通信网第3章 排队论及其应用_图文

第3章 排队论及其 应用

第3章 排队论及其应用
?

通信网规划设计和优化遵循的原则:

能够满足各项性能指标要求又节省费用的设计或优化方案。
?

对设计人员的要求:掌握相应的理论基础知识和网络分析的 计算方法,以便对通信网的性能进行分析与指标计算,为设 计和优化提供理论数据。

?

应用的数学理论:排队论。它起源于最早的电话系统,可应

用于很多领域,目前通信网仍是其中一个重要的应用领域。

2

本 章 学 习 要 求
?

重点掌握和理解排队论的基本概念、M/M/m(n)排队系统的 模型分析方法,了解它们在网络中的实际应用。

?

掌握通信网业务量的基本概念,理解、掌握和运用 Erlang
B公式和Erlang C公式及其在业务分析中的具体应用;能够 运用这些知识分析和计算实际网络的性能指标。

?

掌握随机接入系统的工作原理及其业务分析方法。

3

第3章 排队论及其应用
3.1 排队论基础
3.2 M/M/m(n)排队系统 3.3 通信业务量分析 3.4 随机接入系统业务量分析

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3.1 排队论基础

3.1.1 基本概念 3.1.2 有关的概率模型及最简单流 3.1.3 排队系统的主要性能指标

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3.1.1 基本概念
排队论(Queuing Theory)
?

是一个独立的数学分支,有时也把它归到运筹学
中。

?

排队论是专门研究由于随机因素的影响而产生的 拥挤现象(排队、等待)的科学,也称为随机服务 系统理论或拥塞理论(Congestion Theory)。

?

它是在研究各种排队系统概率规律性的基础上, 解决有关排队系统的最优设计和最优控制问题。
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3.1.1 基本概念
排队论的起源:
?

排队论起源于20世纪初。当时,美国贝尔(Bell)电话公司发明了自 动电话以后,如何合理配置电话线路的数量,以尽可能地减少用户重

复呼叫次数问题。
?

1909年,丹麦工程师爱尔兰(A.K.Erlang)发表了具有重要历史地位 的论文“概率论和电话交换”,从而求解了上述问题。

?

1917年,A.K.Erlang又提出了有关通信业务的拥塞理论,用统计平衡
概念分析了通信业务量问题,形成了概率论的一个新分支。

?

后经C.Palm等人的发展,由近代概率论观点出发进行研究,奠定了

话务量理论的数学基础。经过通信、计算机和应用数学三个领域的研
究学者的努力,排队论得到了迅速的发展和应用。

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3.1.1 基本概念
应用: 网络的设计和优化方法; 移动通信系统中的切换呼叫的处理方法;

随机接入系统的流量分析方法;
业务流的数学模型及其排队分析方法等。 经典排队论 把相继到达“顾客”的到达时间间隔和服务时间都相互独立的 排队论内容称为经典(或古典)排队论。

经典排队论仍是新的排队论的基础,而且通信领域的许多问题
可以用它来解决。
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3.1.1 基本概念
1.排队的概念

通信网中的排队现象:
? ?

无形的排队:如打电话 有形的排队:如数据分组的传送

顾客:把要求服务的一方统称为“顾客”,如电话用户产生的呼叫和待传送
的分组信息。 服务机构:把提供服务的一方统称为服务机构,如电话交换设备、信息传输

网络等。
服务窗口或服务员:把服务机构内的具体设施统称为“服务窗口”或“服务 员”,如中继线路、信道等。

排队系统(随机服务系统):由要求随机性服务的顾客和服务机构两方面构
成的系统称为随机服务系统或排队系统。
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3.1.1 基本概念
产生排队的原因: 顾客需求的随机性和服务设施的有限性。

应用的理论:概率论和随机过程理论
研究目的:研究排队系统内服务机构与顾客需求之间的关系,

以便合理地设计和控制排队系统,使之既能满足一定的服
务质量要求又能节省服务机构的费用。

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3.1.1 基本概念 2.排队系统的组成
一个排队系统由三个基本部分组成: ? 输入过程 ? 排队规则 ? 服务机构

排队系统 顾客到 达
排队 规则 服务 机构

服务完毕离 去

图3.1 排队系统的基本组成
11

3.1.1 基本概念
(1)输入过程 描述顾客按怎样的规律到达排队系统,包括以下三方面:
?

