湖南省衡阳市八中2019届高三上学期第三次月考试卷 数学(理)

衡阳市八中 2019 届高三第 3 次月考

数学(理 387 班)
命题人及审题人:张贤华 考生注意:本试卷共 21 道小题,满分 100 分,时量 120 分钟,请将答案写在答题卷上.

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求. 1.己知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体,其三视图如右图示, 若图中圆的半径为 1,等腰三角形的腰长为 5 ,则该几何体的体积是( )

4 ? 3 3 C. ? 8
A.

B.2 ? D.

10 ? 3 1 ,则判断框内 63
D. i ? 5

2. 一个算法的程序框图如右图所示,若该程序输出的结果是 应填入的条件是( A. i ? 4
2 2

) B. i ? 4

C. i ? 5

3.方程 (a ? 1) x ? 2ax ? 3 ? 0 的两根 x1 , x2 满足 x2 ? x 且 x1 ? 0 , ( 1 1 ? x2) 则实数 a 的取值范围是( A. 1, 3 C. ( ? ) B. 1 ? 3,??

? ?

?

?

3 3 , 1? 3 ) D. (? , ? ?) 2 2 ?x ? 2 ? 1, x ? 0, 4.已知函数 f ( x) ? ? 若方程 f ( x) ? x ? a 有且只有两个不相 ? f ( x ? 1), x ? 0.
等的实数根,则实数 a 的取值范围是( A. ? ??,1? C. ? 0,1? B. ? ?? ,1? )

D. ?0, ? ??

y A
2

5.如右图所示为函数 f ? x ? ? 2sin ??x ? ? ? ( ? ? 0, 其中 A, B 两点之间的距离为 5 ,那么 f ? ?1? ? ( A. 3
2

?
2

? ? ? ? )的部分图象,
) D. ? 2 O
?2

1

B. ? 3
2

C. 2

B

6.如图,已知双曲线 x ?

y ? 1, A, C 分别是虚轴的上、下端点, B 是左顶点, 3


F 为左焦点,直线 AB 与 FC 相交于点 D ,则 ? BDF 的余弦值是(

·1·

A.

7 7

B.

5 7 7

C.

7 14

D.

5 7 14

7.已知 ? 、 ? 是三次函数 f ( x) ?

? ? (1, 2) ,则
A. ( ,1)

1 4

b?2 的取值范围是( a ?1 1 B. ( ,1) 2

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx(a, b ? R) 的两个极值点,且 ? ? (0,1) , 3 2
) C. ( ?

1 1 , ) 2 4

D. (0, )

1 3

8. 方程

xx y y ? ? ?1 的曲线即为函数 y ? f ( x) 的图像,对于函数 y ? f ( x) ,有如下结论:① 16 9

f ( x) 在 R 上单调递减;②函数 F ( x) ? 4 f ( x) ? 3x 不存在零点;③函数 y ? f ( x) 的值域是 R;④
若函数 g ( x) 和 f ( x ) 的图像关于原点对称,则函数 y ? g ( x) 的图像就是方程

y y xx ? ? 1 确定 16 9

的曲线。其中所有正 A.①② B.②③ C.①③④ D.①②③

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对应题号的横线上. 9. 已知复数 (2m ? 3m ? 2) ? (m ? 3m ? 2)i 是纯虚数,则实数 m 的值是_________.
2 2

10. 已知 x ? 2 y ? 3z ? 1,则 x ? y ? z 的最小值为
2 2 2

_______. .

11.如右图,在直角梯形 ABCD 中,已知 BC / / AD , AB ? AD , AB ? 4 , ______ 12.已知函数 f ( x)( x ? R) 满足: f (a ? b) ? f (a ) ? f (b) , f (1) ? 2 ,则

BC ? 2 , AD ? 4 ,若 P 为 CD 的中点,则 PA ? PB 的值为

f 2 (1) ? f (2) f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) f 2 (4) ? f (8) ? ? ? ? f (1) f (3) f (5) f (7)

.

