谈突破难以建系的立体几何问题_阮灵东

2007 年第 15 期              数 学 通 讯

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谈突破难以建系的立体几何问题
阮灵东
( 余干县蓝天中学 , 江西  335101)

中图分类号 : O123 . 2 -44     文献标识码 : A     文章编号 : 0488 -7395( 2007) 15 -0019 -02

   高考的立体几何题的命制 , 由于兼顾人 教版高二数学九 ( A) 和九 ( B) 教材 , 在立体 几何问题中常常设置一些易建系的问题 , 然 后在空间直角坐标系下来解决 . 倘若 , 空间直 角坐标系不易建立时 , 能否用向量法解决呢 ? 在教材 、 复习资料及杂志上都很少涉及这类 问题 . 难道这类问题就真的用中学所学的向 量知识难以解决吗 ? 笔者通过反思 , 找到了用空间向量的基 本原理来求解立体几何中难以建系的常见的 一些问题( 如空间的角和距离问题等) 普遍适 用的方法 . 下面举例说明 , 仅供同行们参考 . 例 1   如 图 , 在 四 棱 柱 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 侧 棱与 底 面边 长均 为 1 , 且 ∠A 1 AB = 60° , ∠A 1 AD = 45° , ∠ D AB = 90° ,求:

3)直线 AA 1 与平面 B 1 D 1 DB 的距离 ; 4) 二面 角 ABB 1 D 的平面 角的 余弦 值. 解  设 AB =a , AD =b , AA 1 =c , 则 a = b =c = 1, a·b = 0 , a·c = 1 2 , b·c = . 2 2

1) ∵AB 1 =a +c , A 1 C =a +b -c , ∴ AB 1 = ( a +c) = 3 ,   A1C = ( a +b -c) = 2 - 2 ,   AB 1 ·A 1 C = ( a +c ) · ( a +b -c) = 2 . 2 AB 1 ·A 1 C AB 1 · AC 1 12 -6 2 .
2 2

∴ cos <AB 1 , A 1 C >= =

异面直线 AB 1 与 A 1 C 所成的角为 arccos 1 12 6 2 .

2)设 n ⊥面 B 1 D 1 DB , 且 n = x a +y b
图 1  四棱柱

+z c , 由 n·BB 1 = 0 , n·BD = 0得 ( x a +y b +z c) ·c =0 , ( x a +y b +z c) ·( b -a) = 0,

1)异面直线 AB 1 与 A 1 C 所成的角 ; 2)直 线 AB 1 与平 面 B 1 D 1 DB 所成的 角;

收稿日期 : 2007 -04 -02 作者简介 : 阮灵东( 1968 —), 男 , 江西余干人 , 江西省余干县蓝天中学一级教师 .

20 x + 2 y +2 z = 0, 即  x -y 取 z =1 , 得 x =2 , 2 2 -1 z= 0, 2

数 学 通 讯               2007 年第 15 期

4)设 m ⊥面 ABB 1 , 且设 m =x′ a +y′ b +z′ c , 由 m·a = 0 , m·c =0 得 1 x′ + z′ = 0, 2 1 2 x′ + y′ +z′ = 0, 2 2 x′ =取 z′ = 1 ,得  1 , 2

1 -2 2 y= , 2 z =1 . ∴n =2 1 -2 2 a+ b +c . 2 2 ∴ m =-

3 2 y′ =, 4 z′ =1 .

2 ∵ AB 1 ·n = ( a +c ) · ( -2 a  +1 -2 2 b +c ) 2 1-2 = , 2   n = n = 7 -4 2 . 2
2

1 3 2 ab +c , 又由 1) 知: 2 4

面 B 1 D 1 DB 的一个法向量为 n =2 12 2 a+ b +c , 2 2 m·n m · n 4- 2 42 24 2

同理可得 :   cos <m , n >= =

设 AB 1 与面 B 1 D 1 DB 所成的角为 θ ,则 sin θ = AB 1 ·n AB 1 · n = 21 21 12 2 , 值为

所求二面角 ABB 1 D 的平面角的余弦 4- 2 42 -24 2 .

∴θ =arcsin

2 -1 21 -12 2

, 直线 AB 1 与

平面 B 1 D 1 DB 所成的角为 arcsin 21 21 12 2 .

该例题是在难以建系情况下 , 用空间向 量的基本原理巧妙地使问题得以解决 , 其具 体方法步骤是 : 第一步取定一组基底 { a,b, c} ; 第二步将空间中任何向量用基向量去表 示; 第三步用定理和公理进行解决 . 要注意 : 选作基底的三个向量除要求不共面外 , 为了 便于计算 , 还要求这三个向量的模以及两两 间的夹角为已知 . 以上面例题求解过程看出 , 此解法具有 普遍适用性 , 能较好地处理难以建系的立体 几何问题 , 值得提倡 .

3)因为 AA 1 ∥面 B 1 D 1 DB , 所以 AA 1 到 面 B 1 D 1 DB 的 距 离 等 于 点 A 到 面 B 1 D 1 DB 的距离 , 由公式得 : d= AB 1 ·n 2 -1 = , n 7 -4 2

所 以 AA 1 到 面 B 1 D 1 DB 的 距 离 为 21 74 2 .


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