湖南省平江一中2011届高三摸底考试数学试题2010.8

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届高三摸底考试数学试题 湖南省平江一中 2011 届高三摸底考试数学试题 2010.8
题号 得分 1--14 15--18 19 20 21 22 23 总 分



小题, 一、填空题:本大题有 14 小题,每小题 4 分,共 56 分 填空题: 1、不等式



1 1 < 的解集是 x 2 π 3 7 2、若 sin( + θ ) = ,则 cos 2θ = _________. 2 5 25

( ∞, 0) ∪ (2, +∞ )

3、已知圆锥的底面半径为 2,母线长为 6,则圆锥的侧面展开图的圆心角度 数为

2π 3
3

线

4、已知向量 a = (1,1) , b = ( 2, m ) ,若 a + b = a b ,则实数 m = 5、函数 y = 6、方程 2
x



x, x < 0 2 x , x ≥ 0

的反函数是 y =

x, x < 0 x, x ≥ 0



1 = 2 的解为 2| x|
2 x 3 1- x 2

log 2 ( 2 + 1)
> 0 ”能推出命题 B: “ x > a ” a 的取值范围是________ a ≤ 2 ,则
z = 2+i 2+i

7、若由命题 A: “


8、已知 z ∈C ,且 z i = z + 2 + 3i ( i 为虚数单位) ,则 9、已知 A、B 依次是双曲线 E : x
2



y2 = 1 的左、右焦点, C 是双曲线 E 右支上的一 3


点,则在 ABC 中,

sin A sin B = sin C

1 2
种. (用数字作答)

10、某电视台连续播放 5 个广告,其中 3 个不同的商业广告和 2 个不同的世博宣传广告,则最后 播放的是世博宣传广告,且 2 个世博宣传广告不连续播放的方法有


36 11、顶点在同一球面上的正四棱柱 ABCD A′B′C ′D′ 中, AB = 1,AA′ =

2 ,则 A、C 两点间

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的球面距离为____________.

π
2
.4
2

12、执行如图的程序框图,若 p = 0.8 ,则输出的 n =
2

13、已知不相等的实数 m 、 n 分别满足: m 2010m + 2011 = 0 和 n 2010n + 2011 = 0 ,则

1 1 + = m n

2010 2011

14、已知集合 A = x x + 25+ | x 5 x |≤ ax, x ∈ R ,
2 3 2

{

}

B = { x x 2 13 x + 12 ≤ 0} ,若 A ∩ B ≠ φ .则实数 a 的取值范
围 为 a ≥ 10 选择题: 小题, 二、选择题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 15 、 a = “ ( A

1 a ” 是 “ 对 任 意 的 正 数 x, 均 有 x + ≥ 1 ” 的 4 x

) B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件
10

A.充分非必要条件 C.充要条件

16、设 x > 0 ,若 (1 x) 展开式的第三项为 20 ,则 lim x + x + + x
2 n →∞

(

n

) 的值是…(

12 题图 B )

A.

1 2

B. 2

C. 1

D.

2 3

17、若椭圆

x2 y2 + = 1 与双曲线 x 2 y 2 = 1 有相同的焦点,且过抛物线 y 2 = 8 x 的焦点,则该 a2 b2
( A )
2

椭圆的方程是

x2 y2 + =1 A. 4 2

x2 B. + y2 = 1 3

x2 y2 C. + =1 2 4

y2 D. x + =1 3

18、设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ≥ 0 时, f (x ) 单调递增,若 x1 + x 2 < 0 , ,则

f ( x1 ) + f ( x 2 ) 的值
A.恒为正值 C.恒等于零 C.恒为负值

( C ) D.无法确定正负

( 道题, 三、解答题: 本大题共有 5 道题,满分 78 分) 解答下列各题必须写出必要的步骤. 解答题: ,解答下列各题必须写出必要的步骤. 19、 本题满分 12 分) 、 ( http://www.ygjj.com 家教网 找家教上阳光家教网 家教上

