坐标法及其应用

坐标法及其应用
[复习说明] 解析几何以坐标系为桥梁,将点用坐标表示、线用方程表达,进而达到用 代数方法研究平面图形性质之目的。因此,解析几何的根本方法当属坐标法,此 种方法已成为高考考查的核心。 本专题从阐明坐标法的思维途径出发给出其若干 应用。 [内容提要] 坐标法的实质就是借助于点的坐标,运用解析工具(即有关公式)将平面 图形的若干性质翻译转换成若干数量关系;运用坐标法的一般思维程序或步骤 是:位置关系 ? 数量关系 ? 坐标关系,其核心在于用点的坐标将几何关系代数 化。通过引入坐标,将几何条件代数化后,可达到求解如下几类问题之目的。 1 轨迹方程:求曲线的方程是解析几何的两大基本任务之一,它是由方程 研究曲线性质的首要环节,其实质就是求曲线上流动的点 M 的坐标(x,y)所 满足的等量关系。 因此, 求曲线的轨迹方程应属坐标法最原始乃至最本质的运用。 在实施坐标法求曲线轨迹方程的过程中, 常常因为难以直接产生动点流动坐标的 方程, 除了引入曲线上动点的坐标外, 尚需视问题方便引入一些相关点的坐标 (即 参数) ,最后为达到求出动点流动坐标的轨迹方程之目的则应以消去参数坐标为 已任。 2 范围问题:求参变量的取值范围是解析几何的热点内容之一。一般 地,先通过引入坐标建立关于坐标的方程或函数关系,根据点的坐标的存在 范围,再在函数、方程与不等式的转换中完成对范围题的求解。 3 最值与定值:凡涉及曲线上动点运动的定值与最值问题,均可引入该动 点的坐标作为参数,通过建立目标函数寻求解题途径。 4 位置关系:直线与圆锥曲线相交时若干问题的探讨是解析几何研究的核 心内容。直线与圆锥曲线交点的坐标 ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ) 就是它们联立方程组的解, 而横坐标 x 1 , x 2 (或纵坐标 y 1 , y 2 )则是关于 x(或 y)的一元二次方程的两个实 根。在直线与圆锥曲线的位置关系下如此利用坐标法,巧妙地利用韦达定理,能 合理地沟通根与系数间的关系,达到“设而不求” 、优化思维之目的。 [范例精讲] 例1 已知椭圆
x a
2 2 2 2

?

y b

? 1( a ? b ? 0 )

,A、B 是椭圆上两点,线段 AB 的垂
a
2

直平分线与 x 轴交于点 P(x0,0) ,证明: ? 证明:设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),

?b a

2

? x0 ?

a

2

?b a

2



AB 中点 M ( x 3 , y 3 ) 。

第 1 页 共 8 页

(1)点 A、B

2 ? x 12 y1 ? 2 ?1 ? 2 ? 是椭圆上 ? ? a 2 b 2 y2 ? x2 ? 2 ?1 ?a2 b ?



(2)M 为 AB

x1 ? x 2 ? x3 ? ? ? 2 中点 ? ? ? y ? y1 ? y 2 ? 3 2 ?
k PM ? k AB ? ? 1 ? y3 x3 ? x0
2



(3)PM⊥AB ? (4)

?

y 2 ? y1 x 2 ? x1
2

? ?1

③ ④

PA ? PB ?

( x 0 ? x1 ) ? y1 ?
2

(x0 ? x2 ) ? y2

2

由于几何条件(2)(3) ? 、
x1 ? x 2
2 2 2

(4)

,故本例既可从(1)(2)(3)出发推证 、 、
2

结论,也可从(1)(4)出发推证结论。这里仅给出前者的转化方法: 、 ①中两式相减得
a
2

?

y1 ? y 2 b
2

? 0
b a
2 2

,即

y1 ? y 2 x1 ? x 2

?

y1 ? y 2 x1 ? x 2

? ?

b a

2 2

, ⑤

将②代入上式,得 由③式得
? x0 ? a
2

y3 x3

?

y1 ? y 2 x1 ? x 2

? ?

y 2 ? y1 x 2 ? x1
?b a
2 2

? ?

x3 ? x0 y3
a
2

,代入⑤式知
? x1 ? x 2 2

y3 x3

?

x3 ? x0 y3

?

b a

2 2



? x3 ?

