2.3.1直线与平面垂直的判定

2.3.1直线与平面垂直的 判定与性质

复习:直线与平面的位置关系有哪几种?

线在面内

线 面 位置关系

线面平行
垂直

线面相交

斜交

实例引入

旗杆与底面垂直

实例引入

大桥的桥柱与水面垂直

实例引入

线 面 垂 直 最 重 要

万 丈 高 楼 平 地 起

实例感受

在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.你 能发现旗杆所在直线与它的影子所在直线的位置关系吗? A

α

B

旗杆AB所在直线 直线垂直于平面内的 与地面内任意一条过点B的直线垂直. 任意一条直线. 与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直.

实例感受

实例感受

(2)观察归纳—形成概念

A

B

α

思考:
(1)书脊AB与桌面上经过B点的直线有什么关系? (2)书脊AB与桌面上不过B点的直线有什么关系? (3)书脊AB与桌面上的任意直线有什么关系?

结论:直线AB垂直于平面内的任意一条直线,
那么它就垂直于这个平面.

一、直线与平面垂直的定义
如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直, 记作 l ? ? .
平面? 的垂线 垂足

l

直线 l 的垂面

?

P

线面垂直的定义常这样使用

l
?

a

l ?? ? ? a ?? ?

l ?a

简记:线面垂直,则线线垂直

如果直线l与平面α内的一条直线垂直,能保 证l⊥α吗? 如果直线l与平面α内的两条直线垂直,能保 证l⊥α吗?

α

b

如果一条直线垂直于一个 平面内的无数条直线,那么这 条直线是否与这个平面垂直?
A
C?

C
B? B

?

如果一条直线垂直于一个 平面内的无数条直线,那么这 不一定 条直线是否与这个平面垂直?
A
C?

C
B? B

?

直线与平面垂直
如图,准备一块三角形的纸片,做一个试验:
A
A

B

D

C

C B D

过 ?ABC 的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻 折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC于桌面接 触). (1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在平面? 垂直.

二、直线和平面垂直的判定定理:
文字语言:一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直,则该直线与此平面垂直。
符号语言: 垂直



相交

? ? ? a ?? ?? l ?? ? ? b ?? ? a ?b ? A ?
判定定理 线线垂直

l?a l ?b

图形语言:

l

b
A

a

线面垂直

简记:线线垂直,则线面垂直

巩固练习
判断下列命题是否正确,正确的在( )内打“√” 错的打“×” (1)若一条直线与一个三角形的两条边垂直, 则这条直线垂直于三角形所在的平面。( √ ) (2)若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直, 则这条直线垂直于平行四边形所在的平面。( ) × (3)若一条直线与一个梯形的两腰垂直, 则这条直线垂直于梯形所在的平面。( √ ) (4)若一条直线与一个平面不垂直,则这个平面内 没有与这条直线垂直的直线。( ×)

定理应用
两条互相平行的直线,如果有一条与一个平面 垂直,则另一条也与这个平面垂直。 例1: 已知:a // b,a ⊥α 求证:b ⊥α
a
m

b

α

n

巩固练习
1、如图,在三棱锥V—ABC中,VA=VC, AB=BC,求证:VB⊥AC。

. o

巩固练习
2. 在正方体 ABCD- A1B1C1D1中 (1).求证: AC 1 ? 平面DBC1 (2).在三棱锥C1-BDC中有几
个直角三角形?
(3).在四面体中能否存在 四个直角三角形?
A1 D1 C1

B1

D

C

A

B

巩固练习
3.如图,四面体P-ABC中 PA ? 平面ABC BC ? AC 则此图中有多少个直角三角形?
P

B A C

答:四个全部都是

关键:发现并证明BC

平面PAC

知识小结
1.直线与平面垂直的判定 (1)利用定义;垂直与平面内任意一条直线

(2)利用判定定理.
线线垂直 线面垂直

2.数学思想方法:转化的思想

空间问题

平面问题

? 如图,直四棱柱 ABCD- A1B1C1D1(侧棱与底面垂直的棱 柱称为直棱柱)中,底面四边 形ABCD满足什么条件时, A1C⊥B1D1?
A1 B1 C1 D1


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