《2.4函数的奇偶性与周期性》 教案

函数的奇偶性与周期性
适用学科 适用区域 数学 新课标 1. 2. 3. 4. 5. 6. 奇偶性的概念 奇偶性的判断 奇偶性的应用 周期性的概念 确定函数周期的方法 函数周期性的应用 适用年级 课时时长(分钟) 高三 60

知 识 点

教学目标

1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. 函数奇偶性概念和函数奇偶性的判断 函数的奇偶性与函数的概念、单调性、周期性、对称性等的综合应用

教学重点 教学难点

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教学过程 一、课堂导入 我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请想一下有哪些美? 对于对称美,请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢? 生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?若给它适当地建立直角坐标系,那么会发现什么特点? 数学中对称的形式也很多,这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数

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二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用

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三、知识讲解 考点 1 函数的奇偶性 定义 图象特点 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 偶函数 关于 y 轴对称 都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 奇函数 关于原点对称 都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫做奇函数 [探究] 1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点?它是函数具有奇偶性的什么条件? 提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件. 2.若 f(x)是奇函数且在 x=0 处有定义,是否有 f(0)=0?如果是偶函数呢? 提示:如果 f(x)是奇函数时,f(0)=-f(0),则 f(0)=0;如果 f(x)是偶函数时,f(0)不一定为 0,如 f(x)=x2+1. 3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个? 提示:存在,如 f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集,这样的函数有无穷多个. 奇偶性

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考点 2

周期性

(1)周期函数: 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y =f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.

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四、例题精析 【例题 1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 1-x (1)f(x)=lg ; 1+x
2 ?x +x?x>0?, (2)f(x)=? 2 ?x -x?x<0?;

lg?1-x2? (3)f(x)= 2 . |x -2|-2

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1-x 【解析】(1)由 >0?-1<x<1, 1+x 定义域关于原点对称. 又 f(-x)=lg 1+x 1-x ?1-x?-1 ? =-lg =lg? =-f(x), 1-x 1+x ?1+x?

故原函数是奇函数. (2)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, 又当 x>0 时,f(x)=x2+x,则当 x<0 时, -x>0,故 f(-x)=x2-x=f(x); 当 x<0 时,f(x)=x2-x,则当 x>0 时,-x<0,故 f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数.
2 ?1-x >0, lg?1-x2? lg?1-x2? (3)由? 2 得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,∴f(x)= =- x2 . -?x2-2?-2 ?|x -2|-2≠0,

∵f(-x)=-

lg[1-?-x?2] lg?1-x2? =- x2 =f(x),∴f(x)为偶函数. 2 ?-x?

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【例题 2】 【题干】(1)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常数),则 f(-1)=( A.-3 C .1 B.-1 D.3 )

)

(2)已知函数 f(x)在区间[-5,5]上是奇函数,在区间[0,5]上是单调函数,且 f(3)<f(1),则( A.f(-1)<f(-3) C.f(-1)<f(1) B.f(0)>f(-1) D.f(-3)>f(-5)

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【答案】A、A 【解析】(1)选 A 因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数, 所以 f(0)=20+2×0+b=0,解得 b=-1. 所以当 x≥0 时,f(x)=2x+2x-1,所以 f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3. (2)选 A 函数 f(x)在区间[0,5]上是单调函数,又 3>1,且 f(3)<f(1),故此函数在区间[0,5]上是减函数. 由已知条件及奇函数性质,知函数 f(x)在区间[-5,5]上是减函数. 选项 A 中,-3<-1,故 f(-3)>f(-1). 选项 B 中,0>-1,故 f(0)<f(-1). 同理选项 C 中 f(-1)>f(1),选项 D 中 f(-3)<f(-5).

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【例题 3】 log 1 6? 【题干】 (1)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且是以 2 为周期的周期函数. 若当 x∈[0,1)时, f(x)=2x-1, 则 f? ? ?
2

的值为( 5 A.-2 1 C.-2

) B.-5 D.-6 )

(2)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 f(x+1)=-f(x),若 f(x)在[-1,0]上是减函数,那么 f(x)在[1,3]上是( A.增函数 C.先增后减的函数 B.减函数 D.先减后增的函数

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【答案】(1)选 C 【解析】(1)选 C

(2)选 D 3 ∵-3<log 1 6<-2,∴-1<log 1 6+2<0,即-1<log 1 2<0.∵f(x)是周期为 2 的奇函数,
2 2 2

3? 3? 3 ? ? 3? ? log 2 ?=-1. 2 ∴f(log 1 6)=f?log 1 2?=-f?-log 1 2?=-f?log22?=-? 2 - 1 ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 (2)选 D 由 f(x)在[-1,0]上是减函数,又 f(x)是 R 上的偶函数,所以 f(x)在[0,1]上是增函数. 由 f(x+1)=-f(x),得 f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=f(x),故 2 是函数 f(x)的一个周期. 结合以上性质,模拟画出 f(x)部分图象的变化趋势,如下图. 由图象可以观察出,f(x)在[1,2]上为减函数,在[2,3]上为增函数.

