北京市房山区周口店中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 文


周口店中学 2014—2015 学年度第二学期期中试卷 高二年级数学(文科)
总分:150 分 合要求的. 1、已知集合 A={x|x -x-2<0},B={x|-1<x<1},则( (A)A? ?B (B)B? ?A (C)A=B )
2

考试时间:120 分钟

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 ) (D)A∩B=?

2. 下面几个推理过程是演绎推理的是(

A.某同学第一次数学考试 65 分,第二次考试 68 分,由此预测其第三次考试 71 分. B.根据圆的面积为 S ? πr 2 ,推测球的体积为 V ? πr 3 . C.在数列 {an } 中,根据 a1 ? 1, an ?1 ?

an , n ? N* ,计算出 a2 , a3 , a4 的值,然后猜想 an ? 1

{an } 的通项公式.
D.因为平行四边形的对角线互相平分,而菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相 平分 3. 曲线 y ? x 3 ? 3x 2 ? 1 在点(1,-1)处的切线方程为( A. y ? 3x ? 4 B. y ? ?3x ? 2 C. y ? ?4 x ? 3 ) D. y ? 4 x ? 5 [

4. 已知 f ( x) ? 2 x 3 ? 6 x 2 ? a (a 是常数)在[-2,2]上有最大值 11,那么 在[-2,2]上 f(x)的最小值是( A.-5 B.-11 ) C.-29 D.-37

5. 如图,直线 l 是曲线 y ? f ( x) 在 x ? 4 处的切线,y 则 f ?(4) ? ( A.
5

l
y ? f ( x)

) C.4 D.5

3

1 2

B. 3

x
O
4

6.在独立性检验中,统计量 ? 有两个临界值:3.841 和 6.635;当 ? >3.841 时,有 95%的把握说明
2 2

两个事件有关,当 ? >6.635 时,有 99%的把握说明两个事件有关,当 ? ? 3.841 时,认为两个事件
2 2

无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了 2000 人,经计算的 ? =20.87,根据这一数据分析,
2

认为打鼾与患心脏病之间 A.有 95%的把握认为两者有关

B.约有 95%的打鼾者患心脏病
1

C.有 99%的把握认为两者有关
2

D.约有 99%的打鼾者患心脏病 )

7、若函数 f ( x) ? x ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ?( x) 的图象是(

8、某工厂生产的机器销售收入 y1 (万元)是产量 x (千台)的函数: y1 ? 17x 2 ,生产总成本 y 2 (万元) 也是产量 x (千台)的函数; y2 ? 2 x 3 ? x 2 ( x ? 0) ,为使利润最大,应生产( A.9 千台 B. 8 千台 C.7 千台 D.6 千台 )

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9.如果函数 f ( x) ?

1 f (4 ? ?x) ? f (4) ,则 lim 的值等于________. ?x ?0 x ?x

10、 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x 的单调减区间是________. 11. 已知正三角形内切圆的半径是高的 _______________.

1 ,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是 3

12.设 f ?x ? ? x ln x, 若 f ' ?x0 ? ? 2, 则 x0 ? _______. 13、函数 f ?x? ? ax3 ? x 在 R 上为减函数,则 a 的取值范围是_______.

14. 把正整数按照下面的表格进行排列 3 6 10 15 21 … 5 9 14 20 … … … 8 13 19 … … … … … 12 18 … … … … … … … 17 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 则排在第 6 行,第 4 列的数是_______________; 排在第 n 行,第 n 列( n ? N* )的数是______________ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15、 (12 分)已知关于 x 的不等式 1 2 4 7 11 16 …

x?a 2 <0 的解集为 P , - x ? 3x ? 0 的解集为 Q。 x ?1
2

(Ⅰ)若 a ? 3 ,求集合 P ; (Ⅱ)若 Q ? P ? P ,求正数 a 的取值范围。

16.(13 分)如图:是 y ? f ( x) = 是(1,0)和(3,0)

a 3 x ? 2 x 2 ? 3a 2 x 的导函数 y ? f ?( x ) 的简图,它与 x 轴的交点 3
y

(1)求 y ? f ( x) 的极小值点和单调减区间; (2)求实数 a 的值. 1 0 3 x

17.(13 分) 设函数 f ( x ) ? ax ?

b ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 7x-4y-12=0 x

求 y ? f ( x) 的解析式和 f ?( x) .

18. (14 分)观察下列不等式

2 2 ?1 ? , 3 3 ?1

2 2?2 ? , 3 3? 2

2 2?3 ? , 3 3?3

2 2?4 ? ,… 3 3? 4

照此规律,写出第 n 个不等式,然后判断这个不等式是否成立并给出证明.

19、 (14 分) 某厂生产产品 x 件的总成本 c( x) ? 1200 ? 足: P ?
2

2 3 x (万元),已知产品单价 P(万元)与产品件数 x 满 75

k ,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元. x

(1)设产量为 x 件时,总利润为 L( x ) (万元),求 L( x ) 的解析式; (2)产量 x 定为多少件时总利润 L( x ) (万元)最大?并求最大值(精确到 1 万元).

20、 (14 分)

3

已知函数 f ( x) ?

1 2 1 x ? a ln x ? (a ? R, a ? 0) . 2 2

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若对任意的 x ?[1, ??) ,都有 f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围.

4

高二数学期中文科答案 一、 选择题 BDBCACAD 7.A ∵ f ( x) ? x2 ? bx ? c 对称轴为 ?

b ? 0, ∴ b ? 0 , f ?( x ) ? 2 x ? b 的图象是斜率为正,在 y 轴上 2

的截距为负,也即直线过第一、三、四象限. 二、 填空题 9、 ?

