www3435net:2019年高中数学2-3平面向量的数量积2-3-2向量数量积的运算律同步训练新人教B版必修4

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2019 年高中数学 2-3 平面向量的数量积 2-3-2 向量数量 积的运算律同步训练新人教 B 版必修 4

知识点一:向量的数量积 1.已知向量 a 与 b 满足|a|=3,|b|=6,〈a,b〉=,则 a·b 等于 A.-9 B.9 C.9 D.-9 3 2.已知非零向量 m,n 满足 m·n≥0,则 m 与 n 夹角 θ 的取值范 围是 A.[0,) B.[0,] C.[,π ) D.[,π ] 3.一物体在力 F 的作用下沿水平方向由 A 运动至 B,已知 AB=10 米,F 与水平方向成 30°角,|F|=5 牛顿,则物体从 A 运动到 B 力 F 所做的功 W=__________________ _________________________________________________________ _______________. 4.给出下列命题中, ①若 a=0,则对任一向量 b,有 a·b=0; ②若 a≠0,则对任意一个非零向量 b,有 a·b≠0; ③若 a≠0,a·b=0,则 b=0; ④若 a·b=0,则 a、b 至少有一个为 0; ⑤若 a≠0,a·b=a·c,则 b=c; ⑥若 a·b=a·c,且 b≠c,当且仅当 a=0 时成立. 其中真命题为________. 5.(2010 江西高考,文 13)已知向量 a,b 满足|b|=2,a 与 b 的 夹角为 60°,则 b 在 a 上的投影是__________. 知识点二:向量数量积的性质及运算律 6.向量 a,b、c 满足 a+b+c=0 且 a⊥b,|a|=1,|b|=2,则 |c|2 等于 A.1 B.2 C.4 D.5 7.已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则向量 a 与 b 的夹角是 A. B. C. D. 2
π

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8.设平面上有四个互异的点 A、B、C、D,已知(+-2)·(-)=0, 则△ABC 是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 9.(2010 湖南高考,文 6)若非零向量 a,b 满足|a|=|b|,(2a+ b)·b=0,则 a 与 b 的夹角为 A . 30° B . 60° C . 120° D.150° 10.设 a,b,c 为任意向量,m∈R,下列各式中 ①(a-b)+c=a-(b-c) ②m(a+b)=ma+mb ③(a-b)·c=a·c-b·c ④(a·b)c=a(b·c) ⑤|a·b|=|a||b| 不成立的有________. 11.已知|a|=1,|b|=,设 a 与 b 的夹角为 θ . (1)若 θ =,求|a+b|; (2)若 a 与 a-b 垂直,求 θ . 能力点一:有关数量积的计算问题 12.已知非零向量 a,b,若(a+2b)⊥(a-2b),则等于 A. B.4 C. D.2 13.已知|a|=3,|b|=5,且 a·b=12,则向量 a 在向量 b 上的 正射影的数量为 A. B.3 C.4 D.5 14.对于任意向量 x 和 y,|x||y|与 x·y 的大小关系是 A.|x||y|≤x·y B.|x||y|>x·y C.|x||y|≥x·y D.|x||y|<x·y 15.已知|a| = 2,|b| =6 ,a·(b-a)= 2 ,则 |a -λ b|的最小值 为 A.4 B.2 3 C.2 D. 3 16 .若 |a| = 3 , |b| = 5 ,且 a + λ b 与 a - λ b 垂直,则 λ = ________. 17.已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的方程 x2+|a|x+a·b=0 有 实根,求 a 与 b 夹角的取值范围.

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18.设平面内两个向量 a 与 b 互相垂直且|a|=2,|b|=1,又 k 与 t 是两个不同时为零的实数. (1)若 x=a+(t-4)b 与 y=-ka+tb 互相垂直,求 k 关于 t 的函 数解析式 k=f(t); (2)求函数 k=f(t)取最小值时的向量 x、y. 能力点二:数量积的应用 19.一质点受到平面上的三个力 F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用 而处于平衡状态.已知 F1,F2 成 60°角,且 F1,F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为 A.6 B.2 C.2 D.2 7 20.(2010 四川高考,理 5)设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外,2=16,|+|=|-|,则||等于 A.8 B.4 C.2 D.1 21.(2010 天津高考,文 9)如图,在△ABC 中,AD⊥AB,=,||= 1,则 A·A 等于 A.2 B. C. D. 3 22.在边长为的等边三角形 ABC 中,设=c,=a,=b,则 a·b+ b·c+c·a=________. 23.在△ABC 中,设=c,=a,=b,且 a·b=b·c=c·a,试判 断△ABC 的形状. 24.在等腰直角三角形 ABC 中,∠C 是直角,CA=CB,D 是 CB 的 中点,E 是 AB 上的一点,且 AE=2EB.求证:AD⊥CE. 答案与解析 基础巩固 1.A 2.B 3.75 W=|F|·||·cos30°=5×10×=75. 4.① 5.1 b 在 a 上的投影是|b|cos60°=2×=1. 6.D |c|2=c2=[-(a+b)]2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b, ∵a⊥b,∴a·b=0.∴|c|2=1+22=5. 7.C