全国最大家教 家教平台 找家教,到阳光 阳光家教网 全国最大家教平台 家教, 在 ΔABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,已知 tan c = 3 , c = 积为 S ABC =

7 ,又 ΔABC 的面

3 3 ,求 a+b 的值。 2
2分 4分 6分 8分

19、解:在 ABC 中,因为 tanC= 3 ,所以∠C=60o, 又 ABC 的面积为 SABC = 即:ab = 6 因为 c= 7 ,所以 c2 = a2+b2–2abcosC 即:a2+b2–ab = 7 (a+b)2–3ab= 7

3 3 1 3 3 ,所以 absinC = 2 2 2

10 分 12 分

∴ a+b= 5
20、 本题满分 14 分)本题共 2 小题,第 1 小题 7 分,第 2 小题 7 分 、 ( 小题, 在正四棱锥 P - ABCD 中(如图) ,若异面直线 PA 与 BC 所成 角的正切值为 2 ,底面边长 AB =4. (1)求侧棱与底面 ABCD 所成角的大小. (2)求四棱锥 P - ABCD 的体积. 解: (1)过 P 作斜高 PE , PO ⊥ 底面 ABCD, AD // BC A ∴ ∠ PAD 为异面直线 PA 与 BC 所成的角 θ 且 tan θ = 2 3 分 在 Rt PEA 中 tan θ = 2 =

P

D B

C

PE AE

且 AE=2 所以 PE=4 ,

PA=2 5

5分

正四棱锥 P - ABCD 的高为 PO = 2 3 在 Rt POA 中,

∴ sin ∠PAO =

15 15 ∴∠PAO= arcsin , 5 5 15 10 侧棱与底面 ABCD 所成角的大小为 arcsin ( 或写成 arccos ) 5 5 1 2 32 3 4 2 3 = 3 3

7分

(2) VP- ABCD =

14 分

21、 本题满分 16 分)本题共 2 小题,第 1 小题 8 分,第 2 小题 8 分 、 ( 小题, 某投资公司计划投资 A 、 B 两种金融产品,根据市场调查与预测, A 产品的利润 y 与投资 量 x 成正比例,其关系如图 1, B 产品的利润 y 与投资量 x 的算术平方根成正比例,其关系如 图 2, (注:利润与投资量单位:万元) (1)分别将 A 、 B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式; http://www.ygjj.com 家教网 找家教上阳光家教网 家教上

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(2)该公司已有 10 万元资金,并全部投入 A 、 B 两种产品中,问:怎样分配这 10 万 元投资,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?`

y
0. 3 0.2 2. 4 1. 6

y

o

1

1. 5

x

o

4

9

x

图2 图1 21、解: (1)设投资为 x 万元, A 产品的利润为 f (x ) 万元, B 产品的利润为 g (x ) 万元.

1 1 ,∴ k1 = 5 5 4 1 4 又 g (4) = 1.6 ,∴ k 2 = .从而 f ( x ) = x( x ≥ 0) , g ( x ) = x ( x ≥ 0) 8 分 5 5 5 (2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10 x 万元,设企业利润为 y 万元. x 4 y = f ( x) + g (10 x) = + 10 x (0 ≤ x ≤ 10) 5 5 10 t 2 4 1 14 令 10 x = t ,则 y = + t = (t 2) 2 + (0 ≤ t ≤ 10 ) 5 5 5 5 14 当 t = 2 时, y max = = 2.8 ,此时 x = 10 4 = 6 15 分 5 答:当 A 产品投入 6 万元,则 B 产品投入 4 万元时,
由题意设 f ( x) = k1 x , g ( x ) = k 2

x .由图知 f (1) =

该企业获得最大利润,利润为 2.8 万元.