?b a
2

2



又?

a ? x1 ? a ,? a ? x 2 ? a , x1 ? x 2
x1 ? x 2 2 ? a


a
2

? ?a ?

,? ?

a

2

?b a
2

2

? x0 ?

?b a
2

2



例2

如图,A、 A 1 为定点,且

AA 1 ? a

,直线 l

y

过点 A 1 且垂直于 A A 1 ;过 A 作动直线与直线 l 交于 点 B,点 M 在线段 AB 上,且满足
AM BM ? 1 A1 B
2

M

B

,试
A O A1 x

求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线。 分析:运用坐标法的首要环节是建立直角坐标 系。本例的中心任务是将几何条件
AM BM ? 1 A1 B
2



第 2 页 共 8 页

化成 M 坐标的方程,为此尚需要引入一些相关的参数。 解:以线段 A
A 1 的中点

O 为原点,线段 A
a 2 , 0 ), A 1 ( a 2 ,0 )

A 1 所在直线为
( x , y )( ? a 2 ? x ?

x 轴,建立如
a 2 ), B ( a 2 , y1 )

图所示的直角坐标系, A ( ? 则 下将几何性质坐标化:
AM BM

。 M 设



(1)

?

1 A1 B
2

x ? ? a 2

a 2 ? 1 y1
2



? x

(2)A、M、B 共线

y x? a 2

?

y1 a



从①、②中消去 y1 并化简得:

4x a
2

2

? 4y

2

? 1 ( y ? 0 ) ,即为点

M 的轨迹方

程,其轨迹形状:当 a=1 时为圆去掉点 A , A1 ;当 0
A , A1 。

? a ? 1 时,为椭圆去掉点

评注:如果除曲线上点 M 的坐标 x,y 外,还需引入 n 个相关的参数, 那么必须建立关于这 n+2 个变元的 n+1 个等式,方可达目的。一般地,相关 参数越多,越容易建立等式,但此时解题往往越难、技巧性也越高。 例3 已知 A(-2,0) ,B(2,0) ,动点 P 与 A、B 两点连线的斜率分别
? k PB ? t ( t ? 0 , t ? ? 1)

为 k PA 和 k PB ,且满足 k PA (2)当 t
? 0



(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; 时,曲线 C 的两个焦点为 F1、F2,若曲线 C 上存在点 Q 使
? y
x
2
2

∠F1QF2=1200,求 t 的取值范围。 解(1)易得 C 的方程为: tx 2 (2)若 t 当?1 ?
? 0

? 4t ( y ? 0) 。
y
2

,则 C 为椭圆:
? 2, b ? 2

?

4
t ? 0

? 4t

? 1( y ? 0 )



时, a

? t,c ? 2 1? t

,焦点 F1 ( ? c , 0 ), F 2 ( c , 0 ) 。不

妨设点 Q(x,y)在 x 轴上方,则∠F1QF2 是直线 F1Q 到 F2Q 的角。
? kFQ ?
1

y x?c

,kF

2Q

?

y x?c



y

∴ tan 120

0

?

2 cy x?c x?c ? 2 2 2 y y x ? y ?c 1? ? x?c x?c
2

?

y

,将 x 2

? a (1 ?
2

y b

2 2

)

代入上式

化简,得:

3c y

2

? 2 cb y ?
2

3b

4

? 0



第 3 页 共 8 页

椭圆上存在点 Q 使∠F1QF2=1200 的充要条件是方程①在区间(0,b]上有 实根。 令
f ( y) ? 3c y
2 2

? 2 cb y ?
2

3b

4

,∵

f ( 0 ) ? ? 3b

4

? 0

,∴方程①一根 , 即

大于 0、一根小于 0。 从 而 方 程 ① 在 区 间 ( 0 , b] 上 有 实 根
3c b
2 2

? f (b ) ? 0

? 2 cb

3

?