顾客总体数:指顾客的来源(简称顾客源)数量,顾客源 数可以是无限的,也可以是有限的。 顾客到达方式:描述顾客是怎样到达系统的,是成批(集 体)到达(每批数量是随机的还是确定性的)还是单个到 达。 顾客流的概率分布(或顾客到达的时间间隔分布):所谓 顾客流,就是顾客在随机时刻一个个(一批批)到达排队 系统的序列。

?

?

12

3.1.1 基本概念
(2)排队规则
排队规则包括:
? ?

排队系统类型 服务规则

?

排队系统类型: 拒绝系统
非拒绝系统
13

排队系统一般分为:
?
?

表明服务机构是否允许顾客排队等待服务。

3.1.1 基本概念
?

拒绝系统:又称拒绝方式、截止型系统。
n:系统允许排队的队长(也称截止队长)。 m:窗口数。 分为两种情况:

?

即时拒绝系统:n = m的系统。此时,顾客到达后或立即 被拒绝,或立即被服务,不存在排队等待服务的情况。电 话网就是即时拒绝系统。 延时拒绝系统:m < n的系统。此时容许一定数量的顾客 排队等待,当系统内顾客总数达到截止队长时,新来的顾 客就被拒绝而离去。带有缓冲存储的数据通信、分组交换 等就属于这一类。
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?

3.1.1 基本概念
?

非拒绝系统:又称非拒绝方式、非截止型系统。 系统排队队长无限制,允许顾客排队等待(一般 认为顾客数是无限的)。 要求该类系统稳定性参数? 要满足? ? 1。

?
?

即时拒绝系统:也称为立接制系统、损失制系统。
延时拒绝系统:也称为混合制系统。

?

延时拒绝系统和非拒绝系统:也称为等待制系统、 缓接制系统。

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3.1.1 基本概念
?

服务规则
?

先到先服务(FCFS)或先入先出(FIFO)

这是常见的情况。若无其他说明时,常按这种方式来分析。
?
?

后到先服务(LCFS)
优先制服务

在通信网中,这种情况也较为常见。
?

随机服务

通信网中一般是顺序服务,但有的也采用优先制服务方式。

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3.1.1 基本概念
(3)服务机构 服务机构包括以下三方面内容。
?

窗口或服务员数量
? ?

当m = 1时,称为单窗口排队系统。 当m ? 1时,称为多窗口排队系统。

? ?

服务方式及排队方式
服务时间分布

17

3.1.1 基本概念
? ?

服务方式及排队方式

服务方式
是指在某一时刻系统内接受相同服务的顾客数,即是单个顾客 接受服务(串列服务方式)还是成批顾客同时接受服务(并列 服务方式)。
?

串列服务方式:即m个窗口的串列排队系统。此时,m个窗口 服务的内容互不相同,某一时刻只能有一个顾客接受其中一个 窗口的单项服务,每个顾客要依次经过这m个窗口接受全部的 服务。 并列服务方式:即m个窗口的并列排队系统。此时,m个窗口 服务的内容相同,系统一次可以同时服务m个顾客。

?

18

3.1.1 基本概念
?

排队方式:包括混合排队和分别排队两种方式
?

混合排队方式:顾客排成一个队列,接受任意一个空闲窗口的 服务。 分别排队方式:顾客排成m个队列,同时分别接受m个窗口的 相同服务。

?

?

当m = 1时,在该系统中,如果允许排队,顾客则只能排 成一列队列接受服务。 当m ? 1时,在该系统中,如果允许排队,则有混合排队 和分别排队两种排队方式。排队方式的选择取决于两种服 务方式。

?

19

3.1.1 基本概念

图3.2 服务方式与排队方式
20

3.1.1 基本概念
?
?