13. 如右图,在三棱锥 D-ABC 中,已知 BC 丄 AD,BC=2 ,AD=6,AB+BD=AC+CD=10, 则三棱锥 D 一 ABC 的体积的最大值是__________. 14. 集合 A ? {x | ln x ? ax ? 0} 恰有两个子集,则 a 的取值范围为 一项后,得到的数列(按原来顺序)是等比数列, (1)若 n ? 4 ,则 ________ . 15.设 a1 , a2 ,…, an 是各项不为零的 n ( n ? 4 )项等差数列,且公差 d ? 0 .将此数列删去某

a1 = d



(2)所有数对 ? n,

? ?

a1 ? ? 所组成的集合为_____________. d ?

·2·

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 l2 分) 已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

2? ) ? cos 2 x ( x ?R ). 3

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间;
B 3 ?ABC 内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c , 1 ,? (2) 若 f( ) ?? , b 2 2 判断 ?ABC 的形状,并说明理由.

c ? 3, 且 a ? b, 试

17. (本小题满分 l2 分)如图所示的多面体中,正方形 BB1C1C 所在平面垂直平面 ABC , ?ABC 是斜边

C1 A1 C A B B1

AB ? 2 的等腰直角三角形, B1 A1 / / BA , 1 B1 A1 ? BA . 2 (1)求证: C1 A1 ? 平面 ABB1 A 1; (2)求直线 BC1 与平面 AAC 1 1 所成的角的正弦值.

18.(本小题满分 l2 分)对于任意的角 ? ,求 32cos6 ? ? cos 6? ? 6cos 4? ? 15cos 2? 的值.

19. (本小题满分 l3 分)已知直线 l : x ? my ? 1过椭圆 C :
·3·

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F ,抛 a 2 b2

物线 x2 ? 4 3 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点,且直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 交 y 轴于点 M ,且 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,当 m 变化时, 值?若是,求出这个定值,若不是,说明理由.

?1 ? ?2 的值是否为定

20. (本小题满分 l3 分)已知数列 {an } 、 {bn } 中,对任何正整数 n 都有:

a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ?

? an?1b2 ? anb1 ? 2n?1 ? n ? 2 .

(1)若数列 {an } 是首项和公差都是 1 的等差数列,求证:数列 {bn } 是等比数列; (2)若数列 {bn } 是等比数列,数列 {an } 是否是等差数列,若是请求出通项公式,若不是请说明 理由; (3)若数列 {an } 是等差数列,数列 {bn } 是等比数列,求证:

?ab
i ?1

n

1

i i

3 ? . 2

21. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? (2 ? a)(x ? 1) ? 2 ln x, g ( x) ? xe
·4·

1? x

(a ? R, e 为自然对数

的底数). (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x) 在 ? 0, ? 上无零点,求 a 最小值; (3)若对任意给定的 x0 ? (0, e] ,关于 x 的方程 f ( x) ? g ( x0 ) 在 x ? (0, e] 恒有两个不同的实 根,求 a 的取值范围.

? ?

1? 2?

答案

衡阳市八中 2019 届高三第 3 次月考

数学(理 387 班)
命题人:张贤华 考生注意:本试卷共 21 道小题,满分 100 分,时量 120 分钟,请将答案写在答题卷上. 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求。 1.己知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体,其三视图如右图示, 若图中圆的半径为 1,等腰三角形的腰长为 5 ,则该几何体的体积是( A )

4 ? 3 3 C. ? 8
A.

B.2 ? D.

10 ? 3 1 ,则判断框内 63
D. i ? 5

2. 一个算法的程序框图如右图所示,若该程序输出的结果是 应填入的条件是( C ) A. i ? 4 B. i ? 4
2 2

C. i ? 5

3.方程 (a ? 1) x ? 2ax ? 3 ? 0的两根 x1,x2 满足 x2 ? x 且 x1 ? 0 , ( 1 1 ? x2) 则实数 a 的取值范围是( D ) A. 1, 3 C. ( ?

? ?
3 , 1? 3 ) 2

B. 1 ? 3,?? D. (?

?

?

