浙江省余姚中学2013-2014学年高二数学下学期期中试题 文 新人教A版

浙江省余姚中学 2013-2014 学年高二数学下学期期中试 题 文 新人教 A 版
一、选择题:本大题共 10 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符 合题目要求的. (1) 设全集 U ? R , 集合 A ? ??2, ?1,1 ? , B ? x ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 , 则 A CU ( B = (A) ??2, ?1 ? (2)函数 f ( x) ? lg x ? (A) (0,2) (B) ??2,1 ? (C) ??1,1 ? ) . (D) (0, 2] (D) ??2, ?1,1?

?

?

) .

2 ? x 的定义域是(

(B)[0,2]

(C) [0, 2)

(3)等差数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11, a4 ? a6 ? ?6 .则当 Sn 取最小值时, n ? ( ) . (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 ) .

(4)在 ?ABC 中,已知 AB ? 7, BC ? 5, AC ? 6 ,则 AB ? BC 等于( (A)19 (5)已知 sin( (B) ?14 (C) ?18

(D) ?19

?
4

? x) ?

24 (A) ? 25

3 ,则 sin 2 x 的值为( ) . 5 24 7 (B) (C) ? 25 25

(D)

7 25
) .

(6)已知 A 是三角形 ABC 的内角,则“ cos A ? (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (7) 若数列 a1 , (A) ?32 ( 8 ) 已 知 f ( x) ? (

1 3 ”是“ sin A ? ”的 ( 2 2

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 ) .

a a2 a3 , , ?, n , ?是首项为1 , 公比为 ? 2 的等比数列, 则 a5 为 ( a1 a2 an ?1
(B) ?64 (C) 32 (D) 64

1 x ) ? log 2014 x , 实 数 a 、 b 、 c 满 足 f (a) f (b) f (c) ? 0 , 且 2014 0? a ?b? c, 若实数 x0 是函数 f ( x ) 的一个零点, 则下列不等式中, 不可能 成立的是 ( ) . ...
(A) x0 ? a (B) x0 ? b (C) x0 ? c (D) x0 ? c

(9)如图,平行四边形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1, ?A ? 60 , 点 M 在 AB 边上,且 AM ?

1 AB,则DM ? DB 等于( 3

) .
第9题

1

(A) ?1

(B)1

(C) ?

3 2
2

(D)

3 2
) 个.

(10) 已知 f ( x) ? ?

?| lg x |, x ? 0 ?2
| x|

,x ?0

, 则函数 y ? 2 f ( x) ? 3 f ( x) ? 1的零点的个数为 (

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.

? 1 ? . 则f ? f ( ) ? ? ▲ 4 3 ( x ? 0 ), ? ? ? ? (12)已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? )(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则 f ( x) 的单调递增区间 6
(11)已知f ( x) ? ?
x

?log 2 x( x ? 0)







(13)定义“等积数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数, 那么这个数列叫做等积数列,这个常数叫做该数列的公积,已知数列 ?an ? 是等积数列,且

a1 ? 3 ,公积为 15,那么 a2014 =________.
(14)函数 y ? cos 2 x ? 2 sin x 的最小值是 ▲ .

(15)若两个非零向量 a , b 满足 | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | ,则 a ? b 与 a 的夹角为 ▲ (16)已知 ?ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,若 ?ABC 的面积为 S,且

?

?

?

?

?



2 S ? ? a ? b ? ? c 2 , 则 tan C 等于
2





(17)已知函数 f ( x) ?

sin x ? cos x ? 2 x2 ? x 的最大值是 M ,最小值为 N ,则 M ? N ? 2x2 ? cos x

▲ . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (18) (本小题满分 14 分)函数 f ? x ? ? 6 cos 2

?x
2

? 3 sin ?x ? 3?? ? 0 ? 的部分图像如图

所示.A 为图像的最高点,B,C 为图像与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形. (1)若 x ? ?0,1?,求函数 f ? x ? 的值域;

? x0 ? 10 2 ? (2)若 f ?x0 ? ? 8 3 ,且 x0 ? ? ? ) ? ? , ? ,求 cos( 4 3 5 ? 3 3? 的值.

