湖南省平江一中2011届高三8月摸底考试文科数学试题

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平江一中高三教学质量检测试题 2011 届平江一中高三教学质量检测试题 文科) 数 学 (文科)
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本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟.

2010 年 8 月

注意事项:
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目; . 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案选项涂在答题卡相应的位置处; . 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各 题目指定区 . 域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按 以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,只交回答题卡. .

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分, 共 50 分.在每小题给出的四个 选择题: 选项中,只有一项是符合题目要求的.
1、 已知集合 M = {1, 0,1} , N = { x | 1 < x < 2} ,则 M ∩ N = ( (A) {1, 0,1} 2、函数 f ( x ) = e (A) [ 1,1]
x 2 1



[来源:学科网]

(B) {0,1} 的定义域是( )

(C) {1, 0}

(D) {1}

(B) [1, +∞ )

(C) ( ∞, 1]

(D) ( ∞, 1] ∪ [1, +∞ )

3、 cos80 cos 35 + sin 80 sin 35 的值为 ( ) 2 2 1 (A) (B) (C) 2 2 2
4、 已知函数 (A) 1

(D )

1 2


当 则 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数, x > 0 时,f ( x) = ln x , f ( e) =( (B) 1 (C)2 (D) 2

5、在空间,下列命题正确的是 (A)平行直线在同一平面内的平行投影重合 (B)平行于同一直线的两个平面平行 (C)垂直于同一平面的两个平面平行 (D)垂直于同一平面的两条直线平行

n +1 6、已知数列{an}的前 n 项和 Sn= ,则a3 = ( n+2
(A)



1 1 1 (C) (D) 24 28 32 7、已知向量 a = ( x, x) ,向量 b = ( 3, x ) ,若 a ⊥ b ,则实数 x 的值是(
(B) (A)0 或 2 (B) 3 (C )0 或 3

1 20



(D)0

8、下列函数 f ( x ) 中,满足 “对 x1 , x2 ∈ (0, +∞ ) ,当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) < f ( x2 ) ”的 是( ) 家教网 找家教上阳光家教网 家教上

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全国最大家教 家教平台 找家教,到阳光 阳光家教网 全国最大家教平台 家教, (A) f ( x ) =

1 x

(B) f ( x ) = ln( x + 1)

(C) f ( x ) = ( )

1 2

x

(D) f ( x) = x 1

9、 已知双曲线

x2 y2 6 2 = 1(a > 0, b > 0) 的离心率为 , 则双曲线的渐近线方程为 ( 2 2 a b
(B) y = ± 2 x ) (C) y = ±



(A) y = ± 2 x

2 x 2

(D) y = ±

1 x 2

10、下列有关各项 正确的是(

(A)若 p ∨ q 为真命题,则 p ∧ q 为真命题. (B) x = 5 ”是“ x 4 x 5 = 0 ”的充分不必要条件. “
2

“若 x ≥ 1 ,则 x 2 x 3 ≤ 0 ” . (C)命题“若 x < 1 ,则 x 2 x 3 > 0 ”的否定为:
2 2

(D)命题 p : x ∈ R ,使得 x + x 1 < 0 ,则 p : x ∈ R ,使得 x + x 1 ≥ 0 .
2 2

二.填空题:本大共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11、已知 i 为虚数单位,复数 2i (1 i ) =
。 。

12、在区间[-1,3]上随机取一个数 x,则 x∈[0,2]的概率为 13、下图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是__________ ___

y ≤ x, 14、已知 x, y 满足约束条件 x + y ≤ 1, ,则 z = 2 x y 的最大值是 y ≥ 1
三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 15、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = A sin(ω x + ) (其中 A>0, ω > 0, 0 < < 的图象如图所示。 (Ⅰ)求 A,ω 及 的值;
1 π (Ⅱ)若 cosα= ,求 f (α + ) 的值。 3 8
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π
2

)

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16、 (本小题满分 13 分) 已知 {an } 是首项为 19,公差为-4 的等差数列, S n 为 {an } 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 S n ; (Ⅱ)设 {bn an } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,求数列 {bn } 的通项公式及其前 n 项 和 Tn . 17、 (本小题满分 13 分) 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间,他们参加的 5 次预赛成绩记录如下: 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 79 95 87 甲 82 82 乙 95 75 80 90 85 (Ⅰ)请用茎叶图表示这两组数据; (Ⅱ)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的 概率; (Ⅲ)现要从中选派一人参加 9 月份的全国数学联赛,从统计学的角度考虑,你认为选派 哪位学生参加合适?请说明理由.

