2018版高中数学北师大版必修二学案:第二章 3-1 空间直角坐标系的建立 3-2 空间直角坐标系中

3. 1 3. 2 学习目标 空间直角坐标系的建立 空间直角坐标系中点的坐标 1.了解空间直角坐标系的建系方式.2.掌握空间中任意一点的表示方法.3.能在空 间直角坐标系中求出点的坐标. 知识点 空间直角坐标系 思考 1 在数轴上,一个实数就能确定一个点的位置.在平面直角坐标系中,需要一对有序 实数才能确定一个点的位置.为了确定空间中任意一点的位置,需要几个实数? 思考 2 空间直角坐标系需要几个坐标轴,它们之间什么关系? 梳理 (1)空间直角坐标系 ①建系方法:过空间任意一点 O 作三条两两互相______的轴、有________的长度单位. ②建系原则:伸出右手,让四指与大拇指________,并使四指先指向________正方向,然后 让四指沿握拳方向旋转________指向________正方向, 此时大拇指的指向即为________正向. ③构成要素:________叫作原点,________轴统称为坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一 个坐标平面,分别称为________平面、________平面和________平面. (2)空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系中,空间一点 P 的坐标可用三元有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数 组________叫作点 P 在此空间直角坐标系中的坐标,记作________,其中 x 叫作点 P 的 ________,y 叫作点 P 的________,z 叫作点 P 的________. 特别提醒:(1)在空间直角坐标系中,空间任一点 P 与有序实数组(x,y,z)之间是一种一一 对应关系. (2)对于空间点关于坐标轴和坐标平面对称的问题,要记住“关于谁对称谁不变”的原则. 类型一 确定空间中点的坐标 例 1 已知正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 5 2,侧棱长为 13,建立的空间直角坐标系如 图,写出各顶点的坐标. 引申探究 1.若本例中的正四棱锥建立如图所示的空间直角坐标系,试写出各顶点的坐标. 1 题图 2 题图 2.若本例中的条件变为“正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 4,侧棱长为 10”,试建立适 当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标. 反思与感悟 (1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上. ②充分利用几何图形的对称性. (2)求某点 M 的坐标的方法 作 MM′垂直平面 xOy,垂足 M′,求 M′的横坐标 x,纵坐标 y,即点 M 的横坐标 x,纵 坐标 y,再求 M 点在 z 轴上射影的竖坐标 z,即为 M 点的竖坐标 z,于是得到 M 点坐标(x, y,z). (3)坐标平面上的点的坐标特征 xOy 平面上的点的竖坐标为 0,即(x,y,0). yOz 平面上的点的横坐标为 0,即(0,y,z). xOz 平面上的点的纵坐标为 0,即(x,0,z). (4)坐标轴上的点的坐标特征 x 轴上的点的纵坐标、竖坐标都为 0,即(x,0,0). y 轴上的点的横坐标、竖坐标都为 0,即(0,y,0). z 轴上的点的横坐标、纵坐标都为 0,即(0,0,z). 跟踪训练 1 建立适当的坐标系,写出底边长为 2,高为 3 的正三棱柱的各顶点的坐标. 类型二 已知点的坐标确定点的位置 例 2 在空间直角坐标系中作出点 P(5,4,6). 反思与感悟 已知点 P 的坐标确定其位置的方法 (1)利用平移点的方法,将原点按坐标轴方向三次平移得点 P. (2)构造适合条件的长方体,通过和原点相对的顶点确定点 P 的位置. (3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面,由平面的交点确定点 P. 跟踪训练 2 点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( A.y 轴上 C.xOz 平面上 类型三 空间中点的对称问题 命题角度1 关于点和线的对称问题 例3 ( ) B.(2,-1,-4) D.(-2,3,12) ) (1)在空间直角坐标系中,点 P(-2,1,4)关于点 M(2,-1,-4)对称的点 P3 的坐标是 ) B.xOy 平面上 D.yOz 平面上 A.(0,0,0) C.(6,-3,-12) (2)已知点 A(-3,1,-4),则点 A 关于 x 轴的对称点的坐标为( A.(-3,-1,4) C.(3,1,4) B.(-3,-1,-4) D.(3,-1,-4) 反思与感悟 (1)利用线段中点的坐标公式可解决关于点的对称问题. (2)解决关于线对称问题的关键是关于“谁”对称,“谁”不变,如本例(2)中点 A 关于 x 轴 对称,则对称点的横坐标不变,纵、竖坐标都变为其相反数. 跟踪训练 3 在空间直角坐标系中, P(2,3,4), Q(-2,3, -4)两点的位置关于________对称. 命题角度2 关于平面对称 例 4 在空间直角坐标系中,点 P(1,3,-5)关于平面 xOy 对称的点的坐标是( A.(-1,3,-5) C.(1,3,5) B.(1,-3,5) D.(-1,-3,5) ) 反思与感悟 本题易错点是把关于平面对称与关于线对称搞混, 破解此类题关键是关于“谁” 对称,“谁”不变,如本题,点 P 关于平面 xOy 对称,则对称点的横、纵坐标不变,竖坐 标变为其相反数. 跟踪训练 4 点(1,a,b)关于平面 xOy 及 x 轴的对称点的坐标分别是(1,2,c)和(d,-2,- 3),则 a,b,c,d 的值分别是________. 1.点 Q(0,0,2 017)的位置是( A.在 x 轴上 C.在 z 轴上 ) B.在 y 轴上 D.在平面 xOy 上 ) B.关于 y 轴对称 D.关于 z 轴对称 ) 2.点(2,-1,5)与点(2,-1,-5)( A.关于 x 轴对称 C.关于 xOy 平面对称 3.点 A(-1, 3,2)在 xOz 平面的投影点的坐标为( A.(-1,- 3,2) C.(1, 3,-2) B.(-1,0,2)

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