多面体外接球半径常见的5种求法(柯建华)_图文

多面体外接球半径常见的 5 种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内 接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一 个重点,也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知 识,又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间 的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 知识回顾: 1、球心到截面的距离 d 与球半径 R 及截面的半径 r 有以下关系 2、球面被经过球心的平面截得的圆叫 的圆叫 3、球的表面积表面积 S= ;球的体积 V= .被不经过球心的平面截得

4、球心一定在过多边形(顶点均在球面上)外接圆圆心且垂直此多边形所在 平面的垂线上 方法一:公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点
9 8

都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 ,底面周长为3,则这个球的体积 为 解 .
6 x ? 3, 1 ? ? ? ?x? , 2 设正六棱柱的底面边长为 x ,高为 h ,则有 ? 9 3 2 ?? x h, ? ? ? 6? 4 ?h ? 3. ?8
1 2

∴正六棱柱的底面圆的半径 r ? ,球心到底面的距离 d ? ∴外接球的半径 R ? r 2 ? d 2 ? 1.?V 球 ?
4? . 3

3 . 2

小结:本题是运用公式 R2 ? r 2 ? d 2 求球的半径的,该公式是求球的半径的常用公

式.(R-球的半径;d-球心到球截面圆的距离,注意球截面圆通常是顶点在球上多边 形的外接圆;r-顶点在球上多边形的外接圆的半径) 方法二:多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4,体积为 16,则这个球 ) B. 20? C. 24? D. 32?

的表面积是( A. 16?

解:设正四棱柱的底面边长为 x ,外接球的半径为 R ,则有 4 x 2 ? 16 ,解得 x ? 2 . ∴ 2R ? 22 ? 22 ? 42 ? 2 6,     ? R ? 6 .∴这个球的表面积是 4? R2 ? 24? .选 C. 小结:本题是运用“正四棱柱体(包括正方体、长方体)对角线的长等于其外接 球的直径”这一性质来求解的. 方法三:补形法 例 3:若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积 是 . 解:据题意可知,该三棱锥的三条侧棱两两垂直,∴把这个三棱锥可以补成一 个棱长为 3 的正方体,于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.
2 设其外接球的半径为 R ,则有 ? 2R ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? ? 9 .∴ R 2 ? . 2 2 2

9 4

故其外接球的表面积 S ? 4? R2 ? 9? . 小结:一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为 a、b、c , 则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥 的外接球的直径.设其外接球的半径为 R ,则有 2R ? a2 ? b2 ? c2 .

PA、PB、PC 两两垂直采用补形法

方法四:寻求轴截面圆半径法 例4 正四棱锥 S ? ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ,点 S、A、B、C、D 都在 .
S

同一球面上,则此球的体积为

D O1 A 图3 B

C

解 设正四棱锥的底面中心为 O1 ,外接球的球心为 O ,如图 3 所示. ∴由球的截面的性质,可得 OO1 ? 平面ABCD . 又 SO1 ? 平面ABCD ,∴球心 O 必在 SO1 所在的直线上. ∴ ?ASC 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆, 外接圆的半径就是外接球的半径. 在 ?ASC 中,由 SA ? SC ? 2,AC ? 2 ,得 SA2 ? SC 2 ? AC 2 . ∴ ?ASC是以AC为斜边的Rt? .



AC 4? ? 1 是外接圆的半径,也是外接球的半径.故 V 球 ? . 2 3

小结:根据题意,我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的 一个轴截面圆,于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探 求正棱锥外接球半径的通解通法,该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面 圆,从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法 值得我们学习. 方法五:确定球心位置法 例5 在矩形 ABCD 中, AB ? 4, BC ? 3 ,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角

B ? AC ? D ,则四面体 ABCD 的外接球的体积为

A.

125 ? 12

B.

125 ? 9

C.

125 ? 6

D.

125 ? 3
D C B

A

O 图4

解: 设矩形对角线的交点为 O , 则由矩形对角线互相平分, 可知 OA ? OB ? OC ? OD . ∴点 O 到四面体的四个顶点 A、B、C、D 的距离相等,即点 O 为四面体的外接球的球 心,如图 2 所示.∴外接球的半径 R ? OA ? .故 V 球 ? ? R3 ?
5 2 4 3 125 ? .选 C. 6

小结:若四面体或三棱锥的一条棱所对的两个顶角都是直角,则利用直角三角 形知识可知:四面体外接球的球心就是这条棱的中心,球的半径等于此棱长度的一 半。

【练习巩固】

【参考答案】 练习 1 【补形法】

【轴截面法】

练习 2

【补形法】

【轴截面法】

练习 3

【补形法】


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