2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:4-2-2 圆与圆的位置关系

一、选择题 1.圆 C1:x2+y2+4x+8y-5=0 与圆 C2:x2+y2+4x+4y-1=0 的位置关系为( A.相交 C.内切 [答案] C [解析] 由已知,得 C1(-2,-4),r1=5,C2(-2,-2),r2=3, 则 d=|C1C2|=2,∴d=|r1-r2|.∴两圆内切. 2.圆 x2+y2-2x-5=0 和圆 x2+y2+2x-4y-4=0 的交点为 A、 B,则线段 AB 的垂直平分线方程为( A.x+y-1=0 C.x-2y+1=0 [答案] A [解析] 直线 AB 的方程为:4x-4y+1=0,因此线段 AB 的垂直 平分线斜率为-1,过圆心(1,0),方程为 y=-(x-1),故选 A. 规律总结:两圆相交时,公共弦的垂直平分线过两圆的圆心, 故连心线所在直线就是弦 AB 的垂直平分线. 3.已知圆 C1:(x+1)2+(y-3)2=25,圆 C2 与圆 C1 关于点(2,1)对 称,则圆 C2 的方程是( ) ) B.2x-y+1=0 D.x-y+1=0 ) B.外切 D.外离 A.(x-3)2+(y-5)2=25 B.(x-5)2+(y+1)2=25 C.(x-1)2+(y-4)2=25 D.(x-3)2+(y+2)2=25 [答案] B [解析] 设⊙C2 上任一点 P(x,y),它关于(2,1)的对称点(4-x,2-y) 在⊙C1 上,∴(x-5)2+(y+1)2=25. 4.两圆 x2+y2-4x+2y+1=0 与 x2+y2+4x-4y-1=0 的公切线 有( ) A.1 条 C.3 条 [答案] C [解析] r1=2,r2=3,d=5,由于 d=r1+r2 所以两圆外切,故公 切线有 3 条,选 C. 5.若圆(x-a)2+(y-b)2=b2+1 始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4 的 周长,则 a、b 应满足的关系式是( A.a2-2a-2b-3=0 B.a2+2a+2b+5=0 C.a2+2b2+2a+2b+1=0 D.3a2+2b2+2a+2b+1=0 [答案] B [解析] 利用公共弦始终经过圆(x+1)2+(y+1)2=4 的圆心即可求 得.两圆的公共弦所在直线方程为:(2a+2)x+(2b+2)y-a2-1=0, 它过圆心(-1,-1),代入得 a2+2a+2b+5=0. 6.两圆 x2+y2=16 与(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0)在交点处的切线互 相垂直,则 R=( ) ) B.2 条 D.4 条 A.5 C.3 [答案] C B.4 D.2 2 2 2 [解析] 设一个交点 P(x0,y0),则 x0 +y0 =16,(x0-4)2+(y0+3)2 =r2,∴r2=41-8x0+6y0, ∵两切线互相垂直, y0 y0+3 ∴x · =-1,∴3y0-4x0=-16. 0 x0-4 ∴r2=41+2(3y0-4x0)=9,∴r=3. 7.(2012~2013· 湖南长沙模拟)若圆(x-a)2+(y-a)2=4 上,总存 在不同的两点到原点的距离等于 1,则实数 a 的取值范围是( A.? ? 2 3 2? , 2 ? ? 2 ? ) ? 3 2 2? ? B.?- ,- 2 2? ? ? 3 2 2? ? 2 3 2? ?∪? ? C.?- ,- 2 2? ?2, 2 ? ? D.?- ? ? 2 2? ? , 2 2? [答案] C [解析] 圆(x-a)2+(y-a)2=4 的圆心 C(a,a),半径 r=2,到原 点的距离等于 1 的点的集合构成一个圆,这个圆的圆心是原点 O,半 径 R=1,则这两个圆相交,圆心距 d= a2+a2= 2|a|,则|r-R|<d<r 2 3 2 +R,则 1< 2|a|<3,所以 2 <|a|< 2 , 3 2 2 2 3 2 所以- 2 <a<- 2 或 2 <a< 2 . 8.已知 A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|(x-5)2+(y-5)2=4}, 则 A∩B 等于( A.? C.{(5,5)} [答案] A [解析] 集合 A 是圆 O:x2+y2=1 上所有点组成的,集合 B 是圆 C:(x-5)2+(y-5)2=4 上所有点组成的. 又 O(0,0),r1=1,C(5,5),r2=2,|OC|=5 2, ∴|OC|>r1+r2=3, ∴圆 O 和圆 C 外离,无公共点,∴A∩B=? . 二、填空题 9.圆 C1:x2+y2-12x-2y-13=0 和圆 C2:x2+y2+12x+16y- 25=0 的公共弦所在的直线方程是________. [答案] 4x+3y-2=0 [解析] 两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为 4x+3y-2=0. 10.若点 A(a,b)在圆 x2+y2=4 上,则圆(x-a)2+y2=1 与圆 x2+ (y-b)2=1 的位置关系是________. [答案] 外切 [解析] ∵点 A(a,b)在圆 x2+y2=4 上, ∴a2+b2=4. 又圆 x2+(y-b)2=1 的圆心 C1(0,b),半径 r1=1, 圆(x-a)2+y2=1 的圆心 C2(a,0),半径 r2=1, ) B.{(0,0)} D.{(0,0),(5,5)} 则 d=|C1C2|= a2+b2= 4=2, ∴d=r1+r2.∴两圆外切. 11.与直线 x+y-2=0 和圆 x2+y2-12x-12y+54=0 都相切的半 径最小的圆的标准方程是________. [答案] (x-2)2+(y-2)2=2 [解析] 已知圆的标准方程为(x-6)2+(y-6)2=18,则过圆心(6,6) 且与直线 x+y-2=0 垂直的方程为 x-y=0.方程 x-y=0 分别与直线 x+y-2=0 和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(-3,- 3).由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间,故所求圆的圆心为 (2,2

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