·ACcos∠BAC 所以 AM=AP,从而 M、N、P、Q 四点在以 A 为圆心的圆上. 2. 设 a, b, c 是正实数,且满足 abc ? 1 ,证明: 1 ?? 1 ?? ? ? a ? 1 ? ?? b ? 1 ? ?? c ? 1 ? b ?? c ?? ? 1? ? ?1 a? (第 41 届国际数学奥林匹克试题) 分析与证明: 令 x ? 3 a , y ? 3 b , z ? 3 c .易知 xyz ? 1 .则 a ?1? ( xyz ) 2 x 2 1 1 ? ( x y ? y 2 z ? z 2 x) ? x 3 ? 1 ? 3 = x 3 ? xyz ? 3 b y y y 同理有其它两式,再令 u ? x 2 y, v ? y 2 z , w ? z 2 x . 则原不等式等价于齐次不等式: (u ? v ? w)(v ? w ? u )( w ? u ? v) ? uvw . ?u ?v?w?v? w?u? 2 (u ? v ? w)(v ? w ? u ) ? ? ? ?v 2 ? ? 2 因为 同理有 (v ? w ? u )( w ? u ? v) ? w 2 ; ( w ? u ? v)(v ? u ? w) ? u 2 . 故 [(u ? v ? w)(v ? w ? u )( w ? u ? v)]2 ? (uvw) 2 . 从而原不等式成立. 3、 某足球邀请赛有十六个城市参加,每市派出甲、乙两个队.根据比赛规则,每两队之 间至多赛一场,并且同一城市的两队之间不进行比赛.比赛若干天后进行统计,发现除 A 市甲队外, 其它各队已比赛过的场数各不相同. 问 A 市乙队已赛过多少场?请证明你的结论. 【题说】 1985 年全国联赛二试题 3. 【解】 32 个队参加比赛,根据规则,每队至多赛 30 场.除 A 市甲队外,31 个队比赛过的 场数各不相同,因此这些队比赛场数分别为 0,1.2,…,30. 设赛过 k 场的队为 T(k)(k=0,1,2,…,30).首先考察 T(30).由于它已赛完 30 场,所 以其它各市的每一个队都和它比赛过, 只有 T(0)队未和 T(30)队比赛过. 于是 T(30)队和 T(0) 队必为同一城市的队. 再考察 T(29)队.除 T(0)队及 T(29)队同一城市的另一队外,T(29)队显然与其它各队都比 赛过. T(1)队只和 T(30)队比赛过,所以 T(29)队和 T(1)队必为同一城市的队. 同理, T(28)队和 T(2)队, T(27)队和 T(3)队, …, T(16)队和 T(14)队各为同一城市的两队. 所 以 A 市乙队只能是 T(15)队.即:A 市乙队已赛过 15 场. 4.求不定方程 5x-3y=2 的正整数解。 解:显然 x=1,y=1 是原方程的解,若 x ? 1,则 y ? 1。 因 5 x ? 1(mod4), 3 ? (?1) (mod 4) ,1- (?1) ? 2(mod 4) ,故 y=2y1+1 是奇数(y1∈N) y y y 因 3 ? 0(mod 9) ,故 5 ? 2(mod 9) 。因 5 ? ?1(mod 9),5 ? 1(mod 9),5 ? 2(mod 9) , y x 3 6 5 故5 6 q ?5 ? 5 5 ? 2(mod 9) ,正整数 x 为 6q+5 形式的整数。 6 x 5 5 因为 5 ? (?2) ? 1(mod 7) ,所以 5 ? 5 ? (?2) ? 3(mod 7) , 6 而 3 ?3 y 2 y1 ?1 ? 2 y1 ? 3 ? 6 ? 5 ? 3(mod 7) , 故 对 任 意 不 为 1 的 正 整 数 x , y , 5x ? 3y 2(mod7)。此时原方程无解。综上,原方程只有一组正整数解: (1,1) 。

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