3 , ? ?) 2

·5·

? 2? x ? 1, x ? 0, 4. 已知函数 f ( x) ? ? 若方程 f ( x) ? x ? a 有且只有两个不相等的实数根, 则实数 a ? f ( x ? 1), x ? 0.
的取值范围是( A ) A. ? ??,1? C. ? 0,1? B. ? ?? ,1? y A
2 1

D. ?0, ? ??

5.如右图所示为函数 f ? x ? ? 2sin ??x ? ? ? ( ? ? 0,

?
2

? ? ? ? )的部分图象,
O D. ? 2
?2

其中 A, B 两点之间的距离为 5 ,那么 f ? ?1? ? ( C ) A. 3
2

B. ? 3

C. 2

B

6.如图,已知双曲线 x ?

y2 ? 1, A, C 分别是虚轴的上、下顶点, B 是左顶点, 3

F 为左焦点,直线 AB 与 FC 相交于点 D ,则 ? BDF 的余弦值是( C )
A.

7 7

B.

5 7 7

C.

7 14

D.

5 7 14

7.已知 ? 、 ? 是三次函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx(a, b ? R) 的两个极值点,且 3 2 b?2 ? ? (0,1) , ? ? (1, 2) ,则 的取值范围是( A) a ?1 1 1 1 1 1 A. ( ,1) B. ( ,1) C. ( ? , ) D. (0, ) 4 2 2 4 3

8. 方程

xx y y ? ? ?1 的曲线即为函数 y ? f ( x) 的图像,对于函数 y ? f ( x) ,有如下结论:① 16 9

f ( x) 在 R 上单调递减;②函数 F ( x) ? 4 f ( x) ? 3x 不存在零点;③函数 y ? f ( x) 的值域是 R;④
若函数 g ( x) 和 f ( x ) 的图像关于原点对称,则函数 y ? g ( x) 的图像就是方程 的曲线。其中所有正确的命题序号是(D A.①② B.②③ ) C.①③④ D.①②③

y y xx ? ? 1 确定 16 9

二.填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对应 题号的横线上。 9. 已知复数 (2m ? 3m ? 2) ? (m ? 3m ? 2)i 是纯虚数,则实数 m 的值是_________.
2 2

m??

1 2
2 2 2

1 14 11.如右图,在直角梯形 ABCD 中,已知 BC / / AD , AB ? AD , AB ? 4 ,
10. 已知 x ? 2 y ? 3z ? 1,则 x ? y ? z 的最小值为 . 答案:
·6·

BC ? 2 , AD ? 4 ,若 P 为 CD 的中点,则 PA ? PB 的值为 5 . 12.已知函数 f ( x)( x ? R) 满足: f (a ? b) ? f (a ) ? f (b) , f (1) ? 2 ,则
f 2 (1) ? f (2) f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) f 2 (4) ? f (8) ? ? ? ? f (1) f (3) f (5) f (7)
. 16

13. 如右图,在三棱锥 D- ABC 中,已知 BC 丄 AD,BC=2 ,AD=6,AB+BD=AC+CD=10, 则三棱锥 D 一 ABC 的体积的最大值是__________.

2 15
▲ .

14. 集合 A ? {x | ln x ? ax ? 0} 恰有两个子集,则 a 的取值范围为

1 (??, 0] { } e 15.设 a1 , a2 ,…, an 是各项不为零的 n ( n ? 4 )项等差数列,且公差 d ? 0 .将此数列删去某
一项后,得到的数列(按原来顺序)是等比数列, (1)若 n ? 4 ,则

a1 = d



(2)所有数对 ? n,

? ?

[答案](1)-4,1; (2) {(4 , ?4) , (4 , 1)}

a1 ? ? 所组成的集合为_____________. d ?

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 l2 分) 已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

2? ) ? cos 2 x ( x ?R ). 3

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间;
B 3 , b ? 1, c ? 3, 且 (Ⅱ) ?ABC 内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c ,若 f ( ) ? ? 2 2 a ? b, 试判断 ?ABC 的形状,并说明理由.

17.解:
2π ? 3 3 π? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 3 sin ? 2 x ? ? , (Ⅰ)∵ f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? ? cos 2 x ? 3 ? 2 2 3? ? ? ? 5? ? ? ∴ 故函数 f ? x ? 的最小正周期为 π ;递增区间为 ? k? ? , k? ? ( k ? Z )………6 分 12 12 ? ? ? .