18、 (本小题满分 14 分) 已知某几何体的直观图(图 1)与它的三视图(图 2),其中俯视图为正三角形,其它两个视图 是矩形.已知 D 是这个几何体的棱 A1C1 上的中点。 (Ⅰ)求出该几何体的体积; (Ⅱ)求证:直线 BC1 / / 平面AB1 D ; (Ⅲ)求证:平面 AB1 D ⊥ 平面AA1 D .

[来源:学科网 ZXXK]

C1 D A1 B1 3 _

C http://www.ygjj.com A

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3 _

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图1 19、 (本小题满分 14 分)
2 2

图2

[来源:Z|xx|k.Com]

已知圆 C : x + y 2 x 4 y 20 = 0, 直线 l : (2m + 1)x + (m + 1) y 7 m 4 = 0. (Ⅰ)求圆 C 的圆心坐标和圆 C 的半径; (Ⅱ)求证:直线 l 过定点; (Ⅲ)判断直线 l 被圆 C 截得的弦何时最长,何时最短?并求截得的弦长最短时 m 的值,以及 最短长度.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) =

mx ( m, n ∈ R ) 在 x = 1 处取得极值 2 , x +n
2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)设 A 是曲线 y = f ( x ) 上除原点 O 外的任意一点,过 OA 的中点且垂直 于 x 轴的直线 交曲线于点 B,试问:是否存在这样的点 A,使得曲线在点 B 处的切线与 OA 平行?若 存在,求出点 A 的坐标;若不存在,说明理由; (Ⅲ)设函数 g ( x ) = x 2ax + a ,若对于任意 x1 ∈ R 的,总存在 x2 ∈ [ 1,1] ,使得
2

g ( x2 ) ≤ f ( x1 ) ,求实数 a 的取值范围。

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2011 届南海区普通高中高三教学质量检测试题 数学试题(文科)参考答案和评分标准
一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 D 6 A 14、5 7 B 8 B 9 C 10 B

答案 B D A B 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 11、2+2i 12、

1 2

13、63

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明 、证明过程或演算步骤. 15、解: (Ⅰ)由图知 A=2, T=2( ……………………2 分 ∴ω=2, …………………4 分

5π π )=π, 8 8

∴f(x)=2sin(2x+) 又∵ f ( ) =2sin( ∴

π

π
4

π
4

+=

π
2

+ 2kπ ,=

π
4

8

+)=2,

∴sin(

π π
4 4

+)=1, ………6 分

+ 2kπ ,(k∈Z) ∵ 0 < <

π
2

,∴=

(Ⅱ)由(1)知:f(x)=2sin(2x+

π
4

) ∴ f (α +

π
8

) =2sin(2α+

π

2

)=2cos2α………8 分

=4cos2α-2………10 分 =4×( ) 2 =
2

1 3

14 ……………………12 分 9

16、解: (Ⅰ)∵ {an } 是首项为 19,公差为-4 的等差数列---------1 分 ∴ a n = 19 4( n 1) = 4n + 23 ……..3 分

∵ {an } 是首项为 19,公差为-4 的等差数列其和为 S n = a1 n +

n(n 1) d 2

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S n = 19n +

n(n 1) (4) = 2n 2 + 21n -------------6 分 2

(Ⅱ) 由题意 {bn an } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,---------7 分 ∴ bn a n = 2
n 1

