常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题13 简单几何体表面积和体积的求法


第 13 讲:简单几何体的表面积和体积的求法
【考纲要求】 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) 。 【基础知识】 一、扇形的面积 错误!未找到引用源。 (其中错误!未找到引用源。代表扇形的弧长,错误!未找到引用源。 代表扇形的半径,错误!未找到引用源。代表扇形的圆心角的弧度数,错误!未找到引用 源。代表扇形圆心角的度数) 二、多面体的表面积就是把多面体表面的各个面的面积加起来。

表中 S 表示面积,错误!未找到引用源。分别表示上、下底面周长,错误!未找到引用源。 表示高,错误!未找到引用源。表示斜高,错误!未找到引用源。表示侧棱长。 三、旋转体的面积和体积公式 旋转体的面积公式不能直接求,所以一般利用展开法求得。

表中错误!未找到引用源。分别表示母线、高,错误!未找到引用源。表示圆柱、圆锥与 球冠的底半径, 错误!未找到引用源。分别表示圆台 上、下底面半径,错误!未找到引用 源。表示球的半径。 四、求几何体的面积和体积的方法 方法一:对于规则的几何体一般用公式法。 方法二:对于非规则的几何体一般用割补法。 方法 三:对于某些三棱锥有时可以利用转换的方法。
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【方法讲评】 方法一 公式法 使用情景 几何体是规则的几何体 先求出几何体表面积和体积公式中的基本量, 再代入几何体的表面积和体积公 解题步骤 式。 例 1 如图,在五棱锥 P—ABCDE 中,PA⊥平面 ABCDE,AB∥CD,AC∥ED,AE∥BC, 错误! 未找到引用源。ABC=错误!未找到引用源。AB=2 错误!未找到引用源。 ,BC=2AE=4,三角形 错 PAB 是等腰三角形. 误 (Ⅰ)求证:平面 PC D⊥平面 PAC; ! (Ⅱ)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小; 未 (Ⅲ)求四棱锥 P—ACDE 的体积. 错 错
误 错
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找 到 引 用 源 。

误 ! 错 未 误 找 ! 到 未 引 找 用 到 源 引 。 用 源 。

错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。

! 未 找 到 引 用 源 。

误 ! 未 找 到 引 用 源 。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面 PCD⊥平面 PAC,所以在平面 PAC 内,过点 A 作 AH ? PC 于 H,则

AH ? 平面PCD ,又 AB∥CD,AB ? 平面 PCD 内,所以 AB 平行于平面 PCD ,所以点 A 到
平面 PCD 的距离等于点 B 到平面 PCD 的距离, 过点 B 作 BO⊥平面 PCD 于点 O, 则 ?PBO 为所求角,且 AH=BO ,又容易求得 AH=2 ,所以 sin ?PBO= 直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为 30 ;

1 ,即 ?PBO = 30 ,所 以 2

例2 一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:错误!未找到引用源。): (1)试画出它的直观图; (2 )求它的表面积和体积.

解:(1)直观图如图所示:

(2)法一: 由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角, 且该几何体的体积是以 A1A, A1D1, 3 A1B1 为棱的长方体的体积的 , 4 在直角梯形 AA1B1B 中,作 BE⊥A1B1 于 E,则 AA1EB 是正方形, ∴AA1=BE=1. 在 Rt△BEB1 中,BE=1,EB1=1, ∴BB1= 2. ∴几何体的表面积 S=S 正方形 AA1D1D+2S 梯形 AA1B1B+S 矩形 BB1C1C+S 正方形 ABCD+S 矩形 A1B1C1D1 1 =1+2× ×(1+2)×1+1× 2+1+1×2 2 =7+ 2(m ). 3 3 3 ∴几何体的体积 V= ×1×2×1= (m ), 4 2 3 3 2 ∴该几何体的表面积为(7+ 2)m ,体积为 m . 2 法二:几何体也可以看作是以 AA1B1B 为底面的直四棱柱,其表面积求法同法一, V 直四棱柱 D1C1CD-A1B1BA=Sh 1 3 3 = ×(1+2)×1×1= (m ). 2 2 3 3 2 ∴几何体的表面积为(7+ 2)m ,体积为 m . 2
2

【变式演练 1】 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,过 A1、C1、B 三点的平面截去长方

40 体的一个角后,得到如图所示的几何体 ABCD-A1C1D1,且这个几何体的体积为 .(1)证明: 3 直线 A1B∥平面 CDD1C1;(2)求棱 A1A 的长;(3)求经过 A1,C1,B,D 四点的球的表面积.

例 3 如图 1,已知三棱锥错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 ,错误!未 找到引用源。 ,试求三棱锥错误!未找到引用源。的体积.