服务时间分布
服务时间和顾客到达时间一样,多数情况下是随机型的。

要知道它的经验分布或概率分布。
?

一般来说,服务时间的概率分布有定长分布、指数分布、 Erlang分布等。

21

3.1.1 基本概念
3. 排队系统中常用的几个定义
?

系统状态:指一个排队系统中的顾客数(包括正在被服务 的顾客数)。
在时刻t排队系统中的顾客数,即系统在时刻 t 的瞬 时状态。

? N (t ) :

? Pk ( t ):在时刻t系统中有k个顾客的概率。 ?

稳定状态:当一个排队系统运转一段时间后,系统的状态 将独立于初始状态及经历的时间,这时称系统处于稳定状 态。排队论中主要研究系统处于稳定状态下的工作情况。 稳定状态时工作情况与时刻 t 无关,这时
Pk ( t ) 可写成 Pk , N ( t ) 可写成N。
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3.1.1 基本概念
4.
排队系统的三个基本参数
任何排队系统都有三个基本参数m、?、? ,称为排队模型的三要素。 m参数 称为窗口数或服务员数目,表征系统的资源量。它表示系统中有多少 服务设施可同时向顾客提供服务。 ?参数 顾客到达率或系统到达率,即单位时间内到达系统的平均顾客数。其 单位为个/时间或份/时间。 ? ? 反映了顾客到达系统的快慢程度,也反映了需要服务的一方对提供 服务的一方的要求。 ? ? 越大,说明系统的负载越重。 ? ? 的倒数称为平均到达时间间隔T,即 T ? 1 / ?

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3.1.1 基本概念
系统的有效到达率?e : 实际能够进入系统并接受服务的到达率,即单位时间内进 入系统的平均顾客数
?e ? (1 ? Pn )?
Pn

(3.1)

Pn ? 0 为阻塞概率(或拒绝概率)。对于非拒绝系统,


?

?e ? ?

在无限顾客源的情况下,顾客的到达按集体到达方式考 虑,式(3.1)中的系统到达率?为常数。
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3.1.1 基本概念
?

在有限顾客源的情况下,顾客的到达按单个到达方式考

虑。
?

设每个顾客的到达率λ0相同,λ0是有限顾客源中每个顾 客在单位时间内到达系统的平均数。 N:顾客源总数;

? ?

Ls :系统的平均队长;
(N-Ls ):系统外的顾客平均数。
此时系统的有效到达率为
?e ? ( N ? Ls )?0
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?

(3.2)

3.1.1 基本概念
?k :当系统中有k个顾客时,新到顾客的到达率(单位时间内新顾
客的到达数)或系统到达率,即k状态(系统中有k个顾客时) 的系统到达率,则有 无限顾客源, k ? 0,?为 常 数 ?? (3.3) ?k ? ? (N-k)?0 有限顾客源, k?0 ? ? 参数:是一个服务员(或窗口)的服务速率,即单位时间内由一 个服务员(或窗口)进行服务所离开系统的平均顾客数。

? k :当系统中有k个顾客时,整个系统的平均服务率(单位时间
内服务完毕离去的平均顾客数),即k状态的系统服务率,则有
?? ? ? k ? ? k? ?m? ? m ?1 m ?1, m ?1,

k?m k?m

(3.4)
26

3.1.1 基本概念
:? 的倒数1/? ,是单个窗口对顾客的平均服务时间, 也是一个呼叫的平均持续时间。 ? ? 1/ ? ? :为排队强度,又称稳定性参数。 ? ? ? /(m? ) (3.5)

?

? 对系统稳定性的影响:
?

若? ? 1,即? ? m? 时,说明平均到达系统的顾客数小于 平均离开系统的顾客数。这时系统是稳定的,可以采取非 拒绝方式或拒绝方式。 若? ? 1,即? ? m? 时,说明平均到达系统的顾客数多于 平均离开系统的顾客数。必须采用拒绝方式,人为地限制 系统内的顾客数量,保证系统的稳定性。
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?