第 18 题

2

( 19 ) ( 本 题 满 分 14 分 ) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 长 分 别 为 a, b, c ,

m ? ? cos A, cos C ? , n ?
(1)求角 A 的大小; (2)若角 B ?

?

3c ? 2b, 3a ,且 m ? n .

?

?
6

, BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求 ?ABC 的面积.

(20) (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ?

an (n ? N * ) . an ? 3

(1)求证: ?

? 1 1? ? ? 为等比数列,并求 ?an ? 的通项公式 an ; ? an 2 ?
n ? a n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 2n

n (2)数列 ?bn ? 满足 bn ? (3 ? 1) ?

3

(21)(本题满分 15 分) 设函数 f ( x) ? a x ? a? x (a ? 0且a ? 1) . (1)求函数 f ( x ) 的定义域,并判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)若 0 ? a ? 1 ,解不等式 f ( x2 ? 6x) ? f (4 ? x) ? 0 ; (3)若 f ?1? ?

3 , g ? x ? ? a2 x ? a?2 x ? 2mf ? x ? 且 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 ?2 , 2

求 m 的值.

(22)(本题满分 15 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2 | x ? a | . (1)若 f ( x ) 为偶函数,求 a 的值; (2)若 a ?

1 ,求函数 y ? f ( x) 的单调递增区间; 2

(3)求函数 f ( x ) 的最大值.

014 学年度 余姚市2 第 一 学 期 高二数学(文科)期中试题答案

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只
4

有一项是符合题目要求的. 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

选项

A

D

A

D

C

A

C

D

B

C

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.

1 9

12. [k? ? 15.

?
6

, k? ?

?
3

](k ? Z )
4 3

13. 5 17. 2

14. ?3

?
3

16. ?

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

?? 18. (本小题满分 14 分)解(1)由已知得: f ? x ? ? 3 cos ?x ? 3 sin ?x ? 2 3 sin ? ? ?x ? ? 3? ?
又 ?ABC 为 正 三 角 形 , 且 高 为 2 3 , 则 BC=4. 所 以 函 数 f ? x ? 的 最 小 正 周 期 为 8, 即
2?

?

? 8, ? ?

? , ?? ?? f ? x ? ? 2 3 sin ? x ? ? .
4
?4 3?

因为 x ? ?0,1?,所以 ? ? ? x ? ? ? 7? ,3 ? f ? x ? ? 2 3 . 3 4 3 12 函数 f ? x ? 的值域为 3,2 3

?

?

???????8 分

(2)因为 f ?x0 ? ? 8 3 ,有 f ( x0 ) ? 2 3sin ( ?x0 ? ? ) ? 8 3 , 即sin ( ?x0 ? ? ) ? 4 4 3 5 4 3 5 5 ??????10 分 ? x 10 2 ? ? ? 由 x0 ? ( ? , ),得( 0 ? ) ? (? , ) 3 3 4 3 2 2 所以, 即cos( ?x0 ? ? ) ? 1 ? ( 4 ) 2 ? 3 4 3 5 5 ???????14 分

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)

(2b ? 3c)cos A ? 3a cos C,

?(2sin B ? 3sin C)cos A ? 3sin A cos C
即 2sin B cos A ? 3 sin C cos A ? 3 sin A cos C 即 2sin B cos A ? 3sin( A ? C) ? 3sin B

sin B ? 0,? cos A ?

3 , 2

A ? (0, ? ),? A ?

?
6

????7 分

5

(2)由(1)得 A ? B ?

?
6

,? AC ? BC , C ?

2? 3

x 设 AC ? x, 则MC= 2
在 ?AMC中,由余弦定理得AC ? MC ? 2 AC ? MC cos C ? AM
2 2 2

x 2? ? x? 即 x ? ? ? ? 2 x ? cos ?7 2 3 ?2?
2

2

? x ? 2 ,故 S ?ABC ?

1 2 2? x sin ? 3 2 3
2 3 ?1
n

????14 分

20. (本小题满分 14 分)(1) an ? (2) bn ?

