高等数学级数的概念和敛散性-精选文档_图文

第八章
无穷级数

课题二十三 级数的概念和敛散性

【授课时数】 总时数:4学时. 【学习目标】 1、知道级数的相关概念和性质; 2、会用比较审敛法和比值审敛法判断正项级数 的敛散性; 3、会判断交错级数和一般级数的敛散性。 【重、难点】 重点:级数的相关概念,由数列知识引出。 难点:正确判断级数的敛散性,由实例讲解方法。

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课题二十三 级数的概念和敛散性

一、问题的提出
1. 计算圆的面积 正六边形的面积 a 1 正十二边形的面积 a 1 ?a 2

R

? a ? ? ? a 正 3?2 形的面积 a 1 2 n
n

A ? a ? a ? ? ? a ? ? 1 2 n
13 3 3 3 2 . ?? ? ? ? ?n ? ? 310 100 1000 10

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一般项

二、级数的概念
1.级数的定义 记作
?

u ? u ? u ? ? ? u ? ? ? u ? 1 2 3 n n
2.级数的部分和
n ? 1

s ? u ? u ? ? ? u ? u ? n 1 2 n i
3.级数的分类
i ? 1

n

?常数项级数 级数? ?函数项级数

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1 1 1 ( 1 ) 1 ? ? ? ? ?n ? ? ? 1 2 4 2

( 2 ) 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ( ? 1 )n ? ?
2 n ? 1n ? 1 ( 3 ) 1 ? x ? x ? ? ? ( ? 1 ) x ? ?

n ? 1

( 4 ) cos x ? cos 2 x ? cos 3 x ? ? ? cos nx ? ?

上述数列中, (1)、(2)是数项级数,(3)、(4) 是函数 项级数.

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4. 级数的收敛与发散

定义 当 n 无限增大时 , 如果级数

?u
n ?1 ?

?

n

的部分和 sn 收敛 ,这时

有极限 s , 即 lim sn ? s 则称无穷级数
n ??

?u
n ?1

n

极限 s 叫做级数

?u
n ?1

?

n

的和. 并写成
?

u1 ? u2 ? ? ? u3 ? ? ? s

s 如 果 没 有 极 限 , 则 称 无 穷 级 数u 散 . n n发

? n ? 1

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?

1 [例1] 判别级数 ? 的敛散性. 2 n? 1 )?(2 n? 1 ) n ? 1( 1 1 1 1 ? ( ? ) 解 ?u n? ( 2 n ? 1 )( 2 n ? 1 ) 22 n ? 1 2 n ? 1

1 1 1 ? s ? ? ? ? ? n 1 ? 33 ? 5 ( 2 n ? 1 ) ? ( 2 n ? 1 ) 1 11 1 1 11 1 ? ( 1 ? ) ? (? ) ? ? ? ( ? ) 2 32 3 5 2 2 n ? 1 2 n ? 1 1 1 ? (1? ) 2 2n?1 1 1 1 ? lim s lim ( 1 ? ) ? n? n ? ? n ? ? 2 2 n ? 1 2 1 即该级数收敛 , 和为 . 2

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的敛散性. 解

2 3 n ? 1 lg? ? ? lg ? ? [例2] 判别无穷级数 lg? 1 2 n

n?1 ?u ? lg( n ? 1 ) ? lg n n ?lg n

? s ? (lg 2 ? lg 1 ) ? (lg 3 ? lg 2 ) ? ? ? (lg( n ? 1 ) ? lg n ) n
?lg( n? 1 )

??? ? lim s lim lg( n ? 1 ) n?
n ? ? n ? ?

即该级数发散 .

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? n?0

n aq (a ? 0)的敛散性. [例3] 讨论等比级数 ?

n ? aq n a aq s ? a ? aq ? aq ? ? ? aq ? ? ? , n 1? q 1? q 1? q a n sn ? q ?0 ? lim 当 q?1 时 ,? lim n ? ? 1?q 收敛 n ? ?

解 如果 q ? 1 时
2

n ? 1 a

n s ? 发散 当 q ?1 时 ,? lim q ? ??lim n? n ? ? n ? ?

如果 q? 1 时
当 q? 1 时 , s ? na ? ? n
发散

当 q ? ? 1 时 , 级数变为 a ? a ? a ? a ? ? 发散

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?

综上知,等比级数(几何级数)?

aq n ,

当 q ?1 时 ,收敛 ;

n?0

当 q ?1 时 ,发散 .

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?

三、基本性质

性质 1 如果级数
注意:
n??

?u
n ?1

n

收敛,则 lim un ? 0 .
n??