3.1.1 基本概念
5. 排队系统分类的表示方法 目前较为广泛采用的分类表示方法是D.G.Kendall 提出的分类方法:
X / Y / m(n,N ) X :顾客到达时间间隔分布 Y :服务时间分布 m :窗口或服务员数目(此处特指并列排队系统) n :截止队长,省略这一项表示 n ? ?,即为非拒绝系统 N :表示潜在的顾客总数,对于潜在的无限顾客源,即N ? ? 时,可省去这一项

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3.1.1 基本概念
表示不同输入过程(顾客流)X和服务时间分布Y的符号有:

M:泊松分布(或指数分布),两者都具有马尔可夫随机过程性质.
D:定长分布 Ek:k阶Erlang分布

GI:一般相互独立的随机分布
G:一般随机分布 M/M/1系统:指顾客流为泊松流、服务时间为指数分布、单窗口排队系统。

M/D/m系统:指顾客流为泊松流、服务时间为定长分布、有m个窗口的排队系
统。 一般如没有特别说明,则认为顾客总体数是无限源、属于非拒绝方式的排队系

统。
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3.1 排队论基础

3.1.1 基本概念 3.1.2 有关的概率模型及最简单流 3.1.3 排队系统的主要性能指标

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3.1.2 有关的概率模型及最简单流

1.排队系统中常用的概率模型 (1)泊松分布
设随机变量X 所有可能取的值为0,1,2,…,而取各个值 的概率为

Pk ? P{ Χ ? k } ?

?k
k!

e ??

k =0,1,2



(3.6)

其中? >0是常数,则称X 服从参数为? 的泊松分布。 其均值为 方差为

E( Χ ) ? ?
D( Χ ) ? ?

(3.7) (3.8)
31

3.1.2 有关的概率模型及最简单流
(2)指数分布 一般,若随机变量t 取具有概率密度函数为 ?? e ? ? t t ?0 f (t ) ? ? (3.9) t?0 ?0 其中? > 0为常数,则称 t 服从参数为? 的指数分布,其分布函
数F(t)为
F (t ) ?

?

t

??

f (t ) dt ?

?

t

??

? e ?? t dt ? 1 ? e ?? t
t ?0 t? 0

? ?1 ? e ? ? t F (t ) ? ? ? ?0

(3.10) (3.11)

其均值为 方差为

? 1 D( t ) ? 2 ?

E (t ) ?

1

(3.12)
32

3.1.2 有关的概率模型及最简单流

2.最简单流
随机事件流: 通常把随机时刻出现的事件组成的序列称为随机事件流,例

如用N (t)表示(0,t)时间内要求服务的顾客人数就是一个
随机事件流。 (1)最简单流

定义:如果一个事件流{N (t ) , t >0},这里以输入流为例,
满足下述三个条件则称该输入为最简单流: 平稳性

无后效性
疏稀性

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3.1.2 有关的概率模型及最简单流
? 平稳性 在时间间隔 t 内,到达 k 个顾客的概率只与 t 有关,而与这 间隔的起始时刻无关。 即以任何时刻 t0 为起点,(t0 , t0+t) 时间内出现的顾客数只与时间长度 t 有关而与起点 t0 无关。
N (t) :(t0, t0+t)内出现的顾客数

Pk ( t ) : N(t) = k 的概率,则

Pk ( t ) ? P ( N ( t ) ? k )

k = 0,1,2,



? P (t ) ? 1
k k ?0
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?

3.1.2 有关的概率模型及最简单流
?

无后效性
顾客到达时刻相互独立,即顾客各自独立地随机到达系统。 此假设使顾客数 k 的随机过程具有马尔柯夫性。即在(t0 , t0+t)时间内出现 k 个顾客与 t0 以前到达的顾客数无关。 稀疏性

?

在无限小时间间隔Δt内,到达两个或两个以上顾客的概率可认为是零,且在 有限时间区间内到达的顾客数是有限的。即在充分小的时间区间 Δt内,发生 两个或两个以上事件的概率是比Δt高阶的无穷小量,即Δt? 0时,有
k ?2 ?