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五、课堂运用 【基础】 1.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1 1 C.y=x B.y=-x3 D.y=x|x|

)

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解析:选 D 由函数的奇偶性排除 A,由函数的单调性排除 B、C,由 y=x|x|的图象可知当 x≥0 时此函数为增函数, 又该函数为奇函数. 则 f(4)=f(4+0)=f(0)=0,f(8)=f(4+4)=f(4)=0.

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2.设偶函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(2)=0,则不等式 A.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(0,2)

f?x?+f?-x? >0 的解集为( x

)

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解析:选 B 选 B ∵f(x)为偶函数,∴ ∴xf(x)>0,

f?x?+f?-x? 2f?x? = >0, x x

?x>0, ?x<0, ∴? 或? 又 f(-2)=f(2)=0,f(x)在(0,+∞)上为减函数,∴x∈(0,2)或 x∈(-∞,-2). ?f?x?<0. ?f?x?>0,

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3.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( A.f(-25)<f(11)<f(80) C.f(11)<f(80)<f(-25) B.f(80)<f(11)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

)

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解析:选 D 由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是增函数可以推知 f(x)在[-2,2]上递增,又 f(x-4)=-f(x)?f(x-8) =-f(x-4)=f(x), 故函数 f(x)以 8 为周期, f(-25)=f(-1), f(11)=f(3)=-f(3-4)=f(1), f(80)=f(0), 故 f(-25)<f(80)<f(11).

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【巩固】 4.若函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则 a=________,b=________.

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1 解析:因为偶函数的定义域关于原点对称,所以 a-1=-2a,解得 a= . 3 1 又函数 f(x)=3x2+bx+b+1 为二次函数,结合偶函数图象的特点,易得 b=0. 1 答案:3 0

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5.设函数 f(x)是定义在 R 上周期为 3 的奇函数,若 f(1)<1,f(2)=

2a-1 ,则 a 的取值范围是________. a+1

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解析:∵f(x)是奇函数,∴f(1)=-f(-1)<1. ∴f(-1)>-1.又∵f(x)的周期为 3,∴f(-1)=f(2)= 答案:(-∞,-1)∪(0,+∞) 2a-1 3a >-1.即 >0,解得 a>0 或 a<-1. a+1 a+1

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【拔高】 6.已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为( A.6 C .8 ) B.7 D.9

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解析:选 B ∵f(x)是最小正周期为 2 的周期函数, 且 0≤x<2 时, f(x)=x3-x=x(x-1)(x+1), ∴当 0≤x<2 时,f(x)=0 有两个根, 即 x1=0,x2=1. 由周期函数的性质知,当 2≤x<4 时,f(x)=0 有两个根, 即 x3=2,x4=3; 当 4≤x<6 时,f(x)=0 有两个根, 即 x5=4,x6=5, x7=6 也是 f(x)=0 的根. 故函数 f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴交点的个数为 7.

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a 7.已知函数 f(x)=x2+ x (x≠0,常数 a∈R). (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围.

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解:(1)当 a=0 时,f(x)=x2 对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=(-x)2=x2=f(x). 故 f(x)为偶函数; a 当 a≠0 时,f(x)=x2+ x (x≠0,常数 a∈R), 取 x=± 1,得 f(-1)+f(1)=2≠0; f(-1)-f(1)=-2a≠0, 即 f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1). 故函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. a a ?x1-x2? 2 (2)设 2≤x1<x2,f(x1)-f(x2)=x2 1+ -x2- = x1 x2 x1x2 [x1x2(x1+x2)-a], 要使函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,必须 f(x1)-f(x2)<0 恒成立, ∵x1-x2<0,∴x1x2(x1+x2)-a>0, 即 x1x2(x1+x2)>a 恒成立. 又∵x1+x2>4,x1x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16. ∴a 的取值范围是(-∞,16].

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课程小结 1.奇、偶函数的有关性质: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件; (2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反之亦然; (3)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0; (4)利用奇函数的图象关于原点对称可知,奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同;利用偶函数的图象关 于 y 轴对称可知,偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反. 2.若函数满足 f(x+T)=f(x),由函数周期性的定义可知 T 是函数的一个周期;应注意 nT(n∈Z 且 n≠0)也是函数的 周期.

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