16 分

22、 本题满分 18 分)本题共 3 小题,第 1 小题 8 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 4 分。 、 ( 小题, 在直角坐标系中,动点 M 到点 P ( 2 , 2 ) 的距离等于点 M 到直线 x + y

2 = 0 的距离的

2 倍, 记动点 M 的轨迹为 W , 过点 A( a,0)( a > 0) 作一条斜率为 k ( k < 0) 的直线交曲线 W 于 B,
C 两点,且交 y 轴于点 D. (1)求动点 M 的轨迹,并指出它的三条性质或特征; (2)求证: AB = CD ; (3)若 BC = BD ,求△OAD 的面积. 为坐标原点) (O

22、解: 、 (1)设 M ( x, y ) ,依题意有:

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( x 2) 2 + ( y 2) 2 = 2

|x+ y 2| . 2

化简得 xy = 1. 4分 (3)虚轴长 2 2 8分

即动点 M 的轨迹方程为 xy = 1 双曲线,其性质为 (1)焦点

(

2, 2 , 2, 2

)(

)

(2)实轴长 2 2 (5)渐近线 x = 0, y = 0 等

(4)对称性 y = ± x , ( 0,0 ) (2)直线方程为 y = k ( x a ) ,由

y = k ( x a ), 得 xy = 1,

kx 2 kax 1 = 0. 设B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ), BC中点为N ( x0 , y0 ), 则x0 = x1 + x2 a ka a ka = , y0 = .即N ( , ). 2 2 2 2 2 又D(0, ka )

a ka ∴ AD中点也为N ( , ). 2 2 由 | AN |=| DN |,| BN |=| CN |,
可得|AB|=|CD| (3)若|BC|=|BD|,可知 x1 < x 2 , 14 分

则x1 = x 2 x1 , 即x 2 = 2 x1 , 1 又x1 + x 2 = a, x1 x 2 = , k 9 消去x1 , x 2 , 可得ka 2 = . 2 又 | OA |= a, | OD |= ka,
∴ S OCD = 1 1 9 | OA | | OD |= a ( ka ) = . 2 2 4
18 分

23、 本题满分 18 分)本题共 3 小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分 、 ( 小题, 已知数列 {an } 和 {bn } 满足:a1 = λ , an +1 = 实数,n 为正整数. (1)证明:对任意实数 λ ,数列 {an } 不是等比数列;

2 an + n 4 , bn = (1) n (an 3n + 21) ,其中 λ 为 3

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(2)证明:当 λ ≠-18 时,数列 {bn } 是等比数列; (3)设 Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和.问:是否存在实数 λ ,使得对任意正整数 n,都有 S n > 12 ? 若存在,求 λ 的取值范围;若不存在,说明理由. 23、解: (1)证明 假设存在一个实数 λ ,使{an}是等比数列,则有 a 2 =a1a3,即 证明 2
4 2 4 2 2 4 λ -4 λ +9= λ -4 λ 9=0,矛盾. λ 3 = λ λ 4 9 9 3 9
2

所以 {an}不是等比数列. (2)证明 证明
2 3

4分

2 n+1 n+1 a 2n + 14 因为 bn+1=(-1) [an+1-3(n+1)+21]=(-1) 3 n
n

=- (-1) (an-3n+21)=-

2 b n. 3

又 λ ≠-18,所以 b1=-( λ +18)≠0.

由上式知 bn≠0,所以
2 3

bn+1 * 2 =- (n∈N ). bn 3

故当 λ ≠-18 时,数列{bn}是以-( λ +18)为首项,- 为公比的等比数列.
2 (3) 当 λ ≠-18 时,由(2)得:bn=-( λ +18)
n 1

10 分
n

3

3 2 , 于是 Sn=- ( λ +18) 1 .
5



3

当 λ =-18 时,bn=0,从而 Sn=0,上式成立.要使对任意正整数 n,都有 Sn>12.
3 2 即- ( λ +18 ) 1 >-12 λ <
n

20

5



3

2 1 3

n

-18.

12 分

2 令 f(n)=1- ,则

n

3

当 n 为正奇数时,1<f(n)≤ ; 当 n 为正偶数时, ≤f(n)<1, 所以 f(n)的最大值为 f(1)=
5 . 3

5 3

5 9

16 分

于是可得 λ <20 ×

3 -18=-6. 5

综上所述,存在实数 λ ,使得对任意正整数 n 都有 Sn>-12, λ 的取值范围为(-∞,-6). 18 分

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