2014届高三一轮数学(理)复习第68讲离散型随机变量的分布列、期望与方差_图文

第68讲 离散型随机变量的分布列、

期望与方差

1.(改编)已知随机变量 X 的分布列为

则 k 的值为( A ) 1 A. 2 C.2 B.1 D.3

2k 2k 2k 解析:由分布列的性质知 + +?+ =1,所以 k= n n n 1 ,故选 A. 2

2.某运动员投篮命中率为 0.8,则该运动员 1 次投篮 时命中次数 X 的期望为( B ) A.0.2 C.0.16 B.0.8 D.0.4

解析:X 的可能取值为 0,1,其分布列为

所以 EX=0×0.2+1×0.8=0.8,故选 B.

3. (改编)某贫困县辖有 15 个小镇中有 9 个村庄交通比 较方便,有 6 个不太方便.现从中任意选取 10 个小镇,其
4 C6C6 9 中有 X 个小镇交通不太方便.下列概率中等于 10 的是 C15

( A ) A.P(X=4) C.P(X=6) B.P(X≤4) D.P(X≤6)

C4C6 6 9 解析:X 服从超几何分布,则 10 =P(X=4),故选 A. C15

1 4.已知随机变量 ξ 服从二项分布 ξ~B(6, ),则其期 3 望 Eξ= .

1 解析:因为随机变量 ξ 服从二项分布 ξ~B(6, ),所以 3 1 期望 Eξ=6× =2. 3

5.若 x1,x2,x3,?,x2013,x2014 的方差为 3,则 3(x1 -2),3(x2-2),?,3(x2013-2),3(x2014-2)的方差为 .

解析:方差为 D(3X-2)=32DX=9×3=27.



非特殊概率分布及应用
【例 1】(2012· 广东省东莞市模拟)甲, 乙两人进行乒乓

球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到 有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获 1 胜的概率为 p(p> ),且各局胜负相互独立.已知第二局比 2 5 赛结束时比赛停止的概率为 . 9 (1)求 p 的值; (2)设 ξ 表示比赛停止时比赛的局数,求随机变量 ξ 的 分布列和数学期望 Eξ.

解析:(1)当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时,第二局比赛 结束时比赛停止, 5 1 2 故 p +(1-p) = ,解得 p= 或 p= , 9 3 3
2 2

1 2 又 p> ,所以 p= . 2 3

(2)依题意知 ξ 的所有可能取值为 2,4,6, 5 P(ξ=2)= , 9 5 5 20 P(ξ=4)=(1- )× = , 9 9 81 5 20 16 P(ξ=6)=1- - = , 9 81 81

所以随机变量 ξ 的分布列为:

5 20 16 266 所以 ξ 的数学期望 Eξ=2× +4× +6× = . 9 81 81 81

【拓展演练 1】 (2013· 北京市门头沟区一模)将编号为 1,2,3,4 的四个材 质和大小都相同的球,随机放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子 中,每个盒子放一个球,ξ 表示球的编号与所放入盒子的编 号正好相同的个数. (1)求 1 号球恰好落入 1 号盒子的概率; (2)求 ξ 的分布列和数学期望 Eξ.

解析:(1)设事件 A 表示“1 号球恰好落入 1 号盒子”, A3 1 3 P(A)= 4= , A4 4 1 所以 1 号球恰好落入 1 号盒子的概率为 . 4

(2)ξ 的所有可能取值为 0,1,2,4. 3×3 3 P(ξ=0)= 4 = ; A4 8 4×2 1 P(ξ=1)= 4 = ; A4 3 C2 1 4 P(ξ=2)= 4= ; A4 4 1 1 P(ξ=4)= 4= . A4 24

所以 ξ 的分布列为

3 1 1 1 数学期望 Eξ=0× +1× +2× +4× =1. 8 3 4 24



超几何分布及应用
【例 2】某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的

两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验, 选取两大 块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中,随机选 n 小块地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙.假设 n=4, 在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 X,求 X 的分布列和数学期望.

解析:X 可能的取值为 0,1,2,3,4,且 X 服从超几何分 布, 1 1 P(X=0)= 4= , C8 70
1 2 C4C3 8 C4C2 18 4 4 P(X=1)= 4 = ,P(X=2)= 4 = , C8 35 C8 35 3 C4C1 8 1 1 4 P(X=3)= 4 = ,P(X=4)= 4= . C8 35 C8 70

即 X 的分布列为

1 8 18 8 X 的数学期望为 EX=0× +1× +2× +3× 70 35 35 35 1 +4× =2. 70

【拓展演练 2】 (2013· 广东省梅州第二次模拟)为了让更多的人参与 2011 年在深圳举办的“大运会”,深圳某旅游公司向国内 外发行总量为 2000 万张的旅游优惠卡,其中向境外人士发 行的是旅游金卡(简称金卡),向境内人士发行的是旅游银卡 (简称银卡).现有一个由 36 名游客组成的旅游团到深圳参 3 观旅游,其中 是境外游客,其余是境内游客. 4

1 2 在境外游客中有 持金卡, 在境内游客中有 持银卡. 在该团 3 3 的境内游客中随机采访 3 名游客, 设其中持银卡人数为随机 变量 X,求 X 的分布列及数学期望 EX.

