高一上学期期末考试《球与其它几何体》练习

球与其它几何体练习
一.选择题(共 13 小题) 1.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球 的表面积为( A. )

B.16π C.9π D.

2.如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于 5 的圆,那么 这个空间几何体的表面积等于( A.100π B. C.25π D. 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则 )

3.已知底面边长为 1,侧棱长为 该球的表面积为( A. B. ) C.2π D.4π

4. 已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上, 当正六棱柱的底面边 长为 A.3 时,其高的值为( B. C.2 D.2 )

5. 将长、 宽分别为 4 和 3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折起, 得到四面体 A﹣BCD, 则四面体 A﹣BCD 的外接球的体积为( A. B. C. D. )

6.已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点,若三棱 锥 O﹣ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A.36π B.64π C.144π D.256π )

7.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放 在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如不计容器 的厚度,则球的体积为( )

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A.

B.

C.

D.

8.已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正 三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( A. B. C. D. ,则此 )

9.平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 球的体积为( A. π B.4 π ) C.4 π D.6 π

10.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a,顶点都在一个球面上,则该 球的表面积为( A.πa2 B. ) C. D.5πa2

11.设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球 的表面积为( ) D.24πa2

A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2

12. 已知三棱锥 S﹣ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上, 球心 O 在 AB 上, SO⊥底面 ABC, A.π ,则球的体积与三棱锥体积之比是( )

B.2π C.3π D.4π

13.已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面 α,H 为垂足, α 截球 O 所得截面的面积为 π,则球 O 的表面积为( A. B.4π C. D. )

二.填空题(共 8 小题)

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14.若一个正四面体的表面积为 S1,其内切球的表面积为 S2,则

=



15. 如图, 直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上, AB=AC, 侧面 BCC1B1 是半球底面圆的内接正方形,则侧面 ABB1A1 的面积为 .

16. 一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形 都是边长为 2 的正方形) ,则该几何体外接球的体积为 .

17. 一个圆锥过轴的截面为等边三角形, 它的顶点和底面圆周在球 O 的球面上, 则该圆锥的体积与球 O 的体积的比值为 18.已知正四棱锥 O﹣ABCD 的体积为 为半径的球的表面积为 . , . ,底面边长为 ,则以 O 为球心,OA

19.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC=2 则棱锥 O﹣ABCD 的体积为 .

20. 已知两个圆锥有公共底面, 且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面 上,若圆锥底面面积是这个球面面积的 与体积较大者的高的比值为 . ,则这两个圆锥中,体积较小者的高

21.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在 同一个球面上, 且该六棱柱的体积为 , 底面周长为 3, 则这个球的体积为 .

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球与其它几何体练习
参考答案与试题解析

一.选择题(共 13 小题) 1.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球 的表面积为( A. )

B.16π C.9π D.

【分析】 正四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1 上, 记为 O, 求出 PO1, OO1,解出球的半径,求出球的表面积. 【解答】解:设球的半径为 R,则 ∵棱锥的高为 4,底面边长为 2, ∴R2=(4﹣R)2+( ∴R= , ∴球的表面积为 4π?( )2= 故选:A. . )2,

2.如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于 5 的圆,那么 这个空间几何体的表面积等于( A.100π B. C.25π D. )

【分析】根据几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于 5 的圆判断得几何 体为半径等于 5 的球,利用球的表面积公式计算可得答案. 【解答】解:由几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于 5 的圆,得几何 体为半径等于 5 的球,
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∴几何体的表面积 S=4π×52=100π. 故选:A.

3.已知底面边长为 1,侧棱长为 该球的表面积为( A. B. ) C.2π D.4π

的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则

【分析】 画出图形, 正四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1 上, 记为 O, 求出 PO1,OO1,解出球的半径,求出球的表面积即可. 【解答】解:正四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1 上, 记为 O,PO=AO=R,PO1=1,OO1=R﹣1,或 OO1=1﹣R(此时 O 在 PO1 的延长线 上) , 在 Rt△AO1O 中,R2=1+(R﹣1)2 得 R=1,∴球的表面积 S=4πR2=4π. 故选:D.

4. 已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上, 当正六棱柱的底面边 长为 A.3 时,其高的值为( B. C.2 D.2 )

【分析】根据正六棱柱和球的对称性,球心 O 必然是正六棱柱上下底面中心连 线的中点, 作出过正六棱柱的对角面的轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高 和球的半径的关系,在这个关系下求函数取得最值的条件即可求出所要求的量. 【解答】解:以正六棱柱的最大对角面作截面,如图.设球心为 O,正六棱柱的 上下底面中心分别为 O1,O2,则 O 是 O1,O2 的中点.设高为 2h,则 6+h2=9. ∴h= ∴2h=2 , ,
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故选:D.