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8.B (+-2)·(-) =[( -)+(-)]·(-) =(+)·(-) =||2 -||2=0,∴||=||. 9 . C 0 = (2a +b)·b=2a·b+ b2 = 2|a||b|cos 〈 a , b 〉+ |b|2 , ∵|a|=|b|≠0, ∴2cos〈a·b〉+1=0,cos〈a,b〉=-,〈a,b〉=120°. 10.④⑤ 11.解:(1)∵|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a·b =1+()2+2×1××cos=3+,∴|a+b|=. (2)由条件得 a·(a-b)=0,∴a2=a·b=|a|·|b|·cosθ . ∴cosθ ===. ∴θ =. 能力提升 12.D 因为(a+2b)⊥(a-2b),所以(a+2b)·(a-2b)=0.所以 a2=4b2.所以|a|=2|b|.故=2. 13.A 由于 cos〈a,b〉===, ∴|a|·cos〈a,b〉=3×=. 14.C 15.D ∵a·(b-a)=a·b-|a|2=a·b-4,∴a·b=6. |a - λ b|2 = |a|2 + λ 2|b|2 - 2λ a·b= 4 + 36λ 2 - 12λ = 36(λ -)2+3, ∴当 λ =时,|a-λ b|2 取最小值 3.∴|a-λ b|的最小值为. 16.± 由于(a+λ b)·(a-λ b)=0, ∴|a|2-λ 2|b|2=0. ∴λ 2==. ∴λ =±. 17.解:设 a 与 b 的夹角为 θ ,根据题意得 Δ ≥0,即|a|2- 4a·b≥0, 即|a|2-4|a||b|·cosθ ≥0, ∴|a|2-4|a|×|a|·cosθ ≥0. ∴cosθ ≤.∴θ ∈[,π ]. 18.解:(1)∵a⊥b,∴a·b=0. 又 x⊥y,∴x·y=0, 即[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0. -ka2-k(t-3)a·b+ta·b+t(t-3)b2=0.
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∵|a|=2,|b|=1, ∴-4k+t2-3t=0, 即 k=(t2-3t). (2)由(1)知,k=(t2-3t)=(t-)2-, 即函数最小值为-,此时 t=, ∴x=a-b,y=a+b. 19.D 由已知得 F1+F2+F3=0,∴F3=-(F1+F2).F=(F1+ F2)2=F+F+2|F1||F2|cos60°=28. ∴|F3|=2. 20.C 因为|+|=|-|,平方得·=0,即⊥, 又 2=16, 所以||=4. 所以||=||=2. 21.D 设||=x,则||=x, → AC·=(+)·=·=||·||·cos∠ADB=x×1×=. 22.-3 23.解:∵a·b=b·c,

∴b·(a-c)=0.
又 b=-(a+c),则有-(a+c)·(a-c)=0, 即 c2-a2=0,也即|c|=|a|. 同理|b|=|a|,故|a|=|b|=|c|. 所以△ABC 为正三角形. 拓展探究 24.证明:方法一:·=(+)·(+) → =·+·+·+·AE
→ =-+·()+0+·3AB 2

=-||2+||||cos45°+||||cos45° =-||2+·||·||·+·||·||· =-||2+||2+||2=0. ∴⊥,即 AD⊥CE. 方法二:设=a,=b. 由题设得|a|=|b|,a·b=0.
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∵D 为 CB 的中点, ∴=b-a. ∵AE=2EB, ∴==(b-a)=b-a. ∴=+=a+b-a=a+b. ∴·=(b-a)(a+b) =a·b-a·b+b2-a2 =(|b|2-|a|2)=0. ∴⊥,即 AD⊥CE.

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