高中数学面面垂直的判定与性质_图文

2.3.2

平面与平面垂直的判定

问题 1. 当我们要求别人将一扇门(如教室 门)开大点, 或开小点时, 用什么来度量, 使 开门的人能准确地按要求开门?

如图, 两个平面相交, 常要研究交成的角的大小, 这就需要引入二面角.

要研究和度量二面角的大小, 我们把它转化成从 一点出发的两条射线的夹角.
以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个半平 面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成 的角叫做二面角的平面角. 二面角的大小就由它的平面角确定. 如图, 以棱 l 上任一点O为端点, 在半平面 a 内作OA⊥l, 在半平面 b 内作OB⊥l, 则∠AOB就是二面角a-l-b 的平面角. ∠AOB的大小就是二面角 a-l-b 的大小.

blO a

B

·
A

二面角的平面角的画法.
(1)第一种画法:定义法 点P在二面角棱上时, 经过P点分别在两个面内作棱的垂线, 这两条射线组成了二面角的平面角. (2)第二种画法: 三垂线法 点P在二面角的一个面内时, 经过P点分别作另一个面和棱的垂线, 连接两个垂足的这条线段与过P 点所作的棱的垂线组成了二面角 的平面角.

(3)第三种画法: 垂面法 点P 在二面角的两个面外时, 经过P 点分别作两个面的垂线. 这两条垂线确定的平面与二 面角的两个面的两条交线就 组成了二面角的平面角.

a
O

a
B

bA

P

问题 2. 如图, △ABC和△DBC是空间的两个等边 三角形, ∠ABD和∠ACD是二面角 A-BC-D的平面角 吗? 如果不是, 你能找出它的一个平面角吗?
A C E B D

例1.如图, 三棱锥 V-ABC中, VA=VB=AC=BC=2, AB= 2 3, VC=1, 试画出二面角 V-AB-C 的平面角, 并求它的度数. V
A C B



练习: 如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 长为 a, 求二面角 A1-BD-C1 的正切值.
D
O

C
B

A D1
A1

C1
B1

例2 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, AB//DC, AB⊥BC, PC⊥平面ABCD, PC=CB=BA=2, DC=4, 求二面角P-AD-C 的正切值.
P

D A
B

C

练习:如图 ,三棱锥 P-ABC 的顶点 P 在底面 ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O, 若PB=AB=1,BC= ,求二面角 P-AB-C的正 2 切值. P

A

E

B O

C

例 3 . 如 图 P 为 二 面 角 α–ι–β 内 一 点 , PA⊥?,PB⊥β, 且 PA=5 , PB=8 , AB=7 , 求 这二面角的度数.
P β

B

ι

O

A α

课后练习
1.如图,已知P是二面角α-AB-β棱上一点,过 P分别 在 α 、 β 内 引 射 线 PM 、 PN , 且 ∠ MPN=60? ∠BPM=∠BPN=45?,求此二面角的度数.
C M

α B

A

P

O

D N β

2.已知在一个60°的二面角的棱上有两点A、 B,AC、BD分别是在这个二面角两个面内, 且垂直于AB的线段,又知AB=4cm,AC =6cm,BD=8cm,求CD的长.

C A D B

3.如图,山坡上的倾斜度(坡面与水平面所成 的二面角的度数)是60?,山坡上有一条直道 CD,它和坡脚的水平线AB的夹角是30?,沿着 这条路上山,行走100m后升高多少m?

a

D

30

0

H

b

A

C

G

B

两个平面垂直的定义
平面角是直角的二面角叫做直二面角. 一般地, 两个平面相交, 如果它们所成的二 面角是直二面角, 就说这两个平面互相垂直. 平面 a 与平面 b 垂直, 记作: a⊥b. 画两个平面垂直, 一般应把直立平面的竖边画成 和水平平面的横边垂直.

b a

b

a

问题3. 请同学们用一支铅笔垂直于你坐的桌面, 再用书面或硬纸板紧靠铅笔, 请问: 书面与桌面构成 直二面角吗? 书面与桌面是否垂直?
两个平面垂直的判定定理: 一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面 垂直. 符号表示:
b
l

l⊥ a , ? b?a. l ?b,

a

例4. 如图, AB是⊙O的直径, PA垂直于⊙O所在 的平面, C 是圆周上不同于 A, B 的任意一点. 求证: 平面 PAC⊥平面 PBC. P

C A O

·

B

探究: 如图, 已知AB⊥平面BCD, BC⊥CD,你能发现哪些平面互相垂直, 为什么?
A

B C

D

练习:如右图:A是ΔBCD所在平面外一点, AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,E是BD的中点, 求证:平面AEC⊥平面ABD
A

B E

C

D

课堂练习
一、判断: 1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内 的一条直线,则α⊥β.( )× 2.如果平面α内有一条直线垂直于平面 β内的两条直线,则α⊥β.( ) × 3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的 两条相交直线, 则α⊥β.( ) √ 4.若m⊥α,m//β,则α⊥β.( ) √

二、填空题:
无数个平面 1.过平面α的一条垂线可作_____ 与平面α垂直. 无数 个平面与已知平面垂直. 2.过一点可作_____ 3.过平面α的一条斜线,可作____ 一 个平 面与平 面α垂直. 一个平面与α 4.过平面α的一条平行线可作____ 垂直.

