答案导数3

导数 1.在下列结论中,正确的有 ( (1)单调增函数的导数也是单调增函数; (2)单调减函数的导数也是单调减函数; (3)单调函数的导数也是单调函数; (4)导函数是单调的,则原函数也是单调的. A.0 个 解析 B.2 个 C.3 个 D.4 个 1 (2)y= x(x>0). ).

分别举反例:(1)y=ln x. (4)y=x2,故选 A.

(3)y=2x. 答案 A

1 2.函数 y=2x2-ln x 的单调减区间是 ( A.(0,1) B.(0,1)∪(-∞,-1) ).

C.(-∞,1) D.(-∞,+∞) 解析 1 1 ∵y=2x2-ln x 的定义域为(0,+∞),∴y′=x-x ,令 y′<0,即 x

1 -x<0,解得:0<x<1 或 x<-1. 又∵x>0,∴0<x<1,故选 A. 答案 A

3.若函数 f(x)=x3-ax2-x+6 在(0,1)内单调递减,则实数 a 的取值范围是 ( ).

A.a≥1 B.a=1 C.a≤1 D.0<a<1 解析 ∵f′(x)=3x2-2ax-1,又 f(x)在(0,1)内单调递减,∴不等式 3x2-2ax

-1<0 在(0,1)内恒成立,∴f′(0)≤0,且 f′(1)≤0,∴a≥1. 答案 A

4.函数 y=ln(x2-x-2)的递减区间为________. 解析 f′(x)= 2x-1 1 ,令 f′(x)<0 得 x<-1 或2<x<2,注意到函数定义域 x -x-2
2

为(-∞,-1)∪(2,+∞),故递减区间为(-∞,-1). 答案 (-∞,-1)

5.若三次函数 f(x)=ax3+x 在区间(-∞,+∞)内是增函数,则 a 的取值范围是 ________. 解析 f′(x)=3ax2+1,∴f(x)在 R 上为增函数,∴3ax2+1≥0 在 R 上恒成

立.又 a≠0,∴a>0. 答案 (0,+∞)

6.已知 x>1,证明:x>ln(1+x). 证明 设 f(x)=x-ln(1+x)(x>1), 1 x = ,由 x>1,知 f′(x)>0. 1+x 1+x

f′(x)=1-

∴f(x)在(1,+∞)上单调递增. 又 f(1)=1-ln 2>0, 即 f(1)>0.∵x>1,∴f(x)>0,即 x>ln(1+x).

综合提高

?限时25分钟?

2 7.当 x>0 时,f(x)=x+x的单调递减区间是 ( A.(2,+∞) B.(0,2) ).

C.( 2,+∞) D.(0, 2) 解析
2 2 x -2 ?x- 2??x+ 2? f′(x)=1-x2= x2 = . x2

由 f′(x)<0 且 x>0 得 0<x< 2,故选 D. 答案 D

8.已知函数 y=f(x)的导函数 f′(x)=ax2+bx+c 的图象 如图所示,则 y=f(x)的图象可能是( ).

解析

当 x<0 时,由导函数 f′(x)=ax2+bx+c<0,知相应的函数 f(x)在该区

间上单调递减;当 x>0 时,由导函数 f′(x)=ax2+bx+c 的图象可知,导数在 区间(0,x1)内的值是大于 0 的,则在此区间内函数 f(x)单调递增.只有 D 选 项满足题意. 答案 D

9.使 y=sin x+ax 为 R 上的增函数的 a 的范围是________. 解析 答案 ∵y′=cos x+a>0,∴a>-cos x,对 x∈R 恒成立.∴a>1. (1,+∞)

10.已知 f(x)=x2+2xf′(1),则 f′(0)=________.

解析

∵f(x)=x2+2xf′(x),∴f′(x)=2x+2f′(1),

∴f′(1)=2×1+2f(1),∴f′(1)=-2. ∴f′(0)=2×0+2f′(1)=2×(-2)=-4. 答案 -4

11. 已知函数 f(x)=x3+ax+8 的单调递减区间为(-5,5), 求函数 y=f(x)的递增区 间. 解 f′(x)=3x2+a.

∵(-5,5)是函数 y=f(x)的单调递减区间,则-5,5 是方程 3x2+a=0 的根,∴ a=-75.此时 f′(x)=3x2-75, 令 f′(x)>0,则 3x2-75>0,解得 x>5 或 x<-5,∴函数 y=f(x)的单调递增区 间为(-∞,-5)和(5,+∞). 12.(创新拓展)求下列函数的单调区间,并画出大致图象: 9 (1)y=x+ x; 解 (2)y=ln(2x+3)+x2.

9 (1)函数 y=x+ x的定义域为{x|x∈R,且 x≠0}.

9 9 ∵y=x+x ,∴y′=1-x2. 9 当 y′>0,即 x>3 或 x<-3 时,函数 y=x+ x单调递增; 当 y′<0,即-3<x<0 或 0<x<3 时, 9 函数 y=x+ x 单调递减. 9 故函数 y=x+ x 的单调递增区间为(-∞, -3), (3, +∞), 单调递减区间为(- 3,0),(0,3).

9 函数 y=x+ x 的大致图象如图(1)所示.

? 3 ? (2)函数 y=ln(2x+3)+x2 的定义域为?-2,+∞?. ? ? ∵y=ln(2x+3)+x2, ∴y′= 4x2+6x+2 2?2x+1??x+1? 2 +2x= = . 2x+3 2x+3 2x+3

3 1 当 y′>0,即-2<x<-1 或 x>-2时, 函数 y=ln(2x+3)+x2 单调递增; 1 当 y′<0,即-1<x<-2时, 函数 y=ln(2x+3)+x2 单调递减. ? 3 ? ? 1 ? ?- ,+∞?, 故函数 y=ln(2x+3)+x2 的单调递增区间为?-2,-1?, 单调递 ? ? ? 2 ? 1? ? 减区间为?-1,-2?. ? ? 函数 y=ln(2x+3)+x2 的大致图象如图(2)所示.

双基达标
1.下列函数存在极值的是( 1 A.y= x B.y=x-ex ).

?限时20分钟?

