【安徽省专用】2014届高考数学(文科)二轮复习方案专题课件:第4讲 不等式与线性规划_图文

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第4讲 不等式与线性规划

第4讲
核 心 知 识 聚 焦

不等式与线性规划

体验高考
1. [2013· 江西卷改编] 使不等式 1 2① x<x<x 成立的 x 的取值范围是 ________.
[答案] (-∞,-1)
x2-1 1 [解析] x-x<0? x <0? x<-1 或 1 0<x<1,x2- x>0? x<0 或 x>1,求交集 得 x<-1.

主干知识
? 不等式的 基本性质 关键词:可加 性、可乘性、传递 性,如①.

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不等式与线性规划

体验高考
2.[2013· 重庆卷改编] 关于 x 的 不 等 式 x -2ax-8a <0(a>0) 则 a=________.
2 2


主干知识
? 不等式的 解法 关键词:一元 二次不等式、一元 二次不等式的解集

的解集为(x1 ,x2),且 x 2-x1 =15,

5 形式,如②. [答案] 2 [解析] 由条件知 x1,x2 为方程 x2-2ax-8a2=0 的两根,则
x1+x2=2a, 1x2=-8a2, 2-x1 )2=(x1+x2)2-4x1x2 =(2a)2-4×(- x (x 5 8a2)=36a2=152,解得 a= 2.
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不等式与线性规划

体验高考
3 . [2013·福 建 卷 改 编 ] 若 2 +2 =1 ,则 x+y 的取值范围是 ________.
[答案] (-∞,-2]
2x y? 2x y≤2 2? x+
+ + -

主干知识
? 基本不等式 关键词:一正、 二定、 三相等, 如③.

x

y



[解析] 1=2x+2y≥2

y≤-2,当且仅当 x=y=-1 时等号成立.

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不等式与线性规划

体验高考
4.[2013· 新课标全国卷Ⅰ] 设 x, y
?1≤x≤3, ? 满足约束条件? 则 ? -1≤x-y≤0, ?

主干知识
? 线性规划 问题 关键词:约束 条件、可行域、目 标函数、最优解, 如④.

z=2x-y④ 的最大值为________.

[答案]

3

[解析] 点(x, y)在由平行线 x=1, x=3 与平行线 x-y=-1, x-y=0 围成的平行四边形区域内(包含边界),区域的四个顶点 坐标分别为(1,2),(1,1),(3,4),(3,3),分别代入得 z=0, 1,2,3,所以 z=2x-y 的最大值为 3.
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不等式与线性规划

体验高考
5.[2013· 新课标全国卷Ⅱ改编] 若 存在正数x使2x(x-a)<1成立 , 则 a 的取值范围是________.


主干知识
? 含参不等 式 关键词:恒成 立、能成立,如⑤.

[答案] (-1,+∞)
1 [解析] 由题意知存在正数 x 使得 a>x-2x成立,即 a>x 1 1 1 -2xmin.由于 x-2x是(0,+∞)上的增函数,故 x-2x>0- 1 20=-1,所以 a>-1.
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不等式与线性规划

基础知识必备 5.不等式与线性规划
基 础 知 识 必 备

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不等式与线性规划

基 础 知 识 必 备

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不等式与线性规划

? 考向一 例 1
命 题 考 向 探 究

与不等式解法有关的问题

考向:集合中的解不等式、一元二次不等式的应用. (1) 函 数 f(x) = lg(x2 + 3x - 4) 的 定 义 域 为 ________. (2)集合 M={x|x2 -5x+6>0, x∈R}, N={x|0<x<5}, 则 M∩N=( ) A.(2,3) B.(0,2) C.(3,5) D.(0,2)∪(3,5)

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不等式与线性规划

[答案]

(1)(-∞,-4)∪(1,+∞)

(2)D

[解析] (1)由题意可知 x2+3x-4>0,解得 x<-4 或
命 题 考 向 探 究

x>1,所以函数 f(x)的定义域为(-∞,-4)∪(1,+∞). (2)解不等式 x2-5x+6>0 得 x<2 或 x>3,所以 M∩N =(0,2)∪(3,5).