课后作业:
已知:ABCD为正方形,SD⊥平面AC,问: 图中所示的7个平面中,共有多少个平面互 S 相垂直,请列出.

D

C

A

O
B

2.3.4

平面与平面 垂直的性质

问题 1. 请同学们在一块硬纸板 (或书面) 上画一 条垂直于某边的直线 l, 再将硬纸板 (或书面) 与桌面 垂直, 并使这边在桌面内. 请问, 你画的直线 l 与桌 面是什么位置关系? 为什么?
b a
A
C

l D
B

两平面垂直的性质定理: 两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直. 符号表示:
l a
m

a?b, a∩b = m, l ?a,
l⊥m,

b

? l⊥ b .

例1. 已知平面 a, b , a⊥b, 直线 a 满足 a⊥b, a?a, 试判断直线 a 与平面 a 的位置关系.
b

a
a m

b

探究 已知平面 a, b,

直线 a, 且 a⊥b, a∩b = AB, a//a, a⊥AB, 能判断直线 a 与平面 b 的位置关系吗?
b A

a

g

a B

b

两平面垂直, 平行于一平面 的直线垂直于另一平面.

练习:
1. 下列命题中错误的是( A ) (A) 如果平面 a⊥平面 b, 那么平面 a 内所有直线 都垂直于平面 b (B) 如果平面 a⊥平面 b, 那么平面 a 内一定存在 直线平行于平面 b (C) 如果平面 a 不垂直于平面 b, 那么平面 a 内 一定不存在直线垂直于平面 b (D) 如果平面 a⊥平面 g, 平面 b⊥平面 g, a∩b = l, 那么l⊥g

2. 已知两个平面垂直, 下列命题 ① 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面 内的任意一条直线. ② 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面 内的无数条直线. ③ 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平 面. ④ 过一个平面内任意一点作交线的垂线, 则此 垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是 ( B ) (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

例2.如图,AB是⊙O的直径,点C是圆 上异于A、B的任意一点,PA⊥平面ABC, AF⊥PC于点F,求证:AF⊥平面PBC

P

F
C

A

O

B

例3. 如图,已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面 PBC,求证:BC⊥平面PAB

P
A B

C

例 1. 如图, 四棱锥ABCD 的各条棱长 都等于 a, E 是 AD 的中点. (1) 求这个棱锥的高; (2) 求CE与平面BCD所成角的正弦.
A E B C D

例 2. 如图, 四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, SD 垂直于底面 ABCD, SB= 3 . 求面SAD 与面 SBC 所成二面角的大小. C? S
A?

B? D C
B

A

例3. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD为菱形, PA⊥底面ABCD, AC= PA=2, E 是 PC 上的一点, PE=2EC. (1) 证明: PC⊥平面BED; B (2) 设二面角 A-PB-C 为90?, 求 PD 与平面 PBC所成角的大小.

P A O C D

E

例 4.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形, AB∥CD,AC⊥BD,垂足为 H,PH 是四棱锥的 高,已知 AB= . 6 ,∠APB=∠ADB=60°

(1)证明: 平面 PAC⊥平面 PBD; (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (3)求 PH 与平面 PAD 所成角的正切值.

练习
1.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为 矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC ⊥平面 BDE. (1)证明:BD⊥平面 PAC;
2, (2)若 PA= 2 AD=2,求二面角 B-PC-A 的正切 3

值.

2.如图所示,正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面边 长为 2 2 ,侧棱长为 4.E,F 分别为棱 AB,BC 的中 点,EF∩BD=G. (1)求证:平面 B1EF⊥平面 BDD1B1; (2)求点 D1 到平面 B1EF 的距离 d; (3)求三棱锥 B1EFD1 的体积 V.

3.如图,在圆锥 PO 中,已知 PO=2,⊙O 的直径 AB=2,C 是 AB 的中点,D 为 AC 的中点. (1)证明:平面 POD⊥平面 PAC; (2)求二面角 B-PA-C 的余弦值.

4. 在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中, AB=BC=2 ,过 A1、C1、B 三点的平面截去长方体的一个角后,得 如图所示的几何体 ABCD-A1B1C1D1,且这个几何 体的体积为 40 .
3

(1)求棱 A1 A 的长; (2)在线段 BC1 上是否存在点 P, 使直线 A1P⊥C1D? 如果存在,求线段 A1P 的长;若不存在,请说明理 由.


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