,所以 bn = a n + 2
2 n 1

n 1

= 2 n 1 4n + 23 ---------9 分

∴ Tn = S n + 1 + 2 + 2 + + 2

= 2n 2 + 21n + 2 n 1 -------- -13 分

17、解: (Ⅰ)作出茎叶图如下;

……………………3 分 (Ⅱ)记甲被抽到的成绩为 x ,乙被抽到成绩为 y ,用数对 ( x, y ) 表示基本事件:

( 82, 95 ) , ( 82, 75 ) , ( 82,80 ) , ( 82,90 ) , ( 82,85) , ( 82, 95 ) , ( 82, 75 ) , ( 82,80 ) , ( 82,90 ) , ( 82,85) , ( 79, 95) , ( 79, 75 ) , ( 79,80 ) , ( 79,90 ) , ( 79,85 ) , ( 95, 95 ) , ( 95, 75 ) , ( 95,80 ) , ( 95,90 ) , ( 95,85) , ( 87,95 ) , (87, 75 ) , (87,80 ) , ( 87,90 ) , ( 87,85) ,
基本事件总数 n = 25 ……………………5 分 记“甲的成绩比乙高”为事件 A,事件 A 包含的基本事件:

( 82, 75 ) , (82,80 ) , (82, 75) , ( 82,80 ) , ( 79, 75 ) , ( 95, 75 ) , ( 95,80 ) , ( 95, 90 ) , ( 95,85) , ( 87, 75) , ( 87,80 ) , (87,85 ) ,
事件 A 包含的基本事件数 m = 12 ……………………7 分 所以 P ( A ) =

m 12 = n 25

……………………8 分

(Ⅲ)派甲参赛比较合适,理由如下: http://www.ygjj.com 家教网 找家教上阳光家教网 家教上

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1 x甲 = (70 × 1 + 80 × 3 + 90 × 1 + 9 + 2 + 2 + 7 + 5) 85 , = 5 1 x乙 = (70 ×1 + 80 × 2 + 90 × 2 + 5 + 0 + 5 + 0 + 5) = 85 ………………10 分 5 1 2 S甲 = [(79 85) 2 + (82 85) 2 + (82 85) 2 + (87 85)2 + (95 85)2 ] = 31.6 5 1 2 S乙 = [(75 85) 2 + (80 85) 2 + (80 85) 2 + (90 85)2 + (95 85) 2 ] = 50 ……12 分 5

2 2 ∵ x 甲 = x 乙 , s甲 < s乙 ,





∴ 甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适。………13 分

[来源:学科网]

注:本小题的结论及理由均不唯一,如果考生能从统计学的角度分析,给出其他合理回 答,同样给分,如派乙参赛比较合适,理由如下:从统计的角度看,甲获得 85 以上(含 85 分)的概率 P = 1 较合适。 由三视图可知该几何体为正三棱柱, 底面是高为 3 的正三角形, 三棱柱的高 h = 3 , 18、解: ……2 分 (Ⅰ) 底面是高为 3 的正三角形, 易知底面边长为 2, 所以底面面积 s = 所求体积 V = sh = 3 3 . ………………4 分 C1 (Ⅱ)连接 A1 B ,且 A1 B ∩ AB1 = O ,∵ 正三棱柱侧面是矩形, A1 ∴点 O 是棱 A1 B 的中点 ……6 分 因为 D 为棱 A1C1 的中点.连接 DO ,∴ DO 是 A1 BC1 的中位线, O C D B1

2 3 ,乙获得 85 分以上(含 85 分)的概率 P2 = ∵ P2 > P ,∴ 派乙参赛比 1 5 5

1 × 2× 3 = 3 , 2

∴ BC1 // DO, 又 DO 平面AB1 D , BC1 平面AB1 D ,
A B

∴ BC1 / / 平面AB1 D .……………9 分
(Ⅲ) 在正三棱柱 ABC A1 B1C1中,三角形A1 B1C1为正三角形, B1 D ⊥ A1C1. , ∴ 又由正三棱柱性质知 平面A1 B1C1 ⊥ 平面ACC1 A1 , 且 平面A1 B1C1 ∩ 平面ACC1 A1 = A1C1 ,

B1 D 平面 A1 B1C1 ,∴ B1 D ⊥ 平面AA1 D,

………… 12 分 …………………14 分

又B1 D 平面AB1 D, ∴ 平面AB1 D ⊥ 平面AA1 D .