3 2 解析: 该团共有 36×(1- )=9 名境内游客, 其中 9× 4 3 =6 名游客持银卡. X 的可能取值为 0,1,2,3.
3 2 C3 1 C1C3 3 6 P(X=0)= 3= ;P(X=1)= 3 = ; C9 84 C9 14 2 3 C6C1 15 C6 5 3 P(X=2)= 3 = ;P(X=3)= 3= , C9 28 C9 21

所以 X 的分布列为

1 3 15 5 故 EX=0× +1× +2× +3× =2. 84 14 28 21



二项分布及应用
【例 3】学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里

装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑 球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各 随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖.(每 次游戏结束后将球放回原箱). (1)求在 1 次游戏中, (ⅰ)摸出 3 个白球的概率; (ⅱ)获奖的概率; (2)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 EX.

解析:(1)(ⅰ)设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事 件 Ai(i=0,1,2,3), C2 C1 1 3 2 则 P(A3)= 2· 2= . C5 C3 5 (ⅱ)设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B,则 B= A2∪A3,
1 C2 C2 C3C1 C1 1 3 2 2 2 又 P(A2)= 2· 2+ 2 · 2= ,且 A2,A3 互斥, C5 C3 C5 C3 2

1 1 7 所以 P(B)=P(A2)+P(A3)= + = . 2 5 10

(2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2, 7 2 9 P(X=0)=(1- ) = , 10 100
1 P(X=1)=C2

7 7 21 (1- )= , 10 10 50

7 2 49 P(X=2)=( ) = . 10 100

所以 X 的分布列是

9 21 49 7 X 的数学期望`EX=0× +1× +2× = (或 EX 100 50 100 5 7 7 =2× = ). 10 5

【拓展演练 3】 某社会机构为更好地宣传“低碳”生活观念,对某市 A、B 两个大型社区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念 的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则 称为“非低碳族”, 这两族的人数占各自小区总人数的比例 P 统计如下:

(1)如果甲、乙两人来自 A 区,丙、丁两人来自 B 区, 求这 4 人中恰有 2 人是低碳族的概率; (2)A 区经过大力宣传后, 每周非低碳族中有 20%的人加 入到低碳族的行列,如果 2 周后随机从 A 区中任选 25 人, 记 ξ 表示这 25 人中低碳族人数,求 Eξ.

解析:(1)记“4 人中恰有 2 人是低碳族”为事件 A. 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 4 4 P(A)= × × × +4× × × × + × × × = 2 2 5 5 2 2 5 5 2 2 5 5 33 . 100 (2)设 A 区有 a 人,2 周后非低碳族的概率 1 12 a× ×?1- ? 2 5 8 P1= = , a 25 8 17 则 2 周后低碳族的概率 P=1- = . 25 25 17 17 依题意,ξ~B(25, ),则 Eξ=25× =17. 25 25



随机变量的分布列与期望的实际应用
【例 4】某同学参加 3 门课程的考试.假设该同学第一

4 门课程取得优秀成绩的概率为 ,第二、第三门课程取得优 5 秀成绩的概率分别为 p、q(p>q),且不同课程是否取得优秀 成绩相互独立.记 ξ 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布 列为

(1)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; (2)求 p,q 的值; (3)求数学期望 Eξ.

解析: :事件 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成 4 绩”,i=1,2,3,由题意知 P(A1)= ,P(A2)=p,P(A3)=q. 5 (1)由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与 事件“ξ=0”是对立的,所以该生至少有 1 门课程取得优 6 119 秀成绩的概率是:1-P(ξ=0)=1- = . 125 125

(2)由题意知,P(ξ=0)=P( A1 · 2 · 3 ) A A =P( A1 )P( A2 )P( A3 ) 1 6 = (1-p)(1-q)= , 5 125 P(ξ=3)=P(A1· 2· 3)=P(A1)P(A2)P(A3) A A 4 24 = pq= , 5 125 6 整理得,pq= ,p+q=1. 25 3 2 注意到 p>q,故可解得 p= ,q= . 5 5

(3)由题意知, a=P(ξ=1) =P(A1· 2 · 3 + A1 · 2· 3 + A1 · 2 · 3) A A A A A A 4 1 1 = (1-p)(1-q)+ p(1-q)+ (1-p)q 5 5 5 37 = ; 125

b=P(ξ=2) =P(A1· 2· 3 +A1· 2 · 3+ A1 · 2· 3) A A A A A A 4 4 1 = ×p(1-q)+ ×(1-p)q+ pq 5 5 5 58 = , 125 6 24 58 (或者 b=1- - -a= ) 125 125 125 6 24 9 则 Eξ=0× +1×a+2×b+3× = . 125 125 5

【拓展演练 4】 随机抽取某婴幼儿奶粉生产企业的某种产品 200 件, 经 国家质检部门检测,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、 三等品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获 得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润为 ξ(单位:万元).