解:如图 2 所示,把三棱锥错误!未找到引用源。补成一个长方体错误!未找到 引用源。 ,易知三棱锥错误!未找到引用源。的各边分别是长方体的面对角线. 不妨令错误!未找到引用源。 ,则由已知有 错误!未找到引用源。 从而知错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。. 故所求三棱锥错误!未找到引用源。的体积为 160.

例 4 如图 3,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形,且错误!未找到 引用源。均为正三角形,错误!未找到引用源。 ,则该多面体的体积为( ). (A)错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 (C)错误!未找到 引用源。 (D)错误!未找到引用源。

解:过 A 作 AG⊥EF,连结 DG,由对称性,易知 DG⊥EF;同理,过 B 作 BH⊥EF,连结 CH, 也由对称性,易知 CH⊥EF,从而有 EF⊥面 ADG,EF⊥面 BCH. 从而该多面体的体积等于直三棱柱 ADG 错误!未找到引用源。BCH 与三棱锥 E 错误!未 找到引用源。ADG 及三棱锥错误!未找到引用源。的体积之和. 由已知错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。.

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例 5 在四棱锥错误!未找到引用源。中,底面错误!未找到引用源。为梯形,错误!未找 到引用源。为错误!未找到引用源。的中点,设错误!未找到引用源。的体积为 V,那么三 棱锥错误!未找到引用源。的体积为( ). (A)错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 (C)错误!未 找到引用源。 (D)错误!未找到引用源。 解:设点错误!未找到引用源。到面错误!未找到引用源。的距离为错误!未找到引用 源。 ,点错误!未找到引用源。到面错误!未找到引用源。的距离为错误!未找到引用源。. 如图 4,∵M 是 EA 的中点,∴错误!未找到引用源。 , ∴错误!未找到引用源。 , 而错误!未找到引用源。. ∴错误!未找到引用源。. ∵错误!未找到引用源。到面 EMC 的距离即为到面 EAC 的距离. 又∵错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。.故选(D).

【高考精选传真】 1.【2012 高考真题新课标理 11】已知三棱锥错误!未找到引用源。的所有顶点都在球错误! 未找到引用源。的求面上,错误!未找到引用源。是边长为错误!未找到引用源。的正三角 形,错误!未找到引用源。为球错误!未找到引用源。的直径,且错误!未找到引用源。 ; 则此棱锥的体积为( ) 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误! 未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误! 未找到引用源。错误!未找到引用源。

2.【2012 高考真题广东理 6】某几何体的三视图如图所示,它的体积为

A.12π

B.45π

C.57π

D.81π

3.【2012 高考真题北京理 7】某三棱锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是(



A. 28+6 错误!未找到引用源。 B. 30+6 错误!未找到引用源。 找到引用源。 D. 60+12 错误!未找到引用源。

C. 56+ 12 错误!未

【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,如图所示,图中蓝色数字所表示的 为直接从题目所给三视图中 读出的长度,黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。 本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和,利用垂直关系和三角形面积公式,可得: 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引

用源。 ,因此该几何体表面积错误!未找到引用源。 ,故选 B。 4. 【 2012 高考真题辽宁理 13 】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ______________。

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5.【2012 高考真题山东理 14】如图,正方体错误!未找到引用源。的棱长为 1,错误!未找 到引用源。分别为线段错误!未找到引用源。上的点,则三棱锥错误!未找到引用源。的体积

为____________. 【解析】法一:因为错误!未找到引用源。点在线段错误!未找到引用源。上,所以错误! 未找到引用源。 ,又因为错误!未找到引用源。点在线段错误!未找到引用源。上,所以点 错误!未找到引用源。到平面错误!未找到引用源。的距离为 1,即错误!未找到引用源。 , 所以错误!未找到引用源。. 法二:使用特殊点的位置进行求解,不失一般性令错误!未找到引用源。点在错误!未找 到引用源。点处,错误!未找到引用源。点在错误!未找到引用源。点处,则错误!未找到 引用源。 。 6.【2012 高考真题上海理 8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为错误!未找到引用源。的半 圆面,则该圆锥的体积为 。

7.【2012 高考真题上海理 14】如图,错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。是四面 体错误!未找到引用源。中互相垂直的棱,错误!未找到引用源。,若错误!未找到引用源。, 且错误!未找到引用源。,其中错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。为常数,则四 面体错误!未找到引用源。的体积的最

大值是



∴四面体 ABCD 体积的最大值错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。。 8.【2012 高考真题天 津理 10】一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体
6
3 2 正视图

3
1

3 2 侧视图

3

积为_________m3.