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全国最大家教 家教平台 找家教,到阳光 阳光家教网 全国最大家教平台 家教, 19、 (I)圆 C : x + y 2 x 4 y 20 = 0
2 2

可变为: ( x 1) + ( y 2 ) = 5 ………1 分
2 2 2

可得 (2 x + y 7 )m + ( x + y 4 ) = 0 ………4 分 对于任意实数 m ,要使上式成立,必须 解得:

(Ⅱ)由直线 l : (2m + 1)x + (m + 1) y 7 m 4 = 0

由此可知圆 C 的圆心 O ′ 坐标为 (1,2 ) ,半径为 5. ………3 分

2 x + y 7 = 0, ………5 分 x + y 4 = 0.

x = 3, ………6 分 y = 1. 所以直线 l 过定点 A (3,1). ………7 分 (Ⅲ)当圆心 (1,2 ) 在直线 l 上,圆 C 截得的弦为直径,此时弦最长;………8 分 当 圆 心 O ′ (1,2 ) 与 定 点 A (3,1). 的 连 线 与 l 垂 直 时 , 直 线 l 被 圆 C 截 得 的 弦 BC 为 最
短。………9 分

1 2m + 1 = 1, ………10 分 2 m + 1 3 解得 m = . … …… 11 分 4 连结 O ′C ,在直角三角形 O ′AC 中,………12 分 AC 2 = 25 O ′A 2 = 25 5 = 20. AC = 2 5, ………13 分
由条件得:

BC = 4 5. ………14 分
[来源:Zxxk.Com]

20、 (I)

∵ f ( x) =

∴ f ′( x) =

mx , x +n m ( x 2 + n ) mx 2 x
2

( x2 + n )

2

=

mn mx 2

( x2 + n )

2

………2 分

[来源:Zxxk.Com]

又 f ( x ) 在 x = 1 处取得极值 2

f ′ (1) = 0 ∴ f (1) = 2 ∴ f ( x) =

m(n 1) =0 (1 + n) 2 即 m = 2, 1 + n

m = 4 m = 0 解得 或 (舍去) n = 1 n = 1

4x x +1
2

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全国最大家教 家教平台 找家教,到阳光 阳光家教网 全国最大家教平台 家教, ………………4 分 (Ⅱ) 由(I)得 f ′ ( x ) =

(x

4 4x
2

2 2

+ 1)

假设存在满足条件的点 A,且 A x0 ,



4 x0 4 ………………6 分 ,则 kOA = 2 2 x0 + 1 x0 + 1

x 4 4 0 2 x0 2 = 16 ( 4 x0 ) f ′ = 2 2 2 x 2 ( x02 + 4 ) 0 + 1 2 依题意得kOA

2

2 16 ( 4 x0 ) 4 x0 4 2 = f ′ ,即 2 = ,∴ 5 x0 = 4 x0 ………………8 分 2 x0 + 1 ( x 2 + 4 ) 2 0

4 2 2 ∵ x0 ≠ 0,∴ x0 = , x0 = ± 5 5 5
所以存在满足条件的点 A,此时点 A 是坐标为 (Ⅲ) f ′ ( x ) =

2 5 8 5 2 5 8 5 , 或 , ……9 分 5 9 5 9

4 ( x + 1)( x 1)

(x

2

+ 1)

2

,令 f ′ ( x ) = 0,得x = 1或x = 1

当 x 变化时, f ′ ( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ′( x) f ( x)