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不等式与线性规划

命 题 考 向 探 究

小结:函数的定义域、集合的运算是解不等式的“ 常客”,在正确解答不等式的基础上,才能进一步对 函数的定义域、集合的交集运算的结果作出准确的判 断.解不等式问题是基于不等式的基本性质进行考查 的,这类问题涉及多条性质的选用,如a>b,c>0?ac> bc,a>b>0,c>d>0?ac>bd等.此外要熟记一元二次不 等式的求解公式,尤其对于含参数的不等式要注意分 类讨论.

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不等式与线性规划
? ? 1 ? P=?x?x+x≤2?,集合 ? ? ?

变式题(1)集合

Q={x|x2+2x-

3≥0},则 P∩Q=________. (2) 设 全 集 U = R , 集 合 A = {x|x2 - 2x<0} , B =
命 题 考 向 探 究

{x|x>1},则集合 A∩(?UB)=(

)

A.{x|0<x<1} B.{x|0<x≤1} C.{x|0<x<2} D.{x|x≤1}

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不等式与线性规划

[答案] (1)(-∞,-3]∪{1}

(2)B
? 1 ? ?)x+x ?

[解析] (1)Q=(-∞,-3]∪[1,+∞),P=x
命 题 考 向 探 究

≤2=(-∞,0)∪{1},所以 P∩Q=(-∞,-3]∪{1}. (2)A={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},?UB={x|x≤1}, 所以 A∩(?UB)={x|0<x≤1}.

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不等式与线性规划

命 题 考 向 探 究

? 考向二 简单的线性规划问题 考向:目标函数取值范围、目标函数参数确定、约束条 件参数确定. 例 2 (1)[2013· 新课标全国卷Ⅱ] 设 x,y 满足约束条件 ?x-y+1≥0, ? ?x+y-1≥0,则 z=2x-3y 的最小值是( ) ?x≤3, ? A.-7 B.-6 C.-5 D.-3 ?x≥0, ? (2)已知 x,y 满足条件?y≤x, (k 为常数),若目标函 ?2x+y+k≤0 ? 数 z=x+3y 的最大值为 8,则 k=( ) 8 A.-16 B.-6 C.-3 D.6
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不等式与线性规划

[答案] (1)B

(2)B

命 题 考 向 探 究

[解析] (1)画出可行域, 如图中△ABC 所示, 易得 A(3, 2 -2),B(3,4),C(0,1),作出直线 y= 3x,平移易知直线 过 B 点时在 y 轴上的截距最大,此时 z 最小.故选 B.

图 1-4-1

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不等式与线性规划

命 题 考 向 探 究

?x≥0, ? 1 z (2)由 z=x+3y 得 y=-3x+3 .先作出? 表示的 ?y≤x ? 区域,因为目标函数 z=x+3y 的最大值为 8,所以 x+ 3y=8 与直线 y=x 的交点为 C,解得 C(2,2),代入直线 2x+y+k=0,得 k=-6.

图 1-4-2
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不等式与线性规划

命 题 考 向 探 究

小结:线性规划是高考热点之一,考查内容为求最 优解、最值、可行域面积等.一般通过画出可行域、移 线、数形结合等方法解答,有时还与向量、概率、实际 问题相结合,命题背景多,但难度不大,通过转化为熟 悉的问题来解决.线性规划问题一般由求最值、求区域 面积、确定目标函数字母系数的取值等几种类型构成, 解决的过程是先找到可行域,理解目标函数所表示的几 何意义,再利用数形结合找到目标函数的最优解,此外 对于应用问题,还要准确设出变量,并确定可行域和目 标函数.

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不等式与线性规划

命 题 考 向 探 究

?y≥1, ? 变式题(1)若实数 x,y 满足?y≤2x-1,则目标函数 z=x ?x+y≤8, ? -y 的最小值为________. ?x+2y-4≤0, ? y+2 (2)若实数 x,y 满足?x≥0, 则 z= 的取值范 x-1 ?y≥0, ? 围为( ) ?2 ? A.(-∞,-4]∪?3,+∞? ? ? ?2 ? B.(-∞,-2]∪?3,+∞? ? ? ? 2? C. ?-2,3? ? ? ? 2? D.?-4,3? ? ?
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不等式与线性规划

[答案] (1)-2 (2)B
[解析] (1)由 z=x-y 得 y=x-z.作出可行域,如图 1-4-3
命 题 考 向 探 究

所示.平移直线 y=x-z,由图像可知当直线经过点 B 时,直 线在 y 轴上的截距最大,此时 z
?y=2x-1, ?x=3, ? ? ? 最小.由 得? ?x+y=8 ?y=5, ? ?