C.y=x3+x2+2x-3 D.y=x3 解析 1 A 中 f′(x)=-x2,令 f′(x)=0 无解,且 f(x)为双曲函数,∴A 中函数

无极值.B 中 f′(x)=1-ex,令 f′(x)=0 可得 x=0.当 x<0 时,f′(x)>0;当 x>0 时,f′(x)<0.∴y=f(x)在 x=0 处取极大值,f(0)=-1.C 中 f′(x)=3x2+ 2x+2,Δ=4-24=-20<0.∴y=f(x)无极值,D 也无极值.故选 B. 答案 B ).

2.函数 y=1+3x-x3 有(

A.极小值-1,极大值 1 B.极小值-2,极大值 3 C.极小值-2,极大值 2 D.极小值-1,极大值 3 解析 f′(x)=-3x2+3,由 f′(x)=0 可得 x1=1,x2=-1.

由极值的判定方法知 f(x)的极大值为 f(1)=3,极小值为 f(-1)=1-3+1=- 1,故选 D. 答案 D ).

3.函数 f(x)的定义域为 R,导函数 f′(x)的图象如图所示,则函数 f(x)(

A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点 解析 f′(x)的符号由正变负,则 f(x0)是极大值,f′(x)的符号由负变正,则

f(x0)是极小值,由图象易知有两个极大值点,两个极小值点. 答案 C

4.设方程 x3-3x=k 有 3 个不等的实根,则常数 k 的取值范围是________. 解析 设 f(x)=x3-3x-k,则 f′(x)=3x2-3.令 f′(x)=0 得 x=± 1,且 f(1)

?2-k>0, =-2-k,f(-1)=2-k,又 f(x)的图象与 x 轴有 3 个交点,故? ?-2-k<0, ∴-2<k<2. 答案 (-2,2)

x2 5.已知函数 y= ,当 x=________时取得极大值________;当 x=________ x-1 时取得极小值________. 解析 y′=( ?x2?′?x-1?-x2?x-1?′ x2-2x x2 )′= = .y′>0?x>2,或 x x-1 ?x-1?2 ?x-1?2

x2 <0,y′<0?0<x<2,且 x≠1,∴y= 在 x=0 处取得极大值 0,在 x x-1 =2 处取得极小值 4. 答案 0 0 2 4

6.求函数 f(x)=x2e-x 的极值. 解 函数的定义域为 R,f′(x)=2xe-x+x2· e-x· (-x)′=2xe-x-x2 · e-x=x(2-

x)e-x.令 f′(x)=0,即 x(2-x)· e-x=0;得 x=0 或 x=2.当 x 变化时,f′(x), f(x)的变化情况如下表: x f′(x) (-∞,0) - 0 0 (0,2) + 2 0 (2,+∞) -

极小 f(x) 值0

极大值 4e-2 ?

因此,当 x=0 时,f(x)有极小值,并且极小值为 f(0)=0; 当 x=2 时,f(x)有 4 极大值,并且极大值为 f(2)=4e-2=e2.

综合提高
7.函数 f(x)=2x3-6x2-18x+7( ).

?限时25分钟?

A.在 x=-1 处取得极大值 17,在 x=3 处取得极小值-47 B.在 x=-1 处取得极小值 17,在 x=3 处取得极大值-47 C.在 x=-1 处取得极小值-17,在 x=3 处取得极大值 47 D.以上都不对 解析 f′(x)=6x2-12x-18, 令 f′(x)=0, 解得 x1=-1, x2=3.当 x 变化时,

f′(x),f(x)的变化情况如下表: (-∞,- x 1) f′(x) f(x) + 0 极大值 - 0 极小值 + -1 (-1,3) 3 (3, +∞)

?

?

?

∴当 x=-1 时,f(x)取得极大值,f(-1)=17;当 x=3 时,f(x)取得极小值, f(3)=-47. 答案 A

8.三次函数当 x=1 时有极大值 4,当 x=3 时有极小值 0,且函数过原点,则此 函数是( ).

A.y=x3+6x2+9x B.y=x3-6x2+9x C.y=x3-6x2-9x D.y=x3+6x2-9x 解析 三次函数过原点,可设 f(x)=x3+bx2+cx,则 f′(x)=3x2+2bx+c.由

?f′?1?=3+2b+c=0, 题设有? 解得 b=-6,c=9.∴f(x)=x3-6x2+9x, ?f′?3?=27+6b+c=0, f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).当 x=1 时,函数 f(x)取得极大值 4,当 x=3 时,函数取得极小值 0,满足条件. 答案 B

9. 函数 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3 既有极大值又有极小值, 则实数 a 的取值范 围是________. 解析 ∵f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),令 3x2+6ax+3(a+2)=0,即 x2+2ax

+a+2=0,∵函数 f(x)有极大值和极小值,∴方程 x2+2ax+a+2=0 有两个 不相等的实数根,即 Δ=4a2-4a-8>0,解得 a>2 或 a<-1. 答案 (-∞,-1)∪(2,+∞)

10.函数 y=x3-6x+a 的极大值为________,极小值为________. 解析 ∵y′=3x2-6,令 y′=0,得 x=± 2,当 x<- 2或 x> 2时,y′

>0;当- 2<x< 2时,y′<0,∴函数在 x=- 2时取得极大值 a+4 2, 在 x= 2时取得极小值 a-4 2. 答案 a+4 2 a-4 2

11.已知函数 y=ax3+bx2,当 x=1 时函数有极大值 3, (1)求 a,b 的值; (2)求函数 y 的极小值. 解 (1)y′=3ax2+2bx,当 x=1 时,y′=3a+2b=0,又 y=a+b=3,即

?3a+2b=0, ?a=-6, ? 解得? 经检验,x=1 是极大值点,符合题意,故 a, ?a+b=3, ?b=9. b 的值分别为-6,9. (2)y=-6x3+9x2,y′=-18x2+18x, 令 y′=0,得 x=0 或 x=1. ∴当 x=0 时,函数 y 取得极小值 0. a 12.(创新拓展)设函数 f(x)=3x3+bx2+cx+d(a>0),且方程 f′(x)-9x=0 的两个 根分别为 1,4. (1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围. 解 a 由 f(x)=3x3+bx2+cx+d,

得 f′(x)=ax2+2bx+c. ∵f′(x)-9x=ax2+(2b-9)x+c=0 的两个根 ?a+2b+c-9=0, 分别为 1,4,∴? (*) ?16a+8b+c-36=0, ?2b+c-6=0, (1)当 a=3 时,由(*)式得? ?8b+c+12=0, 解得 b=-3,c=12,又因为曲线 y=f(x)过原点, 所以 d=0,故 f(x)=x3-3x2+12x. a (2)由于 a>0,∵f(x)=3x3+bx2+cx+d 在(-∞,+∞)内无极值点, ∴f′(x)=ax2+2bx+c≥0 在(-∞,+∞)内恒成立. 由(*)式得 2b=9-5a,c=4a,

?a>0, 又 Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9).解? ?Δ=9?a-1??a-9?≤0. 得 a∈[1,9],即 a 的取值范围为[1,9].

