huangyanbeihouxiaoshuo:高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积(1)教案 苏教版必修4_图文

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高中数学 必修4

问题情境
【提出问题】:向量的运算有向量的加法、减法、数乘, 那么向量与向量能否“相乘” 呢?

学生活动

【提出问题】:物理学中,物体所做的功的计算方法:

? ? ?

??

W ?| F || S | cos? (其中 是 F 与 S 的夹角.)

F

?

S

建构数学

【提出问题】:求功的运算中可以抽象出什么样的数学运算?

1.向量夹角

???

???

已知两个向量 a 和 b ,作 OA = a , OB = b ,

则 ?AOB ?? ( 0 ? ? ? 180 )叫做

向量 a 与 b 的夹角.

当? ? 0 时, a 与 b 同向;

当? ?180 时, a 与 b 反向;

当? ? 90 时, a 与 b 的夹角是 90 ,我们说 a 与 b 垂直,记作 a ? b .

2.向量数量积的定义:
已知两个非零向量 a 和 b ,它们的夹角为 ? ,则数量为 | a | ? | b | ?cos? ,
叫做 a 与 b 的数量积,记作 a ? b ,即 a ?b ?| a | ? | b | ?cos?
【说明】
①实数与向量的积与向量数量积的本质区别:两个向量的数量积是一个 数量,不是向量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关,符
号由cos?的符号所决定;实数与向量的积是一个向量; ②两个向量的数量积称为内积,写成a ? b ;今后要学到两个向量的外积
a × b ,而 a ? b 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.
符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;
③零向量与任一向量的数量积是0 ;
④在实数中,若 a ?0,且 a ? b ? 0 ,则 b ? 0 ;但是在数量积中,若
a ? 0,且 a ? b = 0 ,不能推出 b = 0 .因为其中cos?有可能为0;

3.数量积的性质:
设a 、b 都是非零向量,? 是a 与 b 的夹角,则
① cos? ? a ?b (|a ||b|≠0)
| a || b |
②当a与 b 同向时,a ? b ?| a || b |;

当a与 b 反向时,a ?b ? ? | a || b |;
特别地: a ? a ?| a |2 或 | a |? a ? a ;
③ | a ?b |?| a || b |
④ a ? b ? a?b ? 0

4.数量积的几何意义

(1)投影的概念:

如图,

???
OA

=

a

,过点

B



BB1

垂直于直线

OA



垂足为 B1,则 OB1 ?| b | cos? .

我们把| b | cos? (│ a │cos? )叫做向量 b 在 a 方向上( a 在 b 方向上)的投影. (2)提出问题:数量积的几何意义是什么?

例题讲解
例1.判断正误,并简要说明理由.
??? ???
① a ·0 = 0 ; ② 0 ·a = 0 ; ③ 0 - AB = BA ; ④ a ? b =| a || b |;
⑤若 a ? 0 ,则对任一非零 b ,有 a ? b ? 0 ;
⑥ a ? b =0,则 a 与 b 至少有一个为 0 ; ⑦对任意向量 a 、 b 、 c 都有( a ? b )·c = a ·( b ? c );
⑧ a 与 b 是两个单位向量,则 a 2 = b 2

例2 已知向量 a 与向量b 的夹角为? ,|a|=2,|b |=3,
分别在下列条件下求 a ?b :
(1)? ?1350 ;
(2)a ∥ b ; (3)a ⊥b

???

???

???

例 3 已知正 ?ABC 的边长为 2 ,设 BC = a , CA = b , AB = c ,

求a?b?b?c?c?a .

变式: 已知 | a |? 3 ,| b |? 3,| c |? 2 3,a ? b ? c ? 0,
求 a ?b ? b ? c ? c ? a .

巩固深化,反馈矫正
(1)当 a 与 b 同向时, a ? b =___,当 a 与 b 反向时, a ? b =___,
特别地, a ·a ? __,| a | ? ___;
(2) a ⊥ b ? ______, cos? ? ____ ;
(3)已知| a |=10,| b |=12,且(3 a )·( 1 b ) ? ?36 ,则 a 与 b 的夹角是_____;
5
(4)已知| a |=2,| b |= 2 ,a 与 b 的夹角为 450 ,要使 ? b - a 与 a 垂直,? ? ____ ;
(5)已知| a |=4,| b |=3,①若 a 与 b 夹角为 600 ,求( a +2 b )·( a -3 b );
②若(2 a -3 b )·(2 a + b )=61,求 a 与 b 的夹角? .

回顾反思
1.有关概念:向量的夹角、投影、向量的数量积. 2.向量数量积的几何意义和物理意义. 3.向量数量积的六条性质.


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