即 B(3,5),代入 z=x-y 得 z=-2,所以目标函数 z=x-y 的 最小值为-2.

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第4讲

不等式与线性规划

(2)点(x,y)所在的区域是以点 O(0,0),A(4,0),B(0, y+2 2)为顶点的三角形区域及其边界, 目标函数 z= 是区域内 x-1 的点 P(x,y)与点 Q(1,-2)连线的斜率.
命 题 考 向 探 究

当点 P 与点 A 重合时,PQ 的斜率为正值, -2-0 2 且随点 P 的移动逐渐增大,此时 kQA= = , 1-4 3 2 即 z≥3; 当点 P 与点 O 重合时,PQ 的斜率为负值,且随点 P 的 -2 变化逐渐减小,kQO= 1 =-2,此时 z≤-2.

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不等式与线性规划

?2 ? y+2 所以 z= 的取值范围为(-∞,-2]∪?3,+∞?. x-1 ? ?

命 题 考 向 探 究

图 1-4-3

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不等式与线性规划

命 题 考 向 探 究

? 考向三 基本不等式的应用 考向:利用基本不等式求函数的最值、与解析几何有关 的最值. a 例 3 (1)[2013· 四川卷] 已知函数 f(x)=4x+x(x>0,a>0) 在 x=3 时取得最小值,则 a=________. (2)[2013· 山东卷] 设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z z =0,则当xy取得最小值时,x+2y-z 的最大值为( ) 9 9 A.0 B.8 C.2 D.4

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不等式与线性规划

[答案] (1)36 (2)C

命 题 考 向 探 究

a [解析] (1)由基本不等式的性质可知, f(x)=4x+ x(x>0, a a 2 a>0)在 4x= x,即 x =4时取得最小值,由于 x>0,a>0, a 2 再根据已知可得4=3 ,故 a=36. (2)由题意得 z=x2-3xy+4y2, z x2-3xy+4y2 x 4y x 4y ∴xy= = y + x -3≥2 xy y · -3=1, x x 4y 当且仅当 y = x ,即 x=2y 时,等号成立, ? ? ∴x+2y - z=2y +2y - ??4y2-6y2+4y2?? =-2(y -1)2 + 2≤2.
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第4讲

不等式与线性规划

方法指导 4.结构调整与应用基本不等式 基本不等式在解题时一般不能直接应用,而是需要根据已 知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”,即把研究对象化
命 题 考 向 探 究

成适用基本不等式的形式.常见的转化方法有: b b 1.x+ =x-a+ +a(x>a). x-a x-a
? a b? a b ? 2.若x+ y =1,则 mx+ny=(mx+ny)×1=(mx+ny)·x+ y ?≥ma ? ?

+nb+2

abmn(字母均为正数).

3.如果题目涉及多个元的问题,需要根据条件逐步“减元”, 以达到使用之目的.
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不等式与线性规划

小结:在使用基本不等式时,一定要关注等号成立 的条件,在此基础上再确定是否能取到最值.利用基本 不等式解答最值问题时,还要注意两数的和为定值还是
命 题 考 向 探 究

积为定值,必要时还要进行适当变形.对于基本不等式 的运用,要关注“一正、二定、三相等”,要从题目中挖掘 出有关基本不等式的结构.对于不等式的恒成立问题, 可以通过分离参数的方法来求解,并且分离出的式子可 以借助基本不等式来简化最值求解过程.