双基达标
1.函数 y=xe-x,x∈[0,4]的最大值是

?限时20分钟?

( 1 A.0 B. e 解析 4 C.e4 2 D.e2

).

y′=e-x-x· e-x=e-x(1-x),令 y′=0,∴x=1,

4 1 ∴f(0)=0,f(4)=e4,f(1)=e-1=e ,∴f(1)为最大值,故选 B. 答案 B

2.函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围为 ( A.0≤a<1 B.0<a<1 1 C.-1<a<1 D.0<a<2 解析 ∵f′(x)=3x2-3a,令 f′(x)=0,可得 a=x2, ).

又∵x∈(0,1),∴0<a<1,故选 B. 答案 B

3.设 f(x)=x(ax2+bx+c)(a≠0)在 x=1 和 x=-1 处均有极值,则下列点中一定 在 x 轴上的是 ( ).

A.(a,b) 解析

B.(a,c)

C.(b,c) D.(a+b,c)

f′(x)=3ax2+2bx+c, 由题意知-1,1 是方程 3ax2+2bx+c=0 的两根,

2b 由根与系数的关系知 1-1=-3a,所以 b=0,故选 A. 答案 A

π? ? 4.函数 y=x+2cos x 在区间?0,2?上的最大值是________. ? ? 解析 π π π π y′=1-2sin x=0,x=6,比较 0,6,2处的函数值,得 ymax=6+ 3. π 6+ 3

答案

? π π? 5.函数 f(x)=sin x+cos x 在 x∈?-2,2?的最大、最小值分别是________. ? ? 解析 f′(x)=cos x-sin x=0,即 tan x=1,

π x=kπ+4,(k∈Z), π π ? π π? 而 x∈?-2,2?,当-2<x<4时,f′(x)>0; ? ? π π 当4<x<2时,f′(x)<0, ?π? ∴f?4?是极大值. ? ? ?π? ? π? ?π? 又 f?4?= 2,f?-2?=-1,f?2?=1, ? ? ? ? ? ? ?π? ? π? ∴函数最大值为 f?4?= 2,最小值为 f?-2?=-1. ? ? ? ? 答案 2 -1

6.求函数 f(x)=x5+5x4+5x3+1 在区间[-1,4]上的最大值与最小值. 解 f′(x)=5x4+20x3+15x2=5x2(x+3)(x+1),

由 f′(x)=0 得 x=0 或 x=-1 或 x=-3(舍), 列表: x f′(x) f(x) -1 0 0 ? (-1,0) + 0 0 1 (0,4) + 2 625 4

?

又 f(0)=1,f(-1)=0,右端点处 f(4)=2 625, ∴函数 y=x5+5x4+5x3+1 在区间[-1,4]上的最大值为 2 625,最小值为 0.

综合提高

?限时25分钟?

x3 7.函数 y= 3 +x2-3x-4 在[0,2]上的最小值是 ( A.- 解析 17 3 B.- 10 3 C.-4 D.- 64 3 ).

y′=x2+2x-3(x∈[0,2]), 令 x2+2x-3=0, 知 x=-3 或 x=1 为极值

17 点.当 x=1 时,ymin=- 3 ,故选 A. 答案 A

8.已知函数 f(x)=2x3-6x2+m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在 [-2,2]上的最小值为 ( A.-37 B.-29 C.-5 D.-11 解析 ∵f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),由 f′(x)=0 得 x=0 或 2. ).

∵f(0)=m,f(2)=-8+m,f(-2)=-40+m,显然 f(0)>f(2)>f(-2),∴m=3,

最小值为 f(-2)=-37. 答案 A 4x ,x∈[-2,2]的最大值是________,最小值是________. x +1
2

9.函数 f(x)=

解析

4?x2+1?-2x· 4x -4x2+4 ∵y′= = 2 , ?x2+1?2 ?x +1?2

令 y′=0 可得 x=1 或-1. 8 8 又∵f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)=5,f(-2)=-5, ∴最大值为 2,最小值为-2. 答案 2 -2

3 10.如果函数 f(x)=x3-2x2+a 在[-1,1]上的最大值是 2,那么 f(x)在[-1,1]上的 最小值是________. 解析 f′(x)=3x2-3x,

令 f′(x)=0 得 x=0,或 x=1. 5 ∵f(0)=a,f(-1)=-2+a, 1 f(1)=-2+a,∴f(x)max=a=2. 5 1 ∴f(x)min=-2+a=-2. 答案 1 -2

11.已知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.



(1)∵f′(x)=-3x2+6x+9.