3b

4

? 0, (c ?

3 b )(

3c ? b ) ? 0

,c

?

3b

,解得:

?

1 4

? t ? 0

。 。

当t

? ? 1 时,仿上可求得: t ? ? 4
1 4

综上知,t 的取值范围是 [ ?

, 0 ) ? ( ?? , ? 4 ) 。

评注:视 tan∠F1QF2 为点 Q 纵坐标 y 的函数,若能求出其值域,则利用
tan 120
0

? ? 3

为值域中的元素,也可使问题获解。值得指出的是,在三角形
t ? 0

F1QF2 中利用余弦定理可将 cos∠F1QF2 表示为点 Q 坐标的函数, ? 1 ? 当 其值域为 [
2b a
2 2

时,

? 1,1 ) ,据 cos 120

0

?[

2b a
2

2

? 1,1 ) 可得 ?

1 4

? t ? 0

。本例的结论可

利用直觉进行猜想 (即短轴端点对两焦点张角最大) 但过程却要靠逻辑来完 , 成。 例 4 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,右准线的方程为 x=1,倾 斜角为
?
4

的直线交椭圆 C 于 P、Q 两点,且线段 PQ 的中点 R 坐标为 ( ?

1 1 , ) 2 4



(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 A 为椭圆 C 的右顶点,M、N 为椭圆 C 上两点,且 OM
, 3 2 OA , ON

三者的平方成等差数列,问:直线 OM 和 ON 的斜率之积的绝对值是否为定值?如 果是,请求出定值;若不是,请说明理由。 解(1)由题意知椭圆方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )



设 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ), R ( x 3 , y 3 ) ,由点 P、Q

2 ? x 12 y1 ? 2 ?1 ? 2 ? 是椭圆上 ? ? a 2 b 2 ,两式 x2 y2 ? ? 2 ?1 ?a2 b ?

相减得
a
2

y1 ? y 2 x1 ? x 2

? k PQ ? ?
1 2

b a

2 2

,又 x 1
2 2

? x 2 ? ? 1, y 1 ? y 2 ?

1 2

, k PQ ? 1 ,∴ a

2

? 2b

2

,又

? 1 ,∴ b ? c ?

,a ?

,椭圆 C 的方程为 2 x 2
第 4 页 共 8 页

? 4y

2

? 1。

c

(2)由(1)知点 A 坐标为 (
OM
2

2 2

, 0 ) ,设 M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ),


2

? x1 ? y1 ? x1 ?
2 2 2

1 4

(1 ? 2 x 1 ) ?
2

1 4

?

x1 2

2

, ON

2

?

1 4

?

x2 2

2

, OA
1 2
2

?

1 2



∵ OM

,

3 2

OA , ON

三者的平方成等差数列,∴ x 12
y2 x2
2

? x2 ?
2

,从而
2

( k OM ? K ON )

2

?

y1 x1

2

2

?

2

?

1 ? 2 x1 4 x1
2

2

?

1 ? 2x2 4x2
2

2

?

1 16

?

1 ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2
2 2

x1 x 2

2

2

?

1 4

,∴

直线 OM 和 ON 的斜率之积的绝对值为定值

1 2



评注:对运动方式的不同看法,常可产生问题的不同的解法。本例是着眼 于点动,选择坐标参数使问题获解;当然也可着眼于线动,选择斜率参数或角参 数寻找问题的其它解法,读者不妨试之。 例5 已知椭圆 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的左右两个焦点分别为 F1、F2,斜
? 2 BF

率为 k 的直线 l 过右焦点 F2, 与椭圆交于 A、 两点, y 轴交于点 M, MB B 与 且 (1)若 k (2)若 k 方程。 解: 1) ( 设直线 l :
y ? k (x ? c)