5. 将长、 宽分别为 4 和 3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折起, 得到四面体 A﹣BCD, 则四面体 A﹣BCD 的外接球的体积为( A. B. C. D. )

【分析】折叠后的四面体的外接球的半径,就是长方形 ABCD 沿对角线 AC 的一 半,求出球的半径即可求出球的表面积. 【解答】解:由题意可知,直角三角形斜边的中线是斜边的一半, ∴长宽分别为 3 和 4 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折起二面角,得到四面体 A﹣ BCD, 则四面体 A﹣BCD 的外接球的半径,是 AC= , 所求球的体积为: ×π( )3= 故选:B .

6.已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点,若三棱 锥 O﹣ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A.36π B.64π C.144π D.256π )

【分析】 当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时, 三棱锥 O﹣ABC 的体积最大, 利用三棱锥 O﹣ABC 体积的最大值为 36,求出半径,即可求出球 O 的表面积. 【解答】解:如图所示,当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 O﹣ ABC 的体积最大, 设球 O 的半径为 R, 此时 VO﹣ABC=VC﹣AOB= 故 R=6,则球 O 的表面积为 4πR2=144π, 故选 C. = =36,

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7.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放 在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如不计容器 的厚度,则球的体积为( )

A.

B.

C.

D.

【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆 M,可得圆心 M 为正方体上底面 正方形的中心.设球的半径为 R,根据题意得球心到上底面的距离等于(R﹣2) cm,而圆 M 的半径为 4,由球的截面圆性质建立关于 R 的方程并解出 R=5,用 球的体积公式即可算出该球的体积. 【解答】解:设正方体上底面所在平面截球得小圆 M, 则圆心 M 为正方体上底面正方形的中心.如图. 设球的半径为 R,根据题意得球心到上底面的距离等于(R﹣2)cm, 而圆 M 的半径为 4,由球的截面圆性质,得 R2=(R﹣2)2+42, 解出 R=5, ∴根据球的体积公式,该球的体积 V= 故选 A. = = .

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8.已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正 三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( A. B. C. D. )

【分析】根据题意作出图形,利用截面圆的性质即可求出 OO1,进而求出底面 ABC 上的高 SD,即可计算出三棱锥的体积. 【解答】解:根据题意作出图形: 设球心为 O,过 ABC 三点的小圆的圆心为 O1,则 OO1⊥平面 ABC, 延长 CO1 交球于点 D,则 SD⊥平面 ABC. ∵CO1= ∴OO1= , , = ,

∴高 SD=2OO1=

∵△ABC 是边长为 1 的正三角形, ∴S△ABC= ∴V= × 故选:A. , × = ,

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9.平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 球的体积为( A. π B.4 π ) C.4 π D.6 π

,则此

【分析】利用平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离 为 ,求出球的半径,然后求解球的体积.

【解答】解:因为平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的 距离为 , = =4 . π.

所以球的半径为: 所以球的体积为: 故选 B.

10.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a,顶点都在一个球面上,则该 球的表面积为( A.πa2 B. ) C. D.5πa2

【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心,求出球的半径,即可求 出球的表面积. 【解答】解:根据题意条件可知三棱柱是棱长都为 a 的正三棱柱,上下底面中心 连线的中点就是球心,则其外接球的半径为 球的表面积为 故选 B. , ,

11.设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球 的表面积为( ) D.24πa2

A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2

【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式,由长方体的长、宽、高分 别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则长方体的对角线即为球的直径,即
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球的半径 R 满足(2R)2=6a2,代入球的表面积公式,S 球=4πR2,即可得到答案. 【解答】解:根据题意球的半径 R 满足 (2R)2=6a2, 所以 S 球=4πR2=6πa2. 故选 B

12. 已知三棱锥 S﹣ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上, 球心 O 在 AB 上, SO⊥底面 ABC, A.π ,则球的体积与三棱锥体积之比是( )

B.2π C.3π D.4π

【分析】求出三棱锥的体积,再求出球的体积即可. 【解答】解:如图,? AB=2r,∠ACB=90°,BC= ∴V 三棱锥= ∴V 球:V 三棱锥= . , ,V 球= ,

13.已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面 α,H 为垂足, α 截球 O 所得截面的面积为 π,则球 O 的表面积为( A. B.4π C. D. )

【分析】设球的半径为 R,根据题意知由与球心距离为 R 的平面截球所得的截 面圆的面积是 π,我们易求出截面圆的半径为 1,根据球心距、截面圆半径、球 半径构成直角三角形,满足勾股定理,我们易求出该球的半径,进而求出球的表 面积. 【解答】解:设球的半径为 R,∵AH:HB=1:2,∴平面 α 与球心的距离为 R,

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∵α 截球 O 所得截面的面积为 π, ∴d= R 时,r=1, 故由 R2=r2+d2 得 R2=12+( R)2,∴R2= ∴球的表面积 S=4πR2= 故选:C. .

二.填空题(共 8 小题) 14.若一个正四面体的表面积为 S1,其内切球的表面积为 S2,则 = .