令 f′(x)<0,解得 x<-1 或 x>3, ∴函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞). (2)∵f(-2)=8+12-18+a=2+a, f(2)=-8+12+18+a=22+a, ∴f(2)>f(-2). 于是有 22+a=20,∴a=-2. ∴f(x)=-x3+3x2+9x-2. ∵在(-1,3)上 f′(x)>0,∴f(x)在[-1,2]上单调递增. 又由于 f(x)在[-2,-1]上单调递减, ∴f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值, ∴f(-1)=1+3-9-2=-7, 即 f(x)最小值为-7. 12.(创新拓展)已知函数 f(x)=x2e-ax(a>0),求函数在[1,2]上的最大值. 解 ∵f(x)=x2e-ax(a>0),

∴f′(x)=2xe-ax+x2(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x). 令 f′(x)>0,即 e-ax(-ax2+2x)>0, 2 得 0<x< . a ?2 ? ∴f(x)在(-∞,0),?a,+∞?上是减函数, ? ? 2? ? 在?0,a?上是增函数. ? ? 2 当 0<a<1,即 a>2 时,f(x)在(1,2)上是减函数,

∴f(x)max=f(1)=e-a. 2 当 1≤a≤2,即 1≤a≤2 时, 2? ? f(x)在?1,a?上是增函数, ? ? ?2 ? 在?a,2?上是减函数, ? ? ?2? 4 ∴f(x)max=f?a?=a2e-2. ? ? 2 当a>2,即 0<a<1 时,f(x)在(1,2)上是增函数, ∴f(x)max=f(2)=4e-2a. 综上所述,当 0<a<1 时,f(x)的最大值为 4e-2a; 4 当 1≤a≤2 时,f(x)的最大值为a2e-2; 当 a>2 时,f(x)的最大值为 e a.


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阳谷二中高二数学导数极值最值练习题

一、 选择题。
1. 函数 f ( x) 的定义域为 ? a, b ? , 其导函数 f ?( x)在? a, b? 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 在区间 ? a, b ? 内极小 值点的个数是 A. 1 B. 2 ( ) C. 3 ) B、极小值-2 极大值 3 D、极小值-1 极大值 3 D. 4

2.函数 y ? 1 ? 3x ? x 3 有( A、极小值-1 极大值 1 C、极小值-2 极大值 2

3、 函数 y= a x +1 的图象与直线 y=x 相切,则 a = A.
1 8

2

(

)

B.

1 4

C.

1 2

4.函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1在[?3,0] 上的最大值,最小值分别是( A.1,-1 B.1,-17 C.3,-17 )



D.9,-19

5.函数 y = x3 - 3x2 - 9x (- 2 < x < 2)有( A、极大值 5,极小值-27 C、极大值 5,无极小值

B、极大值 5,极小值-11 D、极小值-27,无极大值 )

6、 函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x ? 9, 已知 f ( x)在x ? ?3 时取得极值, 则a= ( A.2 二、解答题 1.如果函数 f(x)=x3-3x2+c 在[-2,4]上的最小值是-14,那么 c=------------B.3 C.4 D.5

2、已知函数 f ? x ? ? x3 ? 3ax2 ? 3(a ? 2) x ?1 ,既有极大值又有极小值,则实数 a 的 取值范围是 3. 函数 y ? 3x2 ? 2ln x 的极值为 4、已知 f(x)=ax -6ax +b 在[-1,2]上的最大值为 3,最小值为-29,则 a=_ __ 三、解答题 (1)求函数 y ?
x 的极值 x ?3
2
3 2

(2)求函数 y=-x3-3x2+9x-1 在[-3,2] 上的最小值。

4. 已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax ? b(a ? 0) 的极大值为 6,极小值为 2,求 f ( x) 的单调区 间 。

一、选择题 1.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f′(x)( A.等于 0 C.小于 0 [答案] A [解析] ∵M=m,∴y=f(x)是常数函数 ∴f′(x)=0,故应选 A. 1 1 1 2.设 f(x)= x4+ x3+ x2 在[-1,1]上的最小值为( 4 3 2 A.0 C.-1 [答案] A [解析] y′=x3+x2+x=x(x2+x+1) 令 y′=0,解得 x=0. 5 13 ∴f(-1)= ,f(0)=0,f(1)= 12 12 ∴f(x)在[-1,1]上最小值为 0.故应选 A. 3.函数 y=x3+x2-x+1 在区间[-2,1]上的最小值为( 22 A. 27 C.-1 [答案] C [解析] y′=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1) B .2 D.-4 ) B.-2 13 D. 12 ) B.大于 0 D.以上都有可能 )

1 令 y′=0 解得 x= 或 x=-1 3 当 x=-2 时,y=-1;当 x=-1 时,y=2; 1 22 当 x= 时,y= ;当 x=1 时,y=2. 3 27 所以函数的最小值为-1,故应选 C. 4.函数 f(x)=x2-x+1 在区间[-3,0]上的最值为( 3 A.最大值为 13,最小值为 4 B.最大值为 1,最小值为 4 C.最大值为 13,最小值为 1 D.最大值为-1,最小值为-7 [答案] A [解析] ∵y=x2-x+1,∴y′=2x-1, 1? 3 1 令 y′=0,∴x= ,f(-3)=13,f? ?2?=4,f(0)=1. 2 5.函数 y= x+ 1-x在(0,1)上的最大值为( A. 2 C.0 [答案] A [解析] y′= 1 1 1 1-x- x - = · 2 x 2 1-x 2 x· 1-x B .1 D.不存在 ) )

1? 1 ?1 ? 由 y′=0 得 x= ,在? ?0,2?上 y′>0,在?2,1?上 2 1 y′<0.∴x= 时 y 极大= 2, 2 又 x∈(0,1),∴ymax= 2. 6.函数 f(x)=x4-4x (|x|<1)( A.有最大值,无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,有最小值 D.既无最大值,也无最小值 [答案] D [解析] f′(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1). 令 f′(x)=0,得 x=1.又 x∈(-1,1) ∴该方程无解, )

故函数 f(x)在(-1,1)上既无极值也无最值.故选 D. 7.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最大值和最小值分别是( A.5,-15 C.-4,-15 [答案] A [解析] y′=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1), 令 y′=0,得 x=2 或 x=-1(舍). ∵f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4, ∴ymax=5,ymin=-15,故选 A. 15 8.已知函数 y=-x2-2x+3 在[a,2]上的最大值为 ,则 a 等于( 4 3 A.- 2 1 C.- 2 [答案] C [解析] y′=-2x-2,令 y′=0 得 x=-1. 当 a≤-1 时,最大值为 f(-1)=4,不合题意. 当-1<a<2 时,f(x)在[a,2]上单调递减, 15 最大值为 f(a)=-a2-2a+3= , 4 1 3 解得 a=- 或 a=- (舍去). 2 2 9.若函数 f(x)=x3-12x 在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是 ( A.k≤-3 或-1≤k≤1 或 k≥3 B.-3<k<-1 或 1<k<3 C.-2<k<2 D.不存在这样的实数 [答案] B [解析] 因为 y′=3x2-12,由 y′>0 得函数的增区间是(-∞,-2)和(2,+∞),由 y′<0,得函数的减区间是(-2,2),由于函数在(k-1,k+1)上不是单调函数,所以有 k-1< -2<k+1 或 k-1<2<k+1,解得-3<k<-1 或 1<k<3,故选 B. 10.函数 f(x)=x3+ax-2 在区间[1,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是( A.[3,+∞) C.(-3,+∞) B.[-3,+∞) D.(-∞,-3) ) ) 1 B. 2 1 3 D. 或- 2 2 ) B.5,4 D.5,-16 )