????5 分 ????8 分

n 2 n ?1



用错位相减法可得 Tn ? 4 ?

n?2 2n ?1

????14 分

21. (本小题满分 15 分) (1) f ( x ) 的定义域为 R ,关于原点对称,

f (? x) ? a? x ? a x ? ? f ( x) ,? f ( x) 为奇函数。 ????4 分
(2) f ( x) ? a x ? a ? x (a ? 0且a ? 1),

0 ? a ? 1 ,? f(x)在 R 上单调递减
2 不等式化为 f x ? 6 x ? f ? x ? 4 ? ,

????6 分

?

?

? x2 ? 6x ? x ? 4,即x2 ? 5x ? 4 ? 0 ,
解得 x ? ?4或x ? ?1 ????9 分

(3)

f (1) ?

3 1 3 1 ,? a ? ? , 即2a 2 ? 3a ? 2 ? 0, ? a ? 2或a ? ? (舍去) ????10 分 2 a 2 2
2

? g ? x ? ? 22 x ? 2?2 x ? 2m ? 2 x ? 2? x ? ? ? 2 x ? 2? x ? ? 2m ? 2 x ? 2? x ? ? 2

令t ? f ? x ? ? 2x ? 2? x ,由(1)可知 f ? x ? ? 2x ? 2? x 为增函数
3 x ? 1,? t ? f ?1? ? , 2
令 h(t)=t -2mt+2=(t-m) +2-m
2 2 2

3 (t≥ ) 2

????13 分

3 2 若 m≥ ,当 t=m 时,h(t)min=2-m =-2,∴m=2 2

6

3 3 17 25 3 若 m< ,当 t= 时,h(t)min= -3m=-2,解得 m= > ,舍去 2 2 4 12 2 综上可知 m=2 22. (本小题满分 15 分) 解:(1)解法一:任取 x ? R ,则 f ? ?x ? ? f ? x ? 恒成立,即 ????15 分

? ? ? x ? ? 2 ? x ? a ? ? x 2 ? 2 x ? a 恒成立.
2

∴ x ? a ? x ? a 恒成立,两边平方得: x 2 ? 2ax ? a 2 ? x 2 ? 2ax ? a 2 ∴a ? 0 ????4 分

解法二:因为函数 y ? f ( x) 为偶函数,所以 f ? ?1? ? f ?1? ,得 1 ? a ? 1 ? a ,得: a ? 0 经检验,当 a ? 0 时函数 y ? f ( x) 为偶函数,∴ a ? 0 ????4 分

1 ? 2 ? x ? 2 x ? 1, x ? ? 1 ? 1 2 2 (2)若 a ? ,则 f ( x) ? ? x ? 2 | x ? |? ? . 2 1 2 ? 2 ? x ? 2 x ? 1, x ? ? ? 2 1 由函数的图像可知,函数的单调递增区间为 ? ??, ?1? 及 [ ,1] 2
(如果写成 ? ??, ?1? ? [ ,1] ,得 7 分)

????8 分

1 2

? ? x 2 ? 2 x ? 2a , x ? a (3) f ( x) ? ? x ? 2 | x ? a |? ? 2 ? ? x ? 2 x ? 2a , x ? a
2

????10 分

即 f ( x) ? ?

? ?( x ? 1)2 ? 1 ? 2a, x ? a
2 ??( x ? 1) ? 1 ? 2a, x ? a

⒈当 a ? ?1 时, f ( x ) 在 (??,1)上递增,在(1 , +?) 上递减。? f ( x)max ? f (1) ? 1 ? 2a ⒉当 ?1 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 (??, ?1), ? a,1? 上递增,在? -1,a ? ,(1 , +?) 上递减。

? f ( x)max ? max ? f (?1), f (1)? ? max ?1 ? 2a,1 ? 2a?
(ⅰ)当 ?1 ? a ? 0 时, 1 ? 2a ? 1 ? 2a ? f ( x)max ? 1 ? 2a (ii)当 0 ? a ? 1 时, 1 ? 2a ? 1 ? 2a ? f ( x)max ? 1 ? 2a

, +?) 上递减。? f ( x)max ? f (?1) ? 1 ? 2a ⒊当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (??, ?1)上递增,在(?1
综上所述, f ( x)max ? ?

?1 ? 2a,(a ? 0) ?1 ? 2a,(a ? 0)

????15 分

7


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