P (?t ) ? ? Pk (?t ) ? o (?t )
k ?2

P1 (?t ) ? ??t

P0 ( ?t ) ? 1 ? ??t

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3.1.2 有关的概率模型及最简单流
在上述三个条件下,可以推出 (?t ) k ??t Pk (t ) ? e , k!
在时间t内有k个顾客到达的均值: E (k ) ? ? t

k ? 0, 1, 2, ? ? ? (3.13)
(3.14) (3.15) (3.16)

注意:Pk(t) ? 是在时间t内有k个顾客到达的概率; ? 或是一个排队系统中在时间t内有k个顾客在等待或正在处 理的概率; ? 或是总的C 条信道中有k条信道被占用概率。
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D(k ) ? ? t E ?? t

3.1.2 有关的概率模型及最简单流

(2)泊松过程的顾客到达时间间隔分布
顾客到达时间间隔分布:
? ?

顾客到达的时间间隔小于 t 的概率,即t内有顾客的概率分布。

两相邻顾客到达的时间间隔是一连续型随机变量,用 T 表示。在时间 t 内没 有顾客到达的概率为

(? t ) 0 ? ? t P0 (t ) ? e ? e ?? t 0!
则T 的分布函数为

FT (t ) ? P(T ? t ) ? 1 ? P(T ? t ) ? 1 ? P0 (t ) ? 1 ? e ?? t
其概率密度函数:

(3.17)

dFT (t ) fT (t ) ? ? ? e ?? t dt

(3.18)
37

3.1.2 有关的概率模型及最简单流 顾客到达的平均时间间隔为

E (T ) ?

?

?

0

t f (t )dt ?

1

?

(3.19)

?

一个随机过程为“泊松到达过程”或“到达 时间间隔为指数分布”实际上是一回事。

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3.1.2 有关的概率模型及最简单流 (3)服务时间分布
?

服务时间: 也叫占用时间,指一个顾客接受服务时实际占用一个 窗口的时间,也就是服务结束的间隔时间,用? 表示。 在电话呼叫中,就是一个呼叫的平均持续时间。 服务过程: 也就是顾客离去的过程。当一个服务完毕的顾客离开 系统时,下一个顾客立即得到服务, 服务完毕后离去, 二者离去的间隔时间? 即为服务时间。

?

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3.1.2 有关的概率模型及最简单流
若顾客的离去过程也满足最简单流条件,则离去过程(即 服务过程)也为泊松过程,即有

(? t )k ? ? t Pk (t ) ? e k!
服务时间间隔的概率密度函数为:

(3.20)

离去时间间隔分布(服务时间间隔分布)为指数分布,即

f? (t ) ? ? e ? ? t
完成服务的平均时间:
E(? ) ?

(3.21)

?

? 0

t f (t ) dt ?

1

?

(3.22)
40

3.1.2 有关的概率模型及最简单流
例3.1 设电话呼叫按30次/h的泊松过程进行, 求:5分钟间隔内,⑴ 不呼叫的概率;⑵ 呼叫3次的概率。

解:按题意,?=30次/h=0.5次/min,t=5min, k = 0及k = 3
(1)5分钟不呼叫的概率为
P0 (5) ? e ?0.5?5 ? 0.082 ? 8.2%

(2)5分钟内呼叫3次的概率为

2.53 ? 2 .5 P3 (5) ? e ? 0.214 ? 21.4% 3!

41

3.1.2 有关的概率模型及最简单流

?

一般来说,大量的稀有事件流,如果每一事件 流在总事件流中起的作用很小,而且相互独立, 则总的合成流可以认为是最简单流。 大量研究表明,将电话呼叫当做最简单流处理, 得到的分析结果是正确的。

?

42

3.1.2 有关的概率模型及最简单流

3.生灭过程
生灭过程是用来描述输入过程为最简单流、服务 时间为指数分布的这一类最简单的排队模型,即 M/M/m (n, N)过程。
?

生灭过程定义

设有某个系统,具有状态集S ={0,1,2,…},若 系统的状态随时间 t 变化的过程{N (t);t ?0}满足 以下条件,则称为一个生灭过程。

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3.1.2 有关的概率模型及最简单流
设在时刻 t 系统处于状态 k 的条件下,再经过长为Δt (Δt?0)的时间,即当 t? t+Δt 时,有
? ? ?