[答案] B [解析] 上恒成立 即 a≥-3x2 在[1,+∞)上恒成立 又∵在[1,+∞)上(-3x2)max=-3 ∴a≥-3,故应选 B. 二、填空题 3 3 11.函数 y=x +(1-x) ,0≤x≤1 的最小值为______. 2 2 [答案] 2 2 ∵f(x)=x3+ax-2 在[1,+∞)上是增函数,∴f′(x)=3x2+a≥0 在[1,+∞)

1 1 由 y′>0 得 x> ,由 y′<0 得 x< . 2 2 1? 1 2 ?1 ? 此函数在? ?0,2?上为减函数,在?2,1?上为增函数,∴最小值在 x=2时取得,ymin= 2 . 12.函数 f(x)=5-36x+3x2+4x3 在区间[-2,+∞)上的最大值________,最小值为 ________. 3 [答案] 不存在;-28 4 [解析] f′(x)=-36+6x+12x2, 3 3 3 令 f′(x)=0 得 x1=-2,x2= ;当 x> 时,函数为增函数,当-2≤x≤ 时,函数为减 2 2 2 3? 3 3 函数,所以无最大值,又因为 f(-2)=57,f? ?2?=-284,所以最小值为-284. x 3 13.若函数 f(x)= 2 (a>0)在[1,+∞)上的最大值为 ,则 a 的值为________. 3 x +a [答案] 3-1

x2+a-2x2 a-x2 [解析] f′(x)= 2 2 = 2 (x +a) (x +a)2 令 f′(x)=0,解得 x= a或 x=- a(舍去) 当 x> a时,f′(x)<0;当 0<x< a时,f′(x)>0; 当 x= a时,f(x)= ∴f(x)max=f(1)= a 3 3 = , a= <1,不合题意. 2a 3 2

1 3 = ,解得 a= 3-1. 3 1+a

14.f(x)=x3-12x+8 在[-3,3]上的最大值为 M,最小值为 m,则 M-m=________.

[答案] 32 [解析] f′(x)=3x2-12 由 f′(x)>0 得 x>2 或 x<-2, 由 f′(x)<0 得-2<x<2. ∴f(x)在[-3,-2]上单调递增,在[-2,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增. 又 f(-3)=17,f(-2)=24,f(2)=-8, f(3)=-1, ∴最大值 M=24,最小值 m=-8, ∴M-m=32. 三、解答题 15.求下列函数的最值: π π? (1)f(x)=sin2x-x? ?-2≤x≤2?; (2)f(x)=x+ 1-x2. [解析] (1)f′(x)=2cos2x-1. 1 令 f′(x)=0,得 cos2x= . 2 π π? 又 x∈? ?-2,2?,∴2x∈[-π,π], π π ∴2x=± ,∴x=± . 3 6 π π? ∴函数 f(x)在? ?-2,2?上的两个极值分别为 π? 3 π ? π? 3 π f? ?6?= 2 -6,f?-6?=- 2 +6. 又 f(x)在区间端点的取值为 π? π ? π? π f? ?2?=-2,f?-2?=2. π π 比较以上函数值可得 f(x)max= ,f(x)min=- . 2 2 (2)∵函数 f(x)有意义, ∴必须满足 1-x2≥0,即-1≤x≤1, ∴函数 f(x)的定义域为[-1,1].
1 1 x - f′(x)=1+ (1-x2) 2· (1-x2)′=1- . 2 1-x2

令 f′(x)=0,得 x=

2 . 2

∴f(x)在[-1,1]上的极值为

f?

2 2? = + ?2? 2

1-?

2?2 = 2. ?2?

又 f(x)在区间端点的函数值为 f(1)=1,f(-1)=-1,比较以上函数值可得 f(x)max= 2, f(x)min=-1. 3 1? 16.设函数 f(x)=ln(2x+3)+x2.求 f(x)在区间? ?-4,4?上的最大值和最小值. 3 ? [解析] f(x)的定义域为? ?-2,+∞?. f′(x)=2x+ = 4x2+6x+2 2 = 2x+3 2x+3

2(2x+1)(x+1) . 2x+3

3 当- <x<-1 时,f′(x)>0; 2 1 当-1<x<- 时,f′(x)<0; 2 1 当 x>- 时,f′(x)>0, 2 3 1? 所以 f(x)在? ?-4,4?上的最小值为 1? 1 f? ?-2?=ln2+4. 3? ?1? 49? 3 9 7 1 3 1 1? 又 f? ?-4?-f?4?=ln2+16-ln2-16=ln7+2=2?1-ln 9 ?<0, 3 1? 7 1 ?1? 所以 f(x)在区间? ?-4,4?上的最大值为 f?4?=ln2+16. 17.(2010· 安徽理,17)设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间及极值; (2)求证:当 a>ln2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1. [分析] 本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和证明函 数不等式,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力. 解题思路是:(1)利用导数的符号判定函数的单调性,进而求出函数的极值.(2)将不等 式转化构造函数,再利用函数的单调性证明. [解析] (1)解:由 f(x)=ex-2x+2a,x∈R 知 f′(x)=ex-2,x∈R. 令 f′(x)=0,得 x=ln2.于是当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,ln2) - 单调递减 ln2 0 2(1-ln2+a) (ln2,+∞) + 单调递增 ?

