面面垂直的判定和性质定理_图文

平面与平面的垂直关系 一、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直角(即成直 二面角),就说这两个平面互相垂直. ? ? ? ? 思考:如果你是一个质检员,你怎样去检测、 判断建筑中的一面墙和地面是否垂直呢? 平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直. 符号语言: α a a ?? a ? 面? 线线垂直 ?? ? ? β 简记:线面垂直,则面面垂直. 线面垂直 面面垂直 两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直. 已知:AB⊥β,AB ? α(图1). 求证:α⊥β。 证明:设α∩β=CD, ∵AB⊥β,CD?β, ∴AB⊥CD. 在平面β内过点B作直线BE⊥CD,则 ∠ABE是二面角α-CD-β的平面角, 而AB⊥BE,故α-CD-β是直二面角. ∴α⊥β。 探究1: 如图为正方体,请问哪些平面与面 AA1 B1 B 垂直? D1 A1 B1 C1 面AA1B1B ? 面ABCD 面AA 1 B1 B ? 面BB 1C1C 面AA 1 B1 B ? 面A 1 B1C1 D 1 D A B C 面AA 1B 1B ? 面AA 1D 1D 面面垂直 ? 线面垂直 ? 线线垂直 探究2: 已知AB ? 面BCD, BC ? CD, 请问哪些平面是互相垂直的,为什么? 面ABC ? 面BCD ? AB ? 面BCD 面ABD ? 面BCD ? AB ? 面BCD 面ABC ? 面ACD ? CD ? 面ABC B C D A 3.两个平面垂直应用举例 例1: AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所 在的平面,点C是⊙O上不同于A,B的任 一点,求证:平面PAC⊥平面PBC. P C A O B 小结: 1.定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的; 2.理解面面垂直的判定都要依赖面面垂直的定义; 3.证明面面垂直要从寻找面的垂线入手; 4.在解题时注意应用. 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质 复习回顾: 1.线面垂直定义: 如果一条直线和一个平面内的任何一 条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直。 2.线面垂直判定定理: 如果一条直线和一个平面内 的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直。 3.平面与平面垂直的定义:如果两个平面所成的二面角是 直角(即成直二面角),就说这两个平面互相垂直. 4.两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一 个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 直线与平面垂直的性质 在平面内,如果两条直线同时垂直于另一条直 线,那么这两条直线平行。在空间中有相同或者类 似的结论吗? 观察下面的长方体,找出所有标记的线面之间 的位置关系。 ? a ? ? b ? ? a / /b a ? ? a ? ? ? / /? 线面垂直的性质定理1: 垂直于同一个平面的两条直线平行。 线面垂直的性质定理2: 垂直于同一条直线的两个平面平行。 思考1: 如果两个平面垂直,那么一个平 面内的直线是否一定垂直于另一个平 面? 思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂直, 你能否在黑板上画一条直线与地面垂直? 思考3:如果两个平面互相垂直,那么在第一个 平面内垂直于交线的直线,是否垂直于第二个平 面呢? 思考2:如图2,α⊥β,AB ? α, AB⊥CD,α∩β=CD,求证:AB⊥β。 [分析] 在β内作BE⊥CD。要证AB⊥β,只需 证AB垂直于β内的两条相交直线就行。 而我们已经有AB⊥CD,只需寻求另一条就够了。 而我们还有α⊥β这个条件没使用,由α⊥β定义, 则∠ABE为直角,即有AB⊥BE,也就有 AB⊥β, 问题也就得到解决. 两个平面垂直的性质定理1 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直. 思考3: 设平面 α ⊥平面β,点P在平面α内,过 点P作平面β的垂线a,直线a与平面α具有 什么位置关系? 已知: ? ⊥β,P∈ ? ,P∈a , a ⊥β. 求证:a ? 证明:设 ? ∩ β= c,过点P在平面?内, 作直线b⊥ c,根据上面的定理有b⊥β. 因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直, 所以直线a应与直线b重合.所以a ?. ? P ? c b P a c b a β β 两个平面垂直的性质定理1 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的 直线与另一个平面垂直. 两个平面垂直的性质定理2 如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面 内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平 面内. 课堂练习: 1.给出下列四个命题: ①垂直于同一个平面的两个平面平行; ②垂直于同一条直线的两个平面平行; ③垂直于同一个平面的两条直线平行; ④垂直于同一条直线的两条直线平行. 其中正确的命题的个数是( B ). A.1 B. 2 C.3 D.4 2.给出下列四个命题:(其中a,b表示直线, α,β,γ表示平面)。 ①若a⊥b,a∥α,则b⊥α; ②若a∥α,α⊥β,则a⊥β; ③若β∥γ,α∥γ,则α⊥β; ④若α⊥β,a⊥β,则a∥α。 其中不正确的命题的个数是( D ). A.1 B. 2 C.3 D.4 3.已知两个平面垂直,下列命题 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内 的任意一条直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平 面的无数条直线; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个 平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则 此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是( ) ( A) 3 ( B) 2 ( C) 1 ( D) 0 4.若两个平面互相垂直,在第一个平 面内的一条直线a垂直于第二个平面内 的一条直线b,那么( ) (A)直线a垂直于第二个平面; (B)直线b

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