( 1 )若 lim un ? 0 ,则 也可能发散 .

?u
n ?1

?

n

可能收敛,

(2 )若 lim un ? 0 ,则
n??

?u
n ?1

?

n

发散.

(可以用(2)来快速判断级数的发散.)

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?

1 2 3 n n ? ? ? ??? ??, 例如级数 ? 2 3 4 n ?1 n ?1 n ? 1 n lim un ? lim ? 1 ? 0 ,则该级数发散. n ?? n ?? n ? 1
级数的一般项满足 lim u n ? 0 并不是级数收敛的
n??

充分条件.
1 例如调和级数 ? 满足 lim u n ? 0 ,但它是发散的. n?? n ?1 n
?

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1 1 1 1 证明: 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ? ? ( m ? m ? ? m?1 ) ? ? 2 3 4 5 6 7 8 2 ?1 2 ? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ? ? ( m?1 ? m?1 ? ? m?1 ) ? ? 2 4 4 8 8 8 8 2 2 2 m ?1 ??? ? ? ??? ? 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? (m ? 1) 2 2 2 2 2 1 这个加括号的级数前 m ? 1 项和 ( m ? 1) ,故该级数发散. 2

1 调和级数 ? 是发散的. n ?1 n

?

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性质 2 若级数

? u 收敛,则 ? Cu
n ?1 n n ?1
?

?

?

n

亦收敛.

结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散 性不变.

性质 3 设两收敛级数 s ?

( un ? v n )收敛,其和为 s ? ? . ? n ?1

?

un , ? ? ? v n ,则级数 ? n ?1 n ?1

?

结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.

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性质 4 一个级数加上或减少有限项, 不改变级数的敛散性,但在级数收敛 时,级数的和要改变.
1 1 1 例如:级数 1 ? ? ? ? ?收敛于 2,去 2 4 8 1 1 1 1 掉前两项后得级数 ? ? ? ? 收敛于 . 4 8 16 2

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四、正项级数及其审敛法
?

1.定义:

如果级数 u 中各项均有 u 0 ,这种 ? n n?
n ? 1

级数称为正项级数.
? ?

2.比较审敛法 设 u 和 vn均为正项级数, ? ? n
n ? 1

且 un ? vn ( n ? 1, 2,?) ,若 ? v n 收敛,则 ? un 收敛;
反之,若 ? un 发散,则 ? v n 发散.
n ?1 n ?1 ? ?

?

n ? 1

?

n ?1

n ?1

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使用比较审敛法常用的三个结论:
? n ? 0

n ( 1 ) 等比级数 aq , 当 | q | ? 1 时收敛 ; 当 | q | ? 1 时发 . ?

1 ( 2 )调和级数 发散 . ? n ? 0n ? 1 ( 3 )p ? 级数 ( p ? 0 ), 当 p ? 1 时收敛 ; ? p n n ? 1

?

当 0 ? p ? 1 时发散 .( 证明略 )

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[例4] 判断下列级数的敛散性:

1.


?
n?1

?

1 n(n ?1)

1 1 ? ? , n ( n ? 1 ) n ? 1
?

1 而级数 发散 , ? ? 1 n ? 1n
1 ? 级数 发散 . ? ( n ? 1 ) n ? 1 n
?

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[例4] 判断下列级数的敛散性:

1 2. ? ) n?1 n(n ?1 1 1 解 ? ? 2, n(n ?1) n
?

?

1 而级数 是 p ? 级数 ,p ? 2 ? 1 时收敛 , ? 2 n n ? 1
1 ? 级数 收敛 . ? (n? 1 ) n ? 1n
?

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小结
1.级数的概念 2.级数的部分和 3.级数的收敛与发散 4.级数的基本性质 5.正项级数的概念 6.正项级数的比较审敛法

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练 习 题

填空题:
?

p ? 1 时收敛, 当_______ 0? p?1时发散; 1 . p ? 级数当 _______
1 1 2. ? 的敛散性是 收敛于 5 . n ?1 (5n ? 4)(5n ? 1) ? 1 发散 3.正项级数 ? 的敛散性是 . n ?1 3n 1 ? 1 1 收敛于 4.级数 ? ( n ? n ) 的敛散性是 2 . 3 n ?1 2

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3.比较审敛法的极限形式

un ? l, 设 ? u n 与 ? v n 都是正项级数 , 如果 lim n? ? v ? ? n n 1 n 1
则 (1) 当 0 时, 二级数有相同的敛散性 ; ? l? ?? (2) 当 l ?0 时,若
?