? 故 f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞), f(x)在 x=ln2 处取得极小值,极小值为 f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a). (2)证明:设 g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是 g′(x)=ex-2x+2a,x∈R. 由(1)知当 a>ln2-1 时,g′(x)最小值为 g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0. 于是对任意 x∈R,都有 g′(x)>0,所以 g(x)在 R 内单调递增. 于是当 a>ln2-1 时,对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)>g(0). 而 g(0)=0,从而对任意 x∈(0,+∞),g(x)>0. 即 ex-x2+2ax-1>0,故 ex>x2-2ax+1. 4x2-7 18.已知函数 f(x)= ,x∈[0,1]. 2-x (1)求 f(x)的单调区间和值域; (2)设 a≥1, 函数 g(x)=x3-3a2x-2a, x∈[0,1]. 若对于任意 x1∈[0,1], 总存在 x0∈[0,1], 使得 g(x0)=f(x1)成立,求 a 的取值范围. [解析] (1)对函数 f(x)求导,得 -4x2+16x-7 (2x-1)(2x-7) f′(x)= =- 2 (2-x) (2-x)2 1 7 令 f′(x)=0 解得 x= 或 x= . 2 2 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) - 7 2 0 1 (0, ) 2 - ? 1 2 0 -4 1 ( ,1) 2 + ? -3 1

1 所以,当 x∈(0, )时,f(x)是减函数; 2 1 ? 当 x∈? ?2,1?时,f(x)是增函数. 当 x∈[0,1]时,f(x)的值域为[-4,-3]. (2)g′(x)=3(x2-a2). 因为 a≥1,当 x∈(0,1)时,g′(x)<0. 因此当 x∈(0,1)时,g(x)为减函数,从而当 x∈[0,1]时有 g(x)∈[g(1),g(0)]. 又 g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,即 x∈[0,1]时有 g(x)∈[1-2a-3a2,-2a]. 任给 x1∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在 x0∈[0,1]使得 g(x0)=f(x1)成立, 则[1-2a-3a2,-2a]?[-4,-3].

2 ? ?1-2a-3a ≤-4,① 即? ?-2a≥-3.② ?

5 3 解①式得 a≥1 或 a≤- ;解②式得 a≤ . 3 2 3 又 a≥1,故 a 的取值范围为 1≤a≤ . 2 一、选择题 1.已知函数 f(x)在点 x0 处连续,下列命题中,正确的是( A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在点 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极小值 C.如果在点 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值 D.如果在点 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极大值 [解析] 导数为 0 的点不一定是极值点,例如 f(x)=x3,f′(x)=3x2,f′(0)=0,但 x=0 不是 f(x)的极值点,故 A 错;由极值的定义可知 C 正确,故应选 C. 2.函数 y=1+3x-x3 有( A.极小值-2,极大值 2 B.极小值-2,极大值 3 C.极小值-1,极大值 1 D.极小值-1,极大值 3 [答案] D [解析] y′=3-3x2=3(1-x)(1+x) 令 y′=0,解得 x1=-1,x2=1 当 x<-1 时,y′<0,函数 y=1+3x-x3 是减函数, 当-1<x<1 时,y′>0,函数 y=1+3x-x3 是增函数, 当 x>1 时,y′<0,函数 y=1+3x-x3 是减函数, ∴当 x=-1 时,函数有极小值,y 极小=-1. 当 x=1 时,函数有极大值,y 极大=3. 3.设 x0 为 f(x)的极值点,则下列说法正确的是( A.必有 f′(x0)=0 B.f′(x0)不存在 C.f′(x0)=0 或 f′(x0)不存在 D.f′(x0)存在但可能不为 0 [答案] C [解析] 如:y=|x|,在 x=0 时取得极小值,但 f′(0)不存在. ) ) )

4.对于可导函数,有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] C [解析] 只有这一点导数值为 0,且两侧导数值异号才是充要条件. 5.对于函数 f(x)=x3-3x2,给出命题: ①f(x)是增函数,无极值; ②f(x)是减函数,无极值; ③f(x)的递增区间为(-∞,0),(2,+∞),递减区间为(0,2); ④f(0)=0 是极大值,f(2)=-4 是极小值. 其中正确的命题有( A.1 个 C.3 个 [答案] B ) B .2 个 D.4 个

)

[解析] f′(x)=3x2-6x=3x(x-2), 令 f′(x)>0, 得 x>2 或 x<0, 令 f′(x)<0,得 0<x<2, ∴①②错误. 1 6.函数 f(x)=x+ 的极值情况是( x )

A.当 x=1 时,极小值为 2,但无极大值 B.当 x=-1 时,极大值为-2,但无极小值 C.当 x=-1 时,极小值为-2;当 x=1 时,极大值为 2 D.当 x=-1 时,极大值为-2;当 x=1 时,极小值为 2 [答案] D 1 [解析] f′(x)=1- 2,令 f′(x)=0,得 x=± 1, x 函数 f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减, ∴当 x=-1 时,取极大值-2,当 x=1 时,取极小值 2. 7.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函 数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )

A.1 个 C.3 个 [答案] A

B .2 个 D.4 个

[解析] 由 f′(x)的图象可知,函数 f(x)在区间(a,b)内,先增,再减,再增,最后再减, 故函数 f(x)在区间(a,b)内只有一个极小值点. 8.已知函数 y=x-ln(1+x2),则函数 y 的极值情况是( A.有极小值 B.有极大值 C.既有极大值又有极小值 D.无极值 [答案] D 1 [解析] ∵y′=1- (x2+1)′ 1+x2 (x-1)2 2x =1- 2 = 2 x +1 x +1 令 y′=0 得 x=1,当 x>1 时,y′>0, 当 x<1 时,y′>0, ∴函数无极值,故应选 D. 9.已知函数 f(x)=x3-px2-qx 的图象与 x 轴切于(1,0)点,则函数 f(x)的极值是( 4 A.极大值为 ,极小值为 0 27 4 B.极大值为 0,极小值为 27 4 C.极大值为 0,极小值为- 27 4 D.极大值为- ,极小值为 0 27 [答案] A [解析] 由题意得,f(1)=0,∴p+q=1① f′(1)=0,∴2p+q=3② 由①②得 p=2,q=-1. ∴f(x)=x3-2x2+x,f′(x)=3x2-4x+1 ) )

