yaoqianshubocai:最新人教版数学高中选修课时作业6_1

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一、选择题

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图 2-1-11

1.如图 2-1-11 所示,若圆内接四边形的对角线相交于 E,则图中相似三

角形有( )

A.1 对

B.2 对

C.3 对

D.4 对

【解析】 由推论知:∠ADB=∠ACB,∠ABD=∠ACD,∠BAC=∠BDC,

∠CAD=∠CBD,∴△AEB∽△DEC,△AED∽△BEC.

【答案】 B

2.在半径为 R 的圆中有一条长度为 R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是

A.30°

B.30°或 150°

()

C.60°

D.60°或 120°

【解析】 弦所对的圆心角为 60°,又弦所对的圆周角有两个且互补,故选

B. 【答案】 B

3.如图 2-1-12 所示,等腰△ABC 内接于⊙O,AB=AC,∠A=40°,D

是 的中点,E 是 的中点,分别连接 BD、DE、BE,则△BDE 的三内角的度

数分别是( )

图 2-1-12

A.50°,30°,100° B.55°,20°,105° C.60°,10°,110° D.40°,20°,120° 【解析】 如图所示,连接 AD.
∵AB=AC,D 是 的中点,
∴AD 过圆心 O. ∵∠A=40°, ∴∠BED=∠BAD=20 °, ∠CBD=∠CAD=20°. ∵E 是 的中点, ∴∠CBE=12∠CBA=35°, ∴∠EBD=∠CBE+∠CBD=55°. ∴∠BDE=180°-20°-55°=105°, 故选 B. 【答案】 B 4.如图 2-1-13,点 A、B、C 是圆 O 上的点,且 AB=4,∠ACB=30°, 则圆 O 的面积等于( )

A.4π C.12π

图 2-1-13
B.8π D.16π

【解析】 连接 OA,OB. ∵∠ACB=30°, ∴∠AOB=60°, 又∵OA=OB, ∴△AOB 为等边三角形. 又 AB=4,∴OA=OB=4. ∴S⊙O=π·42=16π. 【答案】 D 二、填空题 5.(2013·平顶山模拟)如图 2-1-14,已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3 cm,4 cm,以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D,则BDDA=________.

图 2-1-14

【解析】 连接 CD,∵AC 是⊙O 的直径,

∴∠CDA=90°.由射影定理得 BC2=BD·BA,AC2=AD·AB, ∴BACC22=BDDA,即DBDA=196.

【答案】

16 9

6.如图 2-1-15,AB 为⊙O 的直径,弦 AC,BD 交于点 P,若 AB=3,

CD=1,则 sin∠APD=__________.

图 2-1-15

【解析】 由于 AB 为⊙O 的直径,则∠ADP=90°, 所以△APD 是直角三角形. 则 sin∠APD=AADP,cos∠APD=PADP, 由题意知,∠DCP=∠ABP,∠CDP=BAP, 所以△PCD∽△PBA. 所以PADP=CADB,又 AB=3,CD=1,则PADP=13.

∴cos∠APD=13.又∵sin2∠APD+cos2∠APD=1,

∴sin∠APD=2

3

2 .

【答案】

22 3

三、解答题

7.如图 2-1-16,已知 A、B、C、D 是⊙O 上的四个点,AB=BC,BD 交 AC 于点 E,连接 CD、AD.
(1)求证:DB 平分∠ADC; (2)若 BE=3,ED=6,求 AB 的长.

图 2-1-16 【解】 (1)证明:∵AB=BC,∴ = , ∴∠BDC=∠ADB, ∴DB 平分∠ADC. (2)由(1)可知 = . ∴∠BAC=∠ADB.

∵∠ABE=∠ABD. ∴△ABE∽△DBA.∴ABBE=BADB. ∵BE=3,ED=6,∴BD=9. ∴AB2=BE·BD=3×9=27. ∴AB=3 3. 8.如图 2-1-17, △ABC 是圆 O 的内接等边三角形,AD⊥AB,与 BC 的 延长线相交于点 D,与圆 O 相交于点 E,若圆 O 的半径 r=1,求 DE 的长度.
图 2-1-17 【解】 连接 BE,∴AD⊥AB, ∴BE 为⊙O 的直径,且 BE=2r=2.
又∵∠AEB=∠ACB=60°, ∴∠ABE=30°,∠EBD=30°. 又∵∠ABD=60°, ∴∠D=∠EBD=30°, ∴DE=BE=2. 9.如图 2-1-18①所示,在圆内接△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 边上的 一点,E 是直线 AD 和△ABC 外接圆的交点.
图 2-1-18

(1)求证:AB2=AD·AE; (2)如图 2-1-18②所示,当 D 为 BC 延长线上的一点时,第(1)题的结论成 立吗?若成立请证明;若不成立,请说明理由.
【解】 (1)证明:如右图①, 连接 BE. ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB. ∵∠ACB=∠AEB, ∴∠ABC=∠AEB. 又∠BAD=∠EAB.
∴△ABD∽△AEB. ∴AB∶AE=AD∶AB, 即 AB2=AD·AE. (2)如图②,连接 BE, 结论仍然成立,证法同(1).
10. 已知:如图,BC 为半圆 O 的直径,F 是半圆上异于 B、C 的一点,A 是 的中点,AD⊥BC 于点 D,BF 交 AD 于点 E.
(1)求证:BE·BF=BD·BC; (2)试比较线段 BD 与 AE 的大小,并说明道理.

【解】

(1)证明:连接 FC, 则 BF⊥FC. 在△BDE 和△BCF 中, ∵∠BFC=∠EDB=90° ∠FBC=∠EBD, ∴△BDE∽△BFC. ∴BBCE=BBDF.即 BE·BF=BD·BC. (2)连接 AC、AB,则∠BAC=90°.



,∴∠1=∠2.又∵∠2+∠ABC=90°,∠3+∠ABD=90°,

∴∠2=∠3,∴∠1=∠3.

∴AE=BE.

在 Rt△EBD 中,BE>BD,

∴AE>BD.

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