2



? 2 6 , 求该椭圆离心率

e 的取值范围;
200 33

? 2 6 , 并且弦

AB 的中点 P 到椭圆右准线的距离为

,求椭圆

, x=0 得 y=-kc, M 令 即 (0, 。 MB -kc) ∵
2c 3 ,? kc 3
2

? 2 BF

2



∴由定比分点坐标公式得点 B 的坐标为 ( 又点 B 在椭圆上, ∴
1 4 ? e
2

)


? ( 9 ? 4 e )(
2

4c 9a

2 2

?

k c 9b

2

2

2

?1, 从而 k
1 2

1 e
2

? 1 ) ? 24

,解得:

? 9 ?

1 2

? e ? 3 , 又? 0 ? e ? 1 ,∴ 1 2

? e ? 1。

(2)当 k
?y ? 2 ? ?3 x ?
2

? 2 6 , 由题(1)知 e ?

,∴ a

? 2c, b ?

3c



由?

6 (x ? c)
2

? 4y

? 12 c

2

,消去 y 得: 33 x 2

? 64 cx ? 28 c

2

? 0



第 5 页 共 8 页

∵ ∴

AB ? AF

2

? BF 40 33

2

? e?

400 33

?

1? k

2

xA ? xB


20 33

xA ? xB ?

。由韦达定理易得:

xA ? xB ?

c

,由此可得 c=2,故所

求方程为

x

2

?

y

2

? 1.

16

12

[参考练习] 1.过椭圆:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

上动点P作圆: x 2

? y

2

? b

2

的切线 PA、

PB,切点为 A、B. (1)若 PA⊥PB,求椭圆离心率的取值范围; (2)设直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于点 M、N,求三 角形 MON(O 为原点)面积的最小值. 2.已知双曲线 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 离心率为
5

,点 P1、P2 分别在双曲线的渐近线 l 1 , l 2

上,三角形 P1OP2 的面积为 9,点 P 是双曲线 C 上的 一点,且点 P 分 P1P2 所成的比为 2。 (1)求双曲线渐近线的方程; (2)求双曲线 C 的方程。 3. 椭圆
x a
2 2 2 2

?

y b

? 1( a ? b ? 0 )

的离心率 e

?

2 3

, A, B

是椭圆上关于 x 轴均不对

称的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 P(1,0)(1)设 AB 的中点为 。
C (x0 , y0 )

,求 x0 值; (2)若 F 是椭圆的右焦点,且

AF ? BF ? 3

,求椭圆的方

程。 4.椭圆 E 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,其离心率 e 0)的直线 l 与椭圆 E 交于 A、B 两点,且 AC
? 2 CB

?

2 3

,过点 C(-1,
? 0)

。 (1)用直线 l 的斜率 k ( k

表示三角形 OAB 的面积; (2)当三角形 OAB 面积最大时,求椭圆 E 的方程。 [答案或提示] 1. (1)由题意可得,OAPB 为正方形, OP
2b ? a ? 2b

.∵ b

? OP ? a

,∴

.∴ 2 b 2

? a

2

∴ 2 ?a 2
2

?c

2

?? a

2

,∴
x

2 2

? e ? 1. (2)设

P ? x 0 , y 0 ? ,则 AB
? b2 ? ? 0, ? ? y0 ? ? ?

的方程

x0 x ? y0 y ? b

. 直 线 AB 交

轴于

?b2 ? ? ,0 ? ? x ? ? 0 ?



y

轴于

.则

第 6 页 共 8 页

S ? MON ?

b

4

.∵

x0 a

2 2

?

y0 b

2

2 x0 y0

2

? 1 ,∴ x 0 y 0 ?

ab 2

, S ? MON
x a
2 2

?

b

3

. ,

a ? 1( a ? 0 , b ? 0 )

2 .( 1 ) 设 双 曲 线 的 方 程 为
? c a ? 5, ? c ?
5a, b ? 2a

?

y b

2 2

,故双曲线的渐近线方程为
5 x 1 , OP 2 ?

y ? ?2 x

。 2)设 (
4 5

P1 ( x 1 , 2 x 1 ), P2 ( x 2 , ? 2 x 2 ) ,则 OP 1 ?