【分析】 设正四面体 ABCD 的棱长为 a, 利用体积分割法计算出内切球半径 r= a,从而得到 S2 关于 a 的式子.利用正三角形面积公式,算出正四面体的表面积 S1 关于 a 的式子,由此不难得出 S1 与 S2 的比值. 【解答】解:设正四面体 ABCD 的棱长为 a,可得 ∵等边三角形 ABC 的高等于 a,底面中心将高分为 2:1 的两段 a= a = a a= a 3, a3,解得 r= a

∴底面中心到顶点的距离为 × 可得正四面体 ABCD 的高为 h=

∴正四面体 ABCD 的体积 V= ×S△ABC×

设正四面体 ABCD 的内切球半径为 r,则 4× ×S△ABC×r= ∴内切球表面积 S2=4πr2= ∵正四面体 ABCD 的表面积为 S1=4×S△ABC= ∴ = = a 2,

故答案为:

15. 如图, 直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上, AB=AC,
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侧面 BCC1B1 是半球底面圆的内接正方形,则侧面 ABB1A1 的面积为



【分析】根据已知,求出侧面 ABB1A1 的长和宽,代入矩形面积,可得答案. 【解答】 解: ∵直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上, AB=AC, 故 B1C=2,侧面 BCC1B1 边长为 故 AB=AC=1, 故侧面 ABB1A1 的面积 S=AB?AA1=1× 故答案为: . = , ,

16. 一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形 都是边长为 2 的正方形) ,则该几何体外接球的体积为 4 .

【分析】 将三视图还原成如图的多面体,根据题意可得它的外接球与原正方体是 同一个,由此算出外接球的半径 R= 接球的体积,得到答案. 【解答】解:根据题意,将三视图还原成如图的多面体 ∵三视图中的三个四边形都是边长为 2 的正方形 ∴正方体的棱长等于 2 ∵题中的几何体与正方体有相同的外接球 ∴该外接球的直径 2R= =2 ,得 R= ,结合球的体积公式即可算出该几何体外

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因此,该几何体外接球的体积为 V= 故答案为:4

=4

17. 一个圆锥过轴的截面为等边三角形, 它的顶点和底面圆周在球 O 的球面上, 则该圆锥的体积与球 O 的体积的比值为 . , 圆锥的高 h= ,

【分析】 设球的半径为 r, 由已知求出圆锥底面圆的直径为 由此能求出该圆锥的体积与球 O 的体积的比值. 【解答】解:圆锥与球的截面如图, 设球的半径为 r, 则圆锥底面圆的直径为 圆锥的高 h= 圆锥的体积 V= = ,圆锥底面面积为 , = ,



球的体积为

,该圆锥的体积与球 O 的体积的比值为 .

=



故答案为:

18.已知正四棱锥 O﹣ABCD 的体积为

,底面边长为

,则以 O 为球心,OA

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为半径的球的表面积为

24π .

【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥 O﹣ABCD 的高,再利用 直角三角形求出正四棱锥 O﹣ABCD 的侧棱长 OA, 最后根据球的表面积公式计算 即得. 【解答】 解: 如图, 正四棱锥 O﹣ABCD 的体积 V= sh= ( ∴OH= , = = × ) ×OH= ,

在直角三角形 OAH 中,OA= 所以表面积为 4πr2=24π; 故答案为:24π.

19.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC=2 则棱锥 O﹣ABCD 的体积为 8 .



【分析】由题意求出矩形的对角线的长,结合球的半径,球心到矩形的距离,满 足勾股定理,求出棱锥的高,即可求出棱锥的体积. 【解答】解:矩形的对角线的长为: 离为: =2, =8 . ,所以球心到矩形的距

所以棱锥 O﹣ABCD 的体积为: 故答案为:8

20. 已知两个圆锥有公共底面, 且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面 上,若圆锥底面面积是这个球面面积的 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高

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与体积较大者的高的比值为



【分析】所成球的半径,求出球的面积,然后求出圆锥的底面积,求出圆锥的底 面半径,即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值. 【解答】 解: 不妨设球的半径为: 4; 球的表面积为: 64π, 圆锥的底面积为: 12π, 圆锥的底面半径为:2 ;

由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离, 求的半径以及圆锥底面的半径三者可 以构成一个直角三角形 由此可以求得球心到圆锥底面的距离是 ,

所以圆锥体积较小者的高为: 4﹣2=2, 同理可得圆锥体积较大者的高为: 4+2=6; 所以这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为: . 故答案为:

21.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在 同一个球面上,且该六棱柱的体积为 ,底面周长为 3 ,则这个球的体积为 . 【分析】由已知中一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱 柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 ,底面周长为 3,我们易算 出该棱柱底面上棱的长度,及球心到底面的距离,然后计算出球的半径,进而可 以得到球的体积. 【解答】解:令球的半径为 R,六棱柱的底面边长为 a,高为 h, ∵六棱柱的体积为 ,底面周长为 3, 即 又∵R= ∴R=1 ∴球的体积 V= =
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故答案为:

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