( ∞,-1)
单调递减

1
0 极小值

, ( 11)
+ 单调递增

1 0 极大值

+ (1, ∞ )
单调递减

∴ f ( x ) 在 x = 1 处取得极小值 f ( 1) = 2 ,在 x = 1 处取得极大值 f (1) = 2
又∵ x 0 时, f ( x ) 0 ,∴ f ( x ) 的最小值为-2………………………11 分

∵ 对于任意的 x1 ∈ R ,总存在 x2 ∈ [ 1,1] ,使得 g ( x2 ) ≤ f ( x1 ) ∴ 当 x ∈ [ 1,1] 时, g ( x ) 最小值不大于-2
2 2 又 g ( x ) = x 2 ax + a = ( x a ) + a a 2

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全国最大家教 家教平台 找家教,到阳光 阳光家教网 全国最大家教平台 家教, 当 a ≤ 1 时, g ( x ) 的最小值为 g ( 1) = 1 + 3a ,由 1 + 3a ≤ 2 得 a ≤ 1 ………………………………………12 分 当 a ≥ 1 时, g ( x ) 最小值为 g (1) = 1 a ,由 1 a ≤ 2 ,得 a ≥ 3 当 1 a 1 时, g ( x ) 的最小值为 g ( a ) = a a
2

2 由 a a ≤ 2 ,得 a ≤ 1 或 a ≥ 2 ,又 1 a 1 ,

所以此时 a 不存在。…………………… …………13 分

+ 综上, a 的取值范围是 ( ∞, 1] ∪ [3, ∞ ) ………………………14 分
(Ⅲ)解法二:解法过程同上可求出 f(x)的最小值为-2

∵ 对于任意的 x1 ∈ R ,总存在 x2 ∈ [ 1,1] ,使得 g ( x2 ) ≤ f ( x1 )

, ∴ 当 x ∈ [ 1,1] 时, g ( x ) ≤ 2 有解 ,即 x 2 2ax + a + 2 ≤ 0 在 [ 11] 有解
设 h ( x ) = x 2ax + a + 2
2

= ( 2a ) 4 ( a + 2 ) = 4 ( a 2 a 2 ) = 4 ( a 2 )( a + 1)
2

由 0, 得 -1 a 2; 由 = 0, 得a = 2或a = 1 a = 2时,由x 2 2ax + a + 2 ≤ 0,解得x = 2 a = 1,由x 2 2ax + a + 2 ≤ 0,解得x = 1 0, 由 h ( 1) 0, 知a不存在 a 1 0, 由 h (1) 0, 解得2 a 3 a 1 综上,当 1 a 3时,x 2 2ax + a + 2 ≤ 0在 [ 11] ,上无解

,上有解 所以当 a ≤ 1 或 a ≥ 3 时, x 2ax + a + 2 ≤ 0在 [ 11]
2

(Ⅲ)解法三:解法过程同上可求出 f(x)的最小值为-2

∵ 对于任意的 x1 ∈ R ,总存在 x2 ∈ [ 1,1] ,使得 g ( x2 ) ≤ f ( x1 ) ∴ 当 x ∈ [ 1,1] 时, g ( x ) ≤ 2 有 解
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9 + 2t + t 2 , t ∈ [3,1] 4 19 当t ∈ [ 3, 0]时, a ≤ + 2 + t 4 t 令2 x 1 = t , 则at ≥ 9 9 ∵ + 2 + t = 2 ( t ) + ≤ 4,当且仅当t = 3时,等号成立 t t ∴ a ≤ 1 9 当t = 0时, 0 ≥ 不成立, a不存在 ∵ ∴ 4 19 9 当t ∈ ( 0,时,a ≥ + 2 + t , 设h ( x ) = + 2 + t , t ∈ ( 0, 1] 1] 4 t t 9 ∵ t ∈ ( 0, , h′ ( x ) = 1 2 0 1] t ∴ h ( t ) 在 ( 0,为减函数 1] h ( t ) ≥ h (1) = 12,从而a ≥ 3

+ 综上, a 的取值范围是 ( ∞, 1] ∪ [3, ∞ ) .

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