?

?

v n 收敛 , 则? ? n?1
?

?

n?1

u n 收敛 ;
?

(3) 当 l ? 时, 若 ??

? v n 发散 ,则 ? un 发散 .
n ?1 n ?1

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u
1 n n

4.极限审敛法:

un 为正项级数,如果 lim nu ? n ?1 ? (或 lim nun ? ? ),则级数 ? un 发散; n? ?

n? ?

?

n

?l?0

n ?1

如果有 p ? 1, 使得 lim n un 存在,则级
p



? un 收敛.
n ?1

?

n? ?

u
1 n

n
p

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[例5] 判断下列级数的敛散性:

1 1 . ? sin n n ?1


?

1 sin 1 n ?limnsin ? lim n? ? n n? ? 1 n

? 1,

∴原级数发散.

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[例5] 判断下列级数的敛散性:

1 2. ? n n ?1 3 ? n

?

1 n 1 3 ? n ? 1, ? lim 解 ? lim n? ? n n? ? 1 1? n n 3 3 ?

1 ?? n收敛 , n?1 3

∴原级数收敛.

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?

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un ?1 设 ? un 是正项级数,如果 lim ?? n?? u n ?1 n ( ?为常数或? ?) ,则有
(1) 0 ? (2)

5.比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法):

? ? 1 时级数收敛;

? ? 1 时级数发散; (3) ? ? 1 时级数可能收敛 , 也可
能发散.

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比值审敛法的优点: 不必找参考级数. 两点注意:

(1) 当? ? 1时比值审敛法失效;

1 例 级数 发散 , ? ? n n ? 1
? n ? 1

?

( ? ? 1 ) ? 1 级数 , ? ? 2 收敛
n

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(2)条件是充分的,而非必要.
2 ? ( ? 1 ) 3 例 ? u ? n ?n ? v , n n 2 2
n
n 2 ? ( ? 1 ) ? 级数 u ? 收敛 , ? ? n n 2 n ? 1 n ? 1 ? ?

n ? 1 u 2 ? ( ? 1 ) n ? 1 但 ? ? a , n n u 2 ( 2 ? ( ? 1 )) n

1 lima2n ? , n? ? 6

3 lim a2n?1 ? , n ? ? 2

u n ? 1 ? lim ?lim a . n 不存在 n ? ?u n ? ? n

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[例6] 判断下列级数的敛散性:

1.

?

?

n ?1

1 n!
1 1 ( n ? 1 )! ? 0 ( n ? ? ), ? ? 1 n?1 n!

u n?1 解 ? un

1 ? 级数 收敛 . ? ! n? 1n

?

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[例6] 判断下列级数的敛散性:

n! 2. ? n n ?1 10
u n ?1 解 ? un ( n ? 1)! n ?1 10 ? n! 10 n
?

?

n ?1 ? 10

? ?? ( n ? ? ),

n ! ? 级数 发散 . ? n n? 1 10

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?

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[例6] 判断下列级数的敛散性:

1 3. ? n?1 )?2n n? 1 (2

u ( 2 n ? 1 ) ? 2 n n ? 1 lim ? lim ? 1, 解 ? n ? ? n ? ? u ( 2 n ? 1 ) ? ( 2 n ? 2 ) n
(比值审敛法失效, 改用比较审敛法)
? 1 1 1 又 ? ? 2 , 而级数 收敛 , ? 2 ( 2 n? 1 )?2 n n n? 1n ? 1 ? 级数 收敛 . ? n ?( 2 n ? 1 ) n ? 12

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[例6] 判断下列级数的敛散性:

4.


?

?

n ?1

(n ? 1)n?1 un?1 [(n ? 1)!]2 ?lim ? lim n n?? u n?? n n (n!)2 1 1n ?lim ?( 1 ? ) ?0 n ? ?n ? 1 n
?

nn 2 ( n! )

nn ? 级数 收敛 . ? 2 n !) n? 1(

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6.根值审敛法 (柯西判别法):



n u ? ? lim 是正项级数 , 如果 u ? n n

?

( ?为数或 ? ?), 则 ? ? 1 时 级 数 收 敛 ;
? ? 1 ? ? 1 时 级 数 发 散 ; 时 失 效 .
?

n ?1

n? ?

1 1 1 ? n n 例如 , 级数 , 0 ( n ? ? ) ? n ? u n ? n ? n n n ? 1n
故该级数收敛.

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五、交错级数及其审敛法
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
n ? 1 n 即 ( ? 1 ) u 或 ( ? 1 ) u 其中 u ? 0 ) ? n ? n ( n n ? 1 n ? 1 ? ?