俯视图

【解析】根据三视图可知,这是一个上面为长方体,下面有两个直径为 3 的球构成的组合 体,两个球的体积为错误!未找到引用源。 ,长方体的体积为错误!未找到引用源。 ,所以 该几何体的体积为错误!未找到引用源。 。 【反馈训练】 1.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 ( )

A.32π B.1 6π C.12 π D.8π 2.如图,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角 形组成,则该多面体的体积是 ( ) 3 2 1 2 A. B. C. D. 6 6 2 3 3.在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3 ,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D, 则四面体 ABCD 的外接球的体积为 ( ) 125 125 125 125 A. π B. π C. π D. π 12 9 6 3 4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于 ( )
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28 16 4 A. π B. π C. π +8 D.12π 3 3 3 5. 某几何体的三视图如图所示, 当 a+b 取最大值时, 这个几何体的体积为

(

)

A.

1 6

1 B. 3

C.

2 3

1 D. 2 为

6.将棱长为 3 的正 四面体的各顶点截去四个棱长为 1 的小正四面体(使截面平行于底 面 ) , 所 得 几 何 体 的 表 面 积 ( ) A.7 3 B.6 3 C.3 3 D.9 3[来源:] 7.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2a 的等腰三角形,俯视图是半径 a 的半圆,则该几何体的表面积是________.

8.已知一个圆锥的展开图如图所示,其中扇形的圆心角为 120°,底面圆的半径为 1, 则该圆锥的体积为________. 9.一个三棱锥的三视图如图所示,其正视图、侧视图、俯视图的面积分别是 1,2,4, 则这个几何体的体积为________. 10.已知正方体 AC1 的棱长为 a,E,F 分别为棱 AA1 与 CC1 的中点,求四棱锥 A1-EBFD1 的体积. 11.如图,已知某几何体的三视图如下(单位:cm).

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (2)求这个几何体的表面积及体积. 12.如图,在三棱锥 P-ABC 中,△PAB 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90° (1)证明:AB⊥PC; (2)若 PC=4,且平面 PAC⊥平面 PBC,求三棱锥 P-ABC 的体积.

13.如图,A1A 是圆柱的母线,AB 是圆 柱底面圆的直径,C 是底面圆周上异于 A、B 的任意 一点,A1A=AB=2. (1)求证:BC⊥平面 A1AC; (2)求三棱锥 A1-ABC 的体积的最大值.

14. 如图所示, 球面上有四个点 P、 A、 B、 C, 如果 PA, PB, PC 两两互相垂直, 且 PA=PB=PC=a, 求这个球的表面积。

∵A1B? 平面 A1AB,A1B?平面 CDD1C1. ∴A1B∥平面 CDD1C1. 40 (2)设 A1A=h,∵几何体 ABCD-A1C1D1 的体积为 , 3 ∴VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1= 1 40 即 SABCD×h- ×S△A1B1C1×h= , 3 3 1 1 40 即 2×2×h- × ×2×2×h= ,解得 h=4. 3 2 3 ∴A1A 的长为 4. (3)如图,连结 D1B,设 D1B 的中点为 O,连 OA1,OC1,OD. ∵ABCD-A1B1C1D1 是长方体,∴A1D1⊥平面 A1AB. ∵A1B? 平面 A1AB,∴A1D1⊥A1B. 1 1 ∴OA1= D1B.同理 OD=OC1= D1B. 2 2 ∴OA1=OD=OC1=OB. ∴经过 A1,C1,B,D 四点的球的球心为点 O. 2 2 2 2 2 2 2 ∵D1B =A1D1 +A1A +AB =2 +4 +2 =24. ∴S 球=4π ×(OD1) =4π ×(
2

40 , 3

D1B
2

) =π ×D1B =24π .

2

2

故经过 A1,C1,B,D 四点的球的表面积为 24π . 【变式演练 2 详细解析】 先作出圆锥的轴截面, 设圆柱的高为 h, 底面半径为 r(0<r<R),体积为 V, h R-r 则 = , 2R R ∴h=2(R-r), ∴V=π r h=2π r (R-r). 2 3 =2π Rr -2π r . 2 ∴V′=4π Rr-6π r ,
2 2