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不等式与线性规划

命 题 考 向 探 究

2 1 变式题 若两个正实数 x, 满足x+ y =1, y 并且 x+2y>m2 +2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( ) A.(-∞,-2]∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞) C.(-2,4) D.(-4,2)

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不等式与线性规划

[答案] D
2 1 4y x [解析] x+2y=(x+2y)x+ y =2+ x + y +2≥8, 4y x 当且仅当 x = y ,即 4y2=x2 时等号成立. 由 x+2y>m2+2m 恒成立, 可知 m2+2m<8,m2+2m-8<0, 解得-4<m<2.

命 题 考 向 探 究

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第4讲

不等式与线性规划

—— 运算求解能力 ——
[运算的合理性与转化思想的体现] 运算能力不仅要求会根据法则、公式进行正确运算、变形 和数据处理, 还要求能根据问题的条件寻找合理的简捷的 运算途径, 这也是在实施运算过程中遇到障碍而调整运算 能力的具体表现.

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不等式与线性规划

?x-y-2≤0, ? x2+y2 示例 设实数 x, 满足?x+2y-5≥0,则 u= xy 的取值 y ?y-2≤0, ? 范围是________.

[答案]

? 10? ?2, ? 3? ?

命 题 立 意 追 溯
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不等式与线性规划

[解析] 画出的可行域为点(1,2),(3,1),(4,2)形成 x2+y2 x y-0 的三角形,u= xy = y + , x-0
?1 ? y 设 k= x,则 k∈?3,2?, ? ? ?1 ? 1 1 10 所以 u=k+k在 k∈?3,2?时,min=2,max=3+3= 3 . u u ? ? ? x2+y2 10? 所以 u= xy 的取值范围是?2, 3 ?. ? ?

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不等式与线性规划

x2+y2 小结:形如 u= xy 的式子在可行域确定的前提下 需要进行适当转化,化为具有几何意义的算式,如直线 的斜率、点到直线的距离等,从而求得相应的取值范围.

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不等式与线性规划

跟踪练

?2x+y-2≥0, ? 设变量 x, 满足约束条件?x-2y+4≥0,则 y ?x-1≤0, ? )

x+y+3 z= 的最大值为( x+3 3 2 5 13 A.4 B.3 C.3 D. 8
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不等式与线性规划

[答案] C

命 题 立 意 追 溯

5 [解析] 可行域为点(0,2),(1,0),1,2形成 x+y+3 y-0 的三角形,z= =1+ , x+3 x-(-3) 2-0 5 所以 zmax=1+ =3. 0-(-3)

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不等式与线性规划

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例 1 为函数、方程、不等式的综合问题, 指数函数的性质和对数函数的性质的应用均有不等式的 性质参与,是考查不等式性质的一道好题,但难度较大, 因此作为考向一的备用题目.例 2 为线性规划问题,该题 一反常态,取得的最值也有参数,加大了问题的难度,从 能力提升角度看可作为考向二的补充用题.

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不等式与线性规划

例 1. 已知关于 x 的取值范围是( )

?1?x 1+lg 的方程?2? = ? ? 1-lg

a 有正根, 则实数 a a

A.(0,1)
?1 ? C. ?10,1? ? ?

?1 ? B.?10,10? ? ?

D.(10,+∞)

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不等式与线性规划

[答案] C
?1?x 1+lg a 方程 ?2? = 有正根,等价于 ? ? 1-lg a

[解析]

1+lg a 0< <1, 1-lg a

1+lg a 1+lg a 解 >0, 得-1<lg a<1; 解 <1, lg a<0 或者 lg a>1. 得 1-lg a 1-lg a 所以-1<lg a<0,即实数 a
?1 ? 的取值范围是 ?10,1?. ? ?

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不等式与线性规划

?x-y+6≥0, ? 例 2. 已知 x,y 满足?x+y≥0, 若 z=ax+y 的最大 ?x≤3, ? 值为 3a+9,最小值为 3a-3,则 a 的范围为( A.a≥1 B.a≤-1 C.-1≤a≤1 D.a≥1 或 a≤-1 )

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不等式与线性规划

[答案] C
[解析] 内部, 其顶点坐标分别为(-3,3),(3,-3),(3,9). 根据已知得不等式组 3a-3≤-3a+3≤3a+9,解得- 1≤a≤1,即-1≤a≤1. 已知不等式组表示的平面区域是一个三角形及其

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