π? 1 π? 3 ? ?B? ? (Ⅱ)解法一: f ? ? ? 3 sin ? B ? ? ? ? ,∴ sin ? B ? ? ? ? . 3? 2 ?2? ? 3? 2 ?
∵ 0 ? B ? π ,∴ ?

π π π 2π π π ,∴ B ? ? ? ,即 B ? .……………………9 分 ?B? ? 3 3 3 3 6 6

2 2 2 由余弦定理得: b ? a ? c ? 2ac cos B ,∴ 1 ? a 2 ? 3 ? 2 ? a ? 3 ?

故 a ? 1 (不合题意,舍)或 a ? 2 .
2 2 2

3 2 ,即 a ? 3a ? 2 ? 0 , 2

因为 b ? c ? 1 ? 3 ? 4 ? a ,所以 ? ABC 为直角三角形.………………………12 分

·7·

π? 1 π? 3 ? ?B? ? 解法二: f ? ? ? 3 sin ? B ? ? ? ? ,∴ sin ? B ? ? ? ? . 3? 2 3? 2 ?2? ? ?

π π 2π π π ? B? ? ,∴ B ? ? ? ,即 B ? 3 3 3 3 6 a 1 3 3 由正弦定理得: ,∴ sin C ? , ? ? sin A sin π sin C 2 6 π 2π π π ∵ 0 ? C ? π ,∴ C ? 或 .当 C ? 时, A ? ;当 C ? 3 3 3 2 ? ABC 为直角三角形. 以
∵ 0 ? B ? π ,∴ ?

π .…………………9 分 6

2π π 时, A ? . (不合题意,舍)所 3 6
………12 分

?ABC 是斜边 AB ? 2 16. (12 分) 如图所示的多面体中, 正方形 BB1C1C 所在平面垂直平面 ABC ,
的等腰直角三角形, B1 A1 / / BA , B1 A1 ? (1)求证: C1 A1 ? 平面 ABB1 A 1; (2)求直线 BC1 与平面 AAC 1 1 所成的角的正弦值.

1 BA . 2

解法 1: (1)取 AB 的中点 O ,连结 AO 1 , OC .

AC ? BC ? CO ? AB ,

四边形 AOBB 1 1 为平行四边形, ? BB 1 / / AO 1 又由 CC1 ? 面 ABC 知 CC1 ? CO

BB1 / /CC1 ? AO 1 / /CC1

? 四边形 AOCC 1 1 为矩形,

………………4 分 ? AC 1 1 ? AO 1 , AC 1 1 ? AB 又 AO AB ? C , ?C1 A1 ? 平面 ABB1 A1 …………6 分 1 (2)作 BD 垂直直线 AA1 于 D ,连接 C1D . 由(Ⅰ)知平面 AAC 1 1 ? 平面 ABB 1A 1, 从而 BD ? 平面 AAC 1 1, ? ?BC1D 即为直线 BC1 与平面 AAC 1 1 所成的角.……8 分

2 3 ,? AA1 ? , 2 2 AO 2 BD ? sin ?BAA1 ? 1 ,? BD ? 于是 AB AA1 3 ? 1, AO ? 易知 AO 1

? sin ?BC1D ?

6 BD 6 ,? 直线 BC1 与平面 AAC . ………12 分 ? 1 1 所成的角的正弦值为 3 BC1 3

解法 2:易知 CA, CB, CC1 两两垂直,且 CA ? CB ? CC1 ? 1 ,

·8·

故以 C 为原点,以 CA 为 x 轴建立空间直角坐标系如图, 则 A(1, 0, 0), B(0,1, 0), C1 (0, 0,1), A1 ( , ,1) ,

1 1 2 2

C1 A1 ? ( , , 0) , AA1 ? (? , ,1) , 所以 AC1 ? (?1,0,1) ,

1 1 2 2

1 1 2 2

AB ? (?1,1,0) .……2 分

C1 A1 ? AA1 ? 0, C1 A1 ? AB ? 0, ?C1 A1 ? AA1 , C1 A1 ? AB , 又 AA1 AB ? A ,? C1 A1 ? 平面 ABB1 A 1 ………6 分
(1) (2)设面 AC 1 1C 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

?? x ? z ? 0 ? 由 n ? AC1 ? 0, n ? C1 A ,令 x ? 1 ,则 n ? (1, ?1,1) ……………8 分 1 1 ? 0 ? ?1 x? y ?0 ? ?2 2 ? 又 BC1 ? (0, ?1,1) , 设直线 BC1 与平面 AAC 1 1 所成的角为 ,则

sin ? ?| cos n , BC1 |?|

n ? BC1 n BC1

|?