=(3x-1)(x-1), 1? 4 1 令 f′(x)=0,得 x= 或 x=1,极大值 f? ?3?=27,极小值 f(1)=0. 3 10.下列函数中,x=0 是极值点的是( A.y=-x3 C.y=tanx-x [答案] B 1+cos2x [解析] y=cos2x= ,y′=-sin2x, 2 x=0 是 y′=0 的根且在 x=0 附近,y′左正右负, ∴x=0 是函数的极大值点. 二、填空题 2x 11.函数 y= 2 的极大值为______,极小值为______. x +1 [答案] 1 -1 2(1+x)(1-x) [解析] y′= , (x2+1)2 令 y′>0 得-1<x<1,令 y′<0 得 x>1 或 x<-1, ∴当 x=-1 时,取极小值-1,当 x=1 时,取极大值 1. 12.函数 y=x3-6x+a 的极大值为____________,极小值为____________. [答案] a+4 2 a-4 2 )

B.y=cos2x 1 D.y= x

[解析] y′=3x2-6=3(x+ 2)(x- 2), 令 y′>0,得 x> 2或 x<- 2, 令 y′<0,得- 2<x< 2, ∴当 x=- 2时取极大值 a+4 2, 当 x= 2时取极小值 a-4 2. 13.已知函数 y=x3+ax2+bx+27 在 x=-1 处有极大值,在 x=3 处有极小值,则 a= ______,b=________. [答案] -3 -9 [解析] y′=3x2+2ax+b,方程 y′=0 有根-1 及 3,由韦达定理应有

14.已知函数 f(x)=x3-3x 的图象与直线 y=a 有相异三个公共点,则 a 的取值范围是

________. [答案] (-2,2) [解析] 令 f′(x)=3x2-3=0 得 x=± 1, 可得极大值为 f(-1)=2,极小值为 f(1)=-2, y=f(x)的大致图象如图 观察图象得-2<a<2 时恰有三个不同的公共点. 三、解答题 15.已知函数 f(x)=x3-3x2-9x+11. (1)写出函数 f(x)的递减区间; (2)讨论函数 f(x)的极大值或极小值,如有试写出极值. [解析] f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3), 令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=3. x 变化时,f′(x)的符号变化情况及 f(x)的增减性如下表所示: x f′(x) f(x) (-∞,-1) + 增 -1 0 极大值 f(-1) (-1,3) - 减 3 0 极小值 f(3) (3,+∞) + 增

(1)由表可得函数的递减区间为(-1,3); (2)由表可得,当 x=-1 时,函数有极大值为 f(-1)=16;当 x=3 时,函数有极小值为 f(3)=-16. 16.设函数 f(x)=ax3+bx2+cx,在 x=1 和 x=-1 处有极值,且 f(1)=-1,求 a、b、c 的值,并求出相应的极值. [解析] f′(x)=3ax2+2bx+c. ∵x=± 1 是函数的极值点,∴-1、1 是方程 f′(x)=0 的根,即有

又 f(1)=-1,则有 a+b+c=-1,

1 3 此时函数的表达式为 f(x)= x3- x. 2 2 3 3 ∴f′(x)= x2- . 2 2 令 f′(x)=0,得 x=± 1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,-1) + ?

-1 0 极大 值1

(-1,1) - ?

1 0 极小 值-1

(1,+∞) + ?

由上表可以看出,当 x=-1 时,函数有极大值 1;当 x=1 时,函数有极小值-1. 17.已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x 在 x=± 1 处取得极值. (1)讨论 f(1)和 f(-1)是函数 f(x)的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16)作曲线 y=f(x)的切线,求此切线方程. [解析] (1)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,

f′(1)=f′(-1)=0,即 解得 a=1,b=0. ∴f(x)=x3-3x, f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1). 令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=1. 若 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则 f′(x)>0,故 f(x)在(-∞,-1)上是增函数, f(x)在(1,+∞)上是增函数. 若 x∈(-1,1),则 f′(x)<0,故 f(x)在(-1,1)上是减函数. ∴f(-1)=2 是极大值;f(1)=-2 是极小值. (2)曲线方程为 y=x3-3x.点 A(0,16)不在曲线上.
3 设切点为 M(x0,y0),则点 M 的坐标满足 y0=x0 -3x0.

∵f′(x0)=3(x2 0-1),故切线的方程为 y-y0=3(x2 0-1)(x-x0). 注意到点 A(0,16)在切线上,有
2 16-(x3 0-3x0)=3(x0-1)(0-x0).

化简得 x3 0=-8,解得 x0=-2. ∴切点为 M(-2,-2), 切线方程为 9x-y+16=0. a 18.(2010· 北京文,18)设函数 f(x)= x3+bx2+cx+d(a>0),且方程 f′(x)-9x=0 的两 3 个根分别为 1,4. (1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围. [解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用. a 由 f(x)= x3+bx2+cx+d 得 f′(x)=ax2+2bx+c 3 ∵f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0 的两根为 1,4.

(1)当 a=3 时,由(*)式得 解得 b=-3,c=12. 又∵曲线 y=f(x)过原点,∴d=0. 故 f(x)=x3-3x2+12x.



a (2)由于 a>0,所以“f(x)= x3+bx2+cx+d 在(-∞,+∞)内无极值点”等价于“f ′(x) 3 =ax2+2bx+c≥0 在(-∞,+∞)内恒成立” 由(*)式得 2b=9-5a,c=4a. 又∵Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)

解 即 a 的取值范围[1,9].