(1)求 ξ 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ξ 的数学期望); (3)为了提高乳制品的质量, 经技术革新后, 虽仍有四个 等级的产品,但次品率降为 1%,一等品率提高为 70%.如果 此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品 率最多是多少?

解析:(1)ξ 的可能取值为-2、1、2、6, 4 1 20 1 P(ξ=-2)= = ,P(ξ=1)= = , 200 50 200 10 50 1 126 63 P(ξ=2)= = ,P(ξ=6)= = . 200 4 200 100 ξ 的分布列为:

(2)ξ 的数学期望为: 1 1 1 63 Eξ=(-2)× +1× +2× +6× =4.34, 50 10 4 100 即 1 件产品的平均利润是 4.34 万元.

(3)技术革新后 ξ 的可能取值仍为-2、1、2、6,但 ξ 的 分布列为:

其中 x、y 分别为三、二等品率,根据分布列的性质有: 1 70 29 x+y=1- - = , 100 100 100 所以技术革新后 1 件产品的平均利润为: 1 70 476 Eξ=(-2)× +1· x+2· y+6× = -x. 100 100 100 要使 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元, 476 3 即 Eξ≥4.73,由 -x≥4.73 得 x≤ . 100 100 即要使技术革新后 1 件产品平均利润不小于 4.73 万元, 三等产品率最多为 3%.

1.(2013· 广东卷)已知离散型随机变量 X 的分布列为

则 X 的数学期望 E(X)=( A ) 3 A. 2 5 C. 2 B.2 D.3

3 解析:由数学期望的计算公式即可得出 E(X)=1× + 5 3 1 3 2× +3× = ,故选 A. 10 10 2

2.(2013· 湖北卷)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体, 切割为 125 个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机 取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则 X 的均值 E(X) =( B ) 126 A. 125 168 C. 125 6 B. 5 7 D. 5

解析:由题意可知,X 所有可能取值为 0,1,2,3. ①8 个顶点处的 8 个小正方体涂有 3 面漆, 所以 P(X= 8 3)= ; 125 ②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体,还剩下 3 个,一共有 3×12=36 个小正方体涂有 2 面漆,所以 P(X 36 =2)= ; 125

③每个表面去掉四条棱上的 16 个小正方体,还剩下 9 个小正方体, 因此一共有 9×6=54 个小正方体涂有一面漆, 54 所以 P(X=1)= . 125

④由以上可知,还剩下 125-(8+36+54)=27 个内部 27 的小正方体的 6 个面都没有涂油漆,所以 P(X=0)= . 125 故 X 的分布列为

27 54 36 8 6 因此 E(X)=0× +1× +2× +3× = . 125 125 125 125 5 故选 B.

3.(2013· 山东卷)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先 胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队 1 2 胜的概率是 外,其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设每 2 3 局比赛结果互相独立. (1)分别求甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 胜利的概率; (2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1,则胜利方得 3 分,对 方得 0 分;若比赛结果为 3∶2,则胜利方得 2 分,对方得 1 分,求乙队得分 X 的分布列及数学期望.

解析:(1)记“甲队以 3∶0 胜利”为事件 A1,“甲队 以 3∶1 胜利”为事件 A2,“甲队以 3∶2 胜利”为事件 A3, 则
3 2 3 P(A1)=C3( ) =

3

8 , 27 8 , 27 4 . 27

2 2 2 21 P(A2)=C3( ) × = 3 3 3

1 2 2 2 1 2 P(A3)=C4( ) ( ) × = 3 3 2

(2)设“乙队以 3∶2 胜利”为事件 A4, 则 1 2 1 2 2 2 P(A4)=C4( ) ( ) × = 3 3 2 4 . 27

由题意可知 X 的可能取值为:3,2,1,0. 根据事件的互斥性得 16 P(X=0)=P(A1+A2)= . 27 4 4 又 P(X=1)=P(A3)= ,P(X=2)=P(A4)= , 27 27 3 P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)= , 27

故 X 的分布列为

16 4 4 3 7 所以 EX=0× +1× +2× +3× = . 27 27 27 27 9


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