2 6 . ? 3 3? 2

………12 分

对于任意 ? ,求 32cos6 ? ? cos6? ? 6cos 4? ? 15cos 2? 的值. 9、 【解】 32cos6 ? ? cos6? ? 6cos 4? ? 15cos 2?

1 ? c o s?23 ?3 2 ( )? c o ?s 6 ? 2
? 4 ( 1? c 3 os ? 2 ? ? 4 ?1 2 c 2 os ? 2 ? 3c ?o s ?2

6? c o? s4
2

1 ?5 c o s 2
?4 c o s ? 2 ? ) 2 6 c?o s 4 10 15 cos

3?c o ? s 2 3) ?( 3 ?c o s ? 2

6c ?o s ? 4 ? 4 ?6 ( 1 ? c? o s 4 ?)

即求 ? 6 c o .s 4

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F ,抛物线 x2 ? 4 3 y 的焦点 a 2 b2 为椭圆 C 的上顶点,且直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,点 A, F , B 在直线 x ? 4 上的射影依次为点 D, K , E . (1)求椭圆 C 的方程; 8 (2)若直线 l 交 y 轴于点 M ,且 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,当 m 变化时,证明: ?1 ? ?2 ? ? ; 3 (3) 连接 AE, BD ,试探索当 m 变化时,直线 AE 与 BD 是否相交于定点?若是,求出定点的坐标,并给
21. (13 分)已知直线 l : x ? my ? 1过椭圆 C : 出证明;否则,请说明理由。

·9·

x2 y 2 ? ? 1 ………………3 分 4 3 1 (2)易知 m ? 0 , M (0, ? ) ,设 A(x1,y1),B(x2,y2) m ? x ? my ? 1 ? ? (3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0, ?? ? (6m)2 ? 36(3m2 ? 4) ? 144(m2 ? 1) ? 0 由 ? x2 y 2 ?1 ? ? 3 ?4 6m 9 ? y1 ? y2 ? ? 2 , y1 ? y2 ? ? 2 ………………6 分 3m ? 4 3m ? 4 1 1 又由 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF 得: ?1 ? ?1 ? , ?2 ? ?1 ? my1 my2 1 y ?y 8 ? ?1 ? ?2 ? ?2 ? ? 1 2 ? ? ………………8 分 m y1 ? y2 3
解: (1)C: (3)m=0 时,得 N(

5 5 ,0),猜想:m 变化时, 直线 AE 与 BD 相交于定点 N( ,0), 2 2

由(2)知 A(x1,y1),B(x2,y2)于是 D(4,y1),E(4,y2),

y2 ? y1 ( x ? 4) 4 ? x1 ?6m ?9 3? 2 ? 2m ? 2 5 y ? y 3( y ? y ) ? 2 my y 5 当 x= 时 y ? y ? 2 3m ? 4 3m ? 4 ? 0 1 2 1 1 2 ( ? 4) ? ? 2 2 4 ? x1 2 2(4 ? x1 ) 2(4 ? x1 )
先证直线 AE 过定点 N:直线 AE 的方程为: y ? y2 ? 所以,点 N 在直线 AE 上,同理可得点 N 在直线 BD 上。即:m 变化时, 直线 AE 与 BD 相交于定点 N(

5 ,0), ………………13 分 2

·10·

当x ?

2 2 2 ?e, , (1) 。 时,f ?( x) ? 0 , 由题意知,f ( x) 在 (0, e] 上不单调, 故0 ? 即a ? 2?a 2?a 2?e

此时,当 x 变化时, f ( x) , f ?( x) 的变化情况如下:

x

(0,

2 ) 2?a

2 2?a

(

2 , e] 2?a

·11·

f ?( x)



0

+

f ( x)



最 小值



·12·


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