得 a∈[1,9],

[答案] C

一、选择题: 1.函数 f ( x) ? 2x3 ? 9x2 ? 12x ? 1 的单调递减区间为( ) A. (1, 2) B. (2, ??) C. (??,1) D. (??,1) , (2, ??) 3 2 2.函数 y ? 2 x ? 36 x ? 17 的单调递增区间为( )

A. (??, 0) , (0,12) C. (0,12)

B. (??, 0) , (12, ??) D.以上都不对

3.函数 y ? 3x ? x3 的单调递增区间为( ) A. (0, ??) B. (??, ?1) C. (?1,1) D. (1, ??) 2 4.设 f ( x) ? x ? ( x ? 0) ,则 f ( x) 的单调递增区间为( ) x A. (??, ?2) B. (?2, 0) C. (??, ? 2) D. (? 2,0) 5.下列函数中,在 (0, ??) 上单调递增的是( ) A. y ? ? x2 B. y ? sin 2 x C. y ? xex D. y ? x3 ? x 6.对于函数 y ? x ln x 下列说法正确的是( ) A.在区间 (0,1) 内单调递增 B.在区间 (0,1) 内单调递减 1 1 C.在 (0, ) 内单调递减,在 ( ,1) 内单调递增 e e 1 1 D.在 (0, ) 内单调递增,在 ( ,1) 内单调递减 e e 4 2 7.函数 f ( x) ? x ? 2x ? 5 的单调递增区间为( ) A. (?1, 0) , (1, ??) B. (??, ?1) , (0,1) C. (??, ?1) , (?1, 0) D. (??, ?1) , (1, ??) 8.设 f ( x) ? xa ? ax (0 ? a ? 1) ,则 f ( x) 在 [0, ??) 上的极大值点 x0 等于( A.0 B. a C.1 D. 1 ? a 9.函数 y ? x ? 1 ? x 在 (0,1) 上的最大值为( ) )

A. 2 B.1 C.0 D.不存在 2 10.函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 1在 [1,5] 上的最大值和最小值分别为( ) A. f (1), f (2) B. f (2), f (5) C. f (1), f (5) D. f (5), f (2) 3 5 11.已知 f ( x) ? x3 ? 3x ? 3 ,当 x ? [? , ] 时, f ( x) 的最小值是( ) 2 2 33 89 A. B. ?5 C.1 D. 8 8 12.函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 在 x ? 1 时有极值 10,则 a 、 b 的值为( ) A. a ? 3, b ? ?3 或 a ? ?4, b ? 11 B. a ? ?4, b ? 1 或 a ? ?4, b ? 11 C. a ? ?1, b ? 5 D.以上都不对 13.函数 y ? 2 x3 ? 6 x2 ?18x ? 7 在[1,4]上的最小值是( ) A. ?64 B. ?51 C. ?56 D. ?61 15 14.已知函数 y ? ? x2 ? 2 x ? 3 在 [a, 2] 上的最大值为 ,则 a ? ( ) 4 3 1 1 1 3 A. ? B. C. ? D. 或 ? 2 2 2 2 2 3 2 15. 函数 f ( x) ? x ? px ? qx 的图象与 x 轴切于 (1, 0) 点, 则 f ( x) 的极值情况是 ( 4 4 A.极大值为 ,极小值为 0 B.极大值为 0,极小值为 27 27



C.极大值为 0,极小值为 ?

4 27

D.极大值为 ?

4 ,极小值为 0 27

二、填空题: 16. 函数 f ( x) ? x ln x ( x ? 0) 的单调增区间是______________________________; 17.已知函数 y ? ax3 ? x 在 (??, ??) 上单调递增,则 a 的取值范围是__________; 18.函数 f ( x) ? 2x3 ? ax2 ? 1 在区间 (??, 0) 和 (2, ??) 内单调递增,且在区间 (0, 2) 内单调递减,则 a ? _________; ? ? ?? 19.已知 a ? ( x2 , x ? 1) ,b ? (1 ? x, t ) ,若函数 f ( x) ? a? b 在区间 [?1,1) 内单调递增, 则 t 的取值范围是_________________; 2x ? 2 的极小值是________________; 20.函数 y ? 2 x ?1 21.函数 f ( x) ? x(1 ? x2 ) 在[0,1]上的最大值为____________; 22.若函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3[(a ? 2) x ? 1] 既有极大值又有极小值,则 a 的取值范 围是_________________________. 三、解答题: 23.已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ,求 f ( x) 的单调区间。

24.求函数 f ( x) ? 5 ? 36x ? 3x2 ? 4x3 在区间 [?2, 2] 上的最大值和最小值。

25.已知函数 f ( x) ?

2x ? b ,求导函数 f ' ( x) ,并确定 f ( x) 的单调区间。 ( x ? 1)2

26.已知函数 f ( x ) ? x ?

a ? b ( x ? 0) ,其中 a , b ? R ,讨论函数 f ( x) 的单调性。 x

27.函数 f ( x) ? x3 ? 6 x ? 5 , x ? R. ⑴求函数 f ( x) 的单调区间和极值; ⑵若关于 x 的方程 f ( x) ? a 有三个不同的实根,求实数 a 的取值范围。

28.已知 f ( x) ? ax3 ? 6ax2 ? b ,问是否存在实数 a , b ,使 f ( x) 在 [?1, 2] 上取最 大值 3,最小值 ?29 ?若存在,求出 a , b 的值;若不存在,说明理由。

参考答案
1.A 6.C 11.C 2.B 7.A 12.A 3.C 8.C 13.D 4.C 9.A 14.C 5.C 10.D 15.A

1 16. [ , ??) e

17. [0, ??)
2 3 9

18. ?6

19. [5, ??)

20. ?3

21.

22. a ? 2 ,或 a ? ?1

23.递增区间是 (?1, 0) ;递减区间是 (0, ??)
3 3 24.最大值是 f (?2) ? 57 ;最小值是 f ( ) ? ?28 2 4

2[ x ? (b ? 1)] ; ( x ? 1)3 当 b ? 2 时,递增区间是 (b ? 1,1) ,递减区间是 (??, b ? 1) 和 (1, ??) ; 当 b ? 2 时,递增区间是 (1, b ? 1) ,递减区间是 (??,1) 和 (b ? 1, ??) ; 当 b ? 2 时,递减区间是 (??,1) 和 (1, ??) ,无递增区间。

25. f ' ( x) ? ?

26.当 a ? 0 时, f ( x) 在 (??, 0) 与 (0, ??) 内单调递增; 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (??, ? a ) 与 ( a , ??) 内单调递增,在 (? a ,0) 与 (0, a ) 内单 调递减。 27.⑴递减区间是 (? 2, 2) ,递增区间是 (??, ? 2) 与 ( 2, ??) ;当 x ? ? 2 时, 有极大值 5 ? 4 2 ,当 x ? 2 时,有极小值 5 ? 4 2 ⑵5?4 2 ? a ? 5? 4 2 28. a ? 2, b ? 3 ,或 a ? ?2, b ? ?29


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