2016年高考数学复习 专题02 函数与导数 函数的单调性与最值易错点

函数的单调性与最值易错点
主标题:函数的单调性与最值易错点 副标题:从考点 分析函数的单调性与最值易错点,为学生备考提供简洁有效的备考策略。 关键词:函数,单调性,最值,易错点 难度:3 重要程度:5

内容: 【易错点】 1.函数单调性定义的理解 (1)对于函数 f(x),x∈D,若 x1,x2∈D 且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数 f(x)在 D 上 是增函数.(√) (2)函数 f(x)=2x+1 在(-∞,+∞)上是增函数.(√) 1 (3)函数 f (x)= 在其定义域上是减函数.(×)

x

(4)已知 f(x)= x,g(x)=-2x,则 y=f(x)-g(x)在定义域上是增函数.(√) 2.函数的 单调区间与最值 (5)函数 y=f(x)在[1,+∞)上 是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(×) 1 (6)函数 y= 的单调递减区 间是(-∞,0)∪(0,+∞).(×)

x

(7)函数 y=lg|x|的单调递减区间为(0,+∞).(×) (8)函数 f(x)=log2(3 +1)的最小值为 0.(×) [剖析] 1.一个区别 “函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别:前者 指函数具备单 调性的“最大”的区间,后 者是前者“最大”区间的子集,如(5). 2.两个防范 一是注意函数的定义域不连 续的两个单调性相同的区间,要分别说明单调区 间,不可说成“在其定义域上”单调,如(3); 二是若函数在两个不同的区间上单调性相同,则这两个区间要分开写,不能写成并集,如 (6).
x

a ,x>1, ? ? 【易错典例】f(x)=?? a? ?4- ?x+2,x≤1, ? ?? 2?

x

是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范

1

围是(

). B.[4,8) C.(4,8 ) D.(1,8)

A.(1,+∞)

a>1, ? ? [错解] 由题意知? a 4- >0, ? ? 2
[答案] D

解得 1<a<8.

[错因] 忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小.

[正解]

? a ? 4- >0, f(x)在 R 上单调递增,则有? 2 ?+2≤a, ????4-a ? 2? ?
a>1,

解得:4≤a<8. [答案] B [注意] 对于分段函数的单调性,有两种基本的判断方法:一保证各段上同增(减)时,要注 意上、下段间端点值间的大小关系;二是画出这 个分段函数的图象,结合函数图象、性质 进行直观的判断.研究函数问题离不开函数图象,函数图象反映了函数的所有性质,在研究 函数问 题时要时时刻刻想到函数的图象,学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的 方法.

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