莱布尼茨定理 (ⅱ) lim un ? 0,
n? ?

如果交错级数满足条件:

(ⅰ) un ? un?1 ( n ? 1,2,3,?) ; 则级数收敛,且其和 s ? u1.

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[例7] 判断下列级数的敛散性: ? ( ? 1) n 1. ? n n ?2 解

1 1 且 u u n? ? n ? 1? n n ? 1

1 ? un ? n

1 又 lim u lim ? 0 n? n ? ? n ? ?n

故原级数收敛.

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[例7] 判断下列级数的敛散性:

(?1)n n 2. ? n ?1 n?2 x ? ( 1 ? x ) ?? ( ) ? 0( x ? 2 ) 解 ? 2 x ? 1 2x ( x ? 1 )
?

x u ? u , 故函数 单调递减 ,? n n ? 1 x? 1 n 又 lim u lim ?0 . n? n ? ? n ? ? n ? 1
故原级数收敛.

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六、绝对收敛与条件收敛
定义1: 正、负项任意出现的级数称为任意项级数.

定义 2: 若 ? un 收敛, 则称 ? un 为绝对收敛;
?

?

?

n ?1

u u u 若 发 散 , 而 收 敛 , 则 称 为 条 件 收 敛 . ? ? ? n n n
n ? 1 n ? 1 n ? 1

?

n ?1

?

定理 若

un 收敛,则 ? un 收敛. ? n ?1 n ?1
正项级数

?

?

定理的作用: 任意项级数

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[例8] 判断下列级数的敛散性:

sin n 1. ? 2 n ?1 n
sinn 1 解 ? 2 ? 2, n n ? 1 而 是 p ? 级数 ,p ? 2 ? 1 , 它收敛 , ? 2 n ? 1n
sin n ?? 2 收敛 , n n?1
?

?

故由定理知原级数绝对收敛,即原级数收敛.

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[例8] 判断下列级数的敛散性:

sin 2 2. ? n 3 n ?1

?

n

? sin 2 1 1 解 ? 是等比级数 , 它收敛 , ? n, 而 ? n n 3 3 n ? 13

n

sin 2n ?? n 收敛, 3 n?1
故由定理知原级数绝对收敛,即原级数收敛.

?

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?

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n?1

[例8] 判断下列级数的敛散性:

(?1) 3. ? n?1 n ? 1
?

n ? 1 ( ? 1 ) 是交错级数 ,满足 解 ? ? 1 n ? 1 n 1 1 1 u ? ? u ? , 且 u ? ? 0 ( n ? ? ) n n ? 1 n n ? 1 n ? 2 n ? 1
?

n ? 1 n ? 1 ? ? ( ? 1 ) ( ? 1 ) 1 于是 收敛 , 但 | | ? 是 调 ? ? ? ? 1 ? 1 n n ? 1 n ? 1n n ? 1 n ? 1

级数,故原级数条件收敛.

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小结
正 项 级 数 任意项级数

S S,则级数收敛 ; 1. 若 n?




n ? ? ,u ? 0 ,则级数发散 ; 2. 当 n

3.按基本性质; 4.比较法 5.比值法 6.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)



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?

思考题

设 正 项 级 数 敛 ,能 否 推 得 敛 ? ?un 收 ?u 收
n?1 n? 1 2 n

?

反 之 是 否 成 立 ?

u u 由 正 项 级 数 收 敛 , 可 以 推 得 ? ? n
un ? lim ?lim u n ? 0, n? ? u n ? ? n ? 2 由比较审敛法知 ? u n 收敛. n?1 ? 1 反之不成立. 例如: ? n 2 收敛, n?1
2

?

思考题解答

?

n ? 1

n ? 1

2 敛 , n收

1 ? n 发散. n?1

?

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练 习 题

填空题: 1.若正项级数

? u 的后项与前项之比值的根是 ? ,
n ?1 n

?

? ?1 时级数发散; ? ? 1 时 级 数 收 敛 ; ________ 则 当 ________ ? ?1 ____________ 时级数可能收敛也可能发散 .

1? n 2. ? 的敛散性是 2 n ?1 1 ? n
?

发散

. .

2 ? n! 3. ? n 的敛散性是 n ?1 n
? n

收敛

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【授课小结】
通过本课题学习,学生应该达到: 1.会用比较审敛法和比值审敛法判断正项级数的 敛散性; 2.会判断交错级数和一般级数的敛散性。 【课后练习】 (一)P120习题8.1; (二)P122习题8.2.


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