5 x2

, sin

? P1 OP 2 ?

,由三角

形 P1OP2 的面积为 9 知,x 1 x 2

x1 ? 2 x 2 ? ?xP ? 9 ? 3 ? ; ∵点 P 分 P1P2 所成的比为 2, ? ∴ 2 ? y ? 2 x1 ? 4 x 2 ? P 3 ?
( x1 ? 2 x 2 ) 9a
2 2



又点 P 在曲线 C 上,故
2

?
2

4 ( x1 ? 2 x 2 ) 36 a
2

2

?1

, 即 8 x1 x 2

? 9a

2

,∴

9a

? 36 , a

2

? 4

,所求双曲线方程为

x

?

y

2

?1。

4

16

3 .( 1 ) 设
2 2

A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2
x1 a
2 2 2 2

则 由
2

PA ? PB

知 ,

( x 1 ? 1) ? y 1 ? ( x 2 ? 1) ? y 2
2

2

,∵

y1

2

? b (1 ?
2

), y 2
2 2

2

? b (1 ?

x2 a

2 2

),

∴ ( x1

? 1) ? b (1 ?
2 2

x1 a

2 2

) ? ( x 2 ? 1 ) ? b (1 ? b a
2 2

x2 a

) ,变形整理得

( x 1 ? x 2 ? 2 )( x 1 ? x 2 ) ? b a
2 2

( x 1 ? x 2 )( x 1 ? x 2 ) ,又? x 1 ? x 2 2a c
2 2


? 1 e
2

∴ ( x1

? x2 ? 2) ?

( x1 ? x 2 ) ? x1 ? x 2 ?

? x0 ?

a c

2 2

?

9 4



(2)?

AF ? a ? ex 1 , BF ? a ? ex 2
9 2

,∴由

AF ? BF ? 3



2 a ? e ( x1 ? x 2 ) ? 3,2 a ?

e ? 3,



a ? 3, c ? 2 , b ?

5

,所求椭圆方程为

x

2

?

y

2

? 1。
x a
2 2

9

5

4. (1)设椭圆 E 的方程为 故椭圆 E 的方程可简化为 x 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

。由 e

?

2 3

得a2

? 3b

2



? 3y

2

? 3b

2

,设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 由 AC

? 2 CB

得,

第 7 页 共 8 页

? x1 ? 2 x 2 ? ? 1, ? ? 3 即 x 1 ? 1 ? ? 2 ( x 2 ? 1) ? ? y1 ? 2 y 2 ? 0, ? 3 ?

①;

y1 ? ? 2 y 2

②;由直线 l 的方程

与椭圆 E 的方程联立消去 y 得
(3 k
2

? 1) x
4

2

? 6 k x ? 3k
2 2

2

? 3b
2

2

? 0
2

,则有 ③ ④ ⑤

? ? 36 k

? 4 (3 k
? 6k 3k
2 2 2

? 1)( 3 k

? 3b ) ? 0

x1 ? x 2 ?

?1
2

x1 x 2 ?

3k

? 3b
2

3k
?

?1
y1 ? y 2 ? 1 2 ? 2 y2 ? y2 ? 3 2 y2 ? 3 2 k x2 ? 1

而 S ? OAB

1 2

⑥ 。 时,三角形面

由①、④得 x 2 (2) S ? OAB
?

?1?

? 2 3k
2

?1

,代入⑥得 S ? OAB
3 ? 1 k
x1 ? 2 x 2 3

?

3k 3k
2

?1

(k ? 0)

3 3k ? 1 k

?

3 2

,当且仅当 k

? ?

3 3

2 3k ?

积取得最大值,此时 x 1 其代入⑤得 3 b 2

? x 2 ? ? 1, 又因为

? ?1
2

,所以 x 1

? 1, x 2 ? ? 2

,将

? 5 ,所求椭圆

E 的方程为 x 2

? 3y

? 5。

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