1 16

10、 ( ? ,1) 3

1 3 a?0

11、正四面体内切球的半径是高的 14、 40,

1 4

2n 2 - 2 n ? 1

12、e

13、

三、 解答题 15(共 12 分)解: (Ⅰ) P ? x - 1 ? x ? 3 (Ⅱ) Q ? x 0 ? x ? 3

?

?

?

?

?Q ? P ? P

?a ? 3
16.(13 分)解: (1)由图可知:导数 y? ? f ?( x) 在( ??,1 )上为正,在( 1, 2 )上为负,在(3,

?? )上为正,
?当x ? 3时,y取得极小值,

y ? f ( x)的单调递增区间为(??,1)和(3, +?) 单调递减区间为(1,3)
(2) f ?( x) ? ax ? 4x ? 3a
2 2

-----------------7 分

? y? ? f ?( x)过点(1,0)、(3,0)

? f ?(1) ? 0 ?? ? f ?(3) ? 0 ?a ? 1
----------------- 13 分

17. (共 13 分) 解 f ?x ? ? a ?


b x2

-----------------3 分

曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 7x-4y-12=0
5

1 ? 切点为(2, ) 2

----------------6 分

b 7 ? k ? f ?(2) ? a ? ? ? ? 4 4 ?? ? 2a ? b ? 1 ? ? 2 2 ?a ? 1 ?? ?b ? 3 3 3 ? f ( x) ? x ? , f ?( x) ? 1 ? 2 x x
-----------------13 分

18.(14 分) 解:第 n 个不等式:

2 2?n * ? (n?N ) 3 3? n

…………………………………5

这个不等式成立,证明如下: 方法一(分析法) : 欲证

2 2?n ? 3 3? n

只需证明 2(3 ? n) ? 3(2 ? n) 展开得 6 ? 2n ? 6 ? 3n , 即 2n ? 3n 只需证明

2 ? 3 ( n ? N* )

因为 2 ? 3 成立,所以不等式

2 2?n * ? ( n ? N )成立 3 3? n

…………………………………………………………………14 方法二(综合法) : ∵

2 2 ? n 2(3 ? n) ? 3(2 ? n) ?n ? ? ? ?0 3 3? n 3(3 ? n) 3(3 ? n)

(n?N )
*



2 2?n ? 3 3? n

19. (共 14 分)解:(1)由题意有 50 ?
2

k 25 ? 104 500 , 解得 k ? 25 ? 104 , ∴ P ? , ? 100 x x

∴总利润 L( x ) ? x ?

2 x3 500 2 x3 ? 500 x ? 1200( x ? 0) ;………………7 分 =? ? 1200 ? 75 75 x

6

(2)由(1)得 L?( x ) ? ? 令t ?

2 2 250 250 2 2 ,令 L?( x ) ? 0 ? x ? ? x , 25 x x 25

x ,得

250 2 4 ? t ? t 5 ? 125 ? 25 ? 55 ,∴ t ? 5 ,于是 x ? t 2 ? 25 , t 25

则 x ? 25 ,所以当产量定为 25 时,总利润最大. 这时 L(25) ? ?416.7 ? 2500 ? 1200 ? 883 . 答:产量 x 定为 25 件时总利润 L( x ) 最大,约为 883 万元. ………… 14 分

20. (共 14 分) (Ⅰ) a ? 2 时, f ( x) ?

1 2 1 x ? 2 ln x ? , 2 2

f (1) ? 0

………………1 分

2 f '( x) ? x ? , x

f '(1) ? ?1

………………………………………………2 分 ………………3 分

曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程 x ? y ? 1 ? 0 (Ⅱ) f '( x) ? x ?

a x2 ? a ? x x

( x ? 0)

…………………………………………………4 分

x2 ? a ? 0 恒成立,函数 f ( x) 的递增区间为 ? 0, ?? ? …………6 分 ①当 a ? 0 时, f '( x) ? x

②当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,解得 x ?

a或x?? a

x f’ (x) f(x )

( 0, -

a)

a

( ( a , ??) ,1) +





所以函数 f ( x ) 的递增区间为

?

a , ?? ,递减区间为 (0, a )

?

…………………………………………………………………8 分 (Ⅲ)对任意的 x ? [1, ??) ,使 f ( x) ? 0 成立,只需任意的 x ? [1, ??) , f ( x)min ? 0 ①当 a ? 0 时, f ( x ) 在[1,+?)上是增函数, 所以只需 f (1) ? 0
7

而 f (1) ?

1 1 ? a ln1 ? ? 0 2 2

所以 a ? 0 满足题意; …………………………………………………………………9 分 ②当 0 ? a ? 1 时, 0 ? a ? 1, f ( x ) 在[1,+?)上是增函数, 所以只需 f (1) ? 0 而 f (1) ?

1 1 ? a ln1 ? ? 0 2 2

所以 0 ? a ? 1 满足题意;…………………………………………………………………10 分 ③当 a ? 1 时, a ? 1 , f ( x ) 在[1, a ] 上是减函数,[ a ,+?)上是增函数, 所以只需 f ( a ) ? 0 即可 而 f ( a ) ? f (1) ? 0 从而 a ? 1 不满足题意; …………………………………………………………………12 分 综合①②③实数 a 的取值范围为 (??, 0) ? (0,1] .………………………………14 分

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