2 由 V′=0 得 r= R, 3 2 当 r= R 时,圆柱的体积 V 取得最大值, 3

将三棱锥 S-ABC 补形成长方体,长方体的长、宽、高分别为 1, 1,错误!未找到引用源。, 长方体的体对角线长为球 O 的直径 2R,即错误!未找到引用源。所以 R=1, 错误!未找到引 用源。=4π ,故选 A. 【变式演练 5 详细解析】 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。四棱锥 A1-EBFD1 的底面是菱形,连接 EF,则 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。平面 ABB1A1, 错误!未找到引用源。 三棱锥 F-EBA1 的高是 CC1 到平面 AB1 的距离,即棱长 a, S 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 【反馈训练详细解析】 1.C【解析】 :由三视图知 ,该几何体是半径为 2 的半球体,其表面积 S=12π . 3 2. B【解析】 :由题知该多面体为正四棱锥,底面边长为 1,侧棱长为 1,斜高为 ,连结 2 2 1 2 2 ,所以体积为 V= ·1·1· = . 2 3 2 6 3. C【解析】 :由题意知,球心到四 个顶点的距离相等, 所以球心 在对角线 AC 上,且其半径为 AC 长度的一半, 4 5 3 125π 则 V 球= π ×( ) = . 3 2 6 4. A【解析】 :由三视图可知,该几何体为底面半径是 2,高为 2 的圆柱体和半径为 1 的球 4 28 2 体的组合体,则该几何体的体积为 π ×2 ×2+ π = π .[来源:] 3 3 顶点和底面中心即为高,可求高为 5. D【解析】 :如图所示,可知 AC= 6 ,BD=1,BC=b, AB=a. 设 CD=x,AD=y, 2 2 2 2 2 2 则 x +y =6,x +1=b ,y +1=a , 消 去 x ,y 得
2 2

3 . 8
2

(a+b) , 2 所以(a+b)≤4, 当且仅当 a=b=2 时等号成立,此时 x= 3,y= 3,[来源:]

a2+b2=8≥

1 1 1 所以 V= × ×1× 3× 3= . 3 2 2 9 3 6. A【解析】 :原正四面体的表面积为 4× =9 3,每截去一个小正四面体,表面减小三 4 个小正三角形,增加一个小正三角形,故表面积减少 4×2× 3 =2 3,故所得几何体的表 4

面积为 7 3. 3 2 2 7. π a + 3a 【解析】 :由题目所给三视图可得,该几何体为圆锥的一半,那 2 么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和.又该圆锥的侧 1 2 2 面展开图为扇形,所以侧面积为 ×2a×2π a=2π a ,底面积为 π a ,观察三 2 1 3 2 视图可知,轴截面为边长为 2a 的正三角形,所以轴截面面积为 × 2a×2a× = 3a ,则 2 2 3 2 2 该几何体的表面积为 π a + 3a . 2 8. 2 2 1 π 【解析】因为扇形弧长为 2π ,所以圆锥母线长为 3,高为 2 2,所求体积 V= 3 3
2

×π ×1 ×2 2=

2 2π . 3

10.【解析】 :因为 EB=BF=FD1=D1E=

2 所以四棱锥 A1-EBFD1 的底面是菱形,连接 EF, 则△EFB≌△EFD 1, 由于三棱锥 A1-EFB 与三棱锥 A1-EFD1 等底同高, 所以 VA1-EBFD1=2VA1-EFB=2VF-EBA1 1 1 3 =2· ·S△EBA1·a= a . 3 6 11.【解析】 :(1)这个几何体的直观图如图所示.

a 5 a2+( )2= a,
2

(2)这个几何体可看成是正方体 AC1 及直三棱柱 B1C1Q-A1D1P 的组合体.

由 PA1=PD1= 2 ,A1D1=AD=2, 可得 PA1⊥PD 1. 故所求几何体的表面积 2 2 S=5×2 +2×2× 2 +2× 2 ×( 2 ) 2 =22+4 2 (cm ), 3 2 3 所求几何体的体积 V=2 + 2 ×( 2 ) ×2=10(cm ).

故∠AEB=90°. 因为 Rt△AEB≌Rt△PEB, 所以△AEB, △PEB,△CEB 都是等腰直角三角形. 由已知 PC=4,得 AE=BE=2, △AEB 的面积 S=2. 因为 PC⊥平面 AEB, 所以三棱锥 P-ABC 的体积

V=

1 3 ×S×PC= . 3 8

13.【解析】 :(1)证明:∵C 是底面圆周上异于 A、B 的任意一点,且 AB 是圆柱底面圆的直 径, ∴BC⊥AC. ∵AA1⊥平面 ABC,BC ∴AA1⊥BC. 平面 ABC,

∵AA1∩AC=A,AA1 平面 AA1C,AC 平面 AA1C, ∴BC⊥平面 AA1C. (2)设 AC=x,在 Rt△ABC 中, BC= AB2-AC2= 4-x2(0<x<2), 1 1 1 故 VA1-ABC= S△ABC·AA1= · ·AC·BC·AA1 3 3 2 1 2 = x 4-x (0<x<2), 3 1 1 2 2 2 即 VA1-ABC= x 4-x = x (4-x ) 3 3 1 2 2 = -(x -2) +4. 3 ∵0<x<2,0<x <4,∴当 x =2,即 x= 2时, 2 三棱锥 A1-ABC 的体积最大,其最大值为 . 3 14.【解析】 :如图,设过 A、B、C 三 点的球的截面圆半径为 r,圆心为 O′,球心到该圆面 的距离为 d。
2 2

在三棱锥 P—ABC 中,∵PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a, ∴AB=BC=CA=错误!未找到引用源。a,且 P 在△ABC 内的射影即是△ABC 的中心 O′。


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