转移到k +1(0≤k ? +∞)状态的转移概率为λk?t +o(?t ) 转移到k?1(1≤ k ? +∞)状态的转移概率为 ?k?t +o(?t ) 转移到S? ? k?1,k, k+1?状态的转移概率为 o(?t ) 其中λk ?0, μk ?0,且均为与时间 t 无关的固定常数。 若S仅包含有限个元素S ={0,1,2, …,n},同时也满足 以上条件,则称为有限状态生灭过程。
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3.1.2 有关的概率模型及最简单流
概率分布 在 t 时刻处于 k 状态的概率分布Pk , 求t→t+?t,?k?1,k,k+1?→k 时的
?

Pk ( t ? ?t ) ( ?t ? 0)

设系统在 t+Δt 时刻处于k 状态,根据上述生灭过程的定义, 这一事件可分解为如下四个互不相容的事件之和。

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3.1.2 有关的概率模型及最简单流

图3.3 Δ t内状态转移示意图 (Δ t? 0)
46

3.1.2 有关的概率模型及最简单流
?

系统在t?(t+Δt),k?k 状态,则在Δt内,其转移概率为

Pk (t )[(1 ? ?k ?t )(1 ? ? k ?t ) ? ?k ?t ? k ?t ]

?

Pk ( t )(1 ? ? k ?t ? ? k ?t ) ? o( ?t )

系统在t?(t+Δt),(k-1)?k 状态,则在Δt内,其转移概 率为

Pk ?1 ( t )? k ?1 ?t (1 ? ? k ?1 ?t )


?

Pk ?1 ( t )? k ?1 ?t ? o( ?t )

系统 t?(t+Δt),(k+1)? k状态,则在Δt内,其转移概 率为

Pk ?1 (t ) ? k ?1?t (1 ? ?k ?1?t )


Pk ?1 ( t ) ? k ?1 ?t ? o( ?t )
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3.1.2 有关的概率模型及最简单流
?

系统在t ?(t+Δt),其它的状态(即不是k-1、k、k+1状态) ? k 状态,其转移概率为o(Δt)。 由全概率公式,得生灭过程的系统稳定状态方程(简称系 统方程):
?? k ?1 Pk ?1 ? ? k ?1 Pk ?1 ? (? k ? ? k ) Pk ? ? ?0 P0 ? ?1 P1 k ? 1 , 2 ,? ? ?

(3.25)

图3.4 生灭过程的状态转移图

即有:系统“进入某状态的概率等于离开该状态的概 率” 。

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3.1.2 有关的概率模型及最简单流


?P
k ?0

?

k

?1

得生灭过程在 t →∞ 时的稳定状态概率
1 ? P ? ? 0 ? ? k ?1 ? k ? 2 ? ? ? ? 0 ? 1? ? ? k ? k ?1 ? ? ? ?1 ? k ?1 ? ? ? ? ? ? ?0 ? Pk ? k ?1 k ? 2 P0 ? ? k ? k ?1 ? ? ? ?1 ?

?

(3.26)
k ? 1, 2, ? ? ?

其中,

?? ?k ? ? (N-k)? 0 ?

无限顾客源, k ? 0,?为 常 数 有限顾客源, k?0

?? ? ? k ? ? k? ?m? ?

m ?1 m ?1, m ?1,

k?m k?m

49

3.1 排队论基础

3.1.1 基本概念 3.1.2 有关的概率模型及最简单流 3.1.3 排队系统的主要性能指标

50

3.1.3 排队系统的主要性能指标
最优化问题一般涉及两种类型: 排队系统的最优设计(静态优化):例如,固话网中的中继电路

群数目的确定,分组交换网中的存储空间容量的配置,等等。
排队系统的最优控制(动态优化):例如,固话网中的中继电路 群数目的增加与否、无线信道中的信道分配策略等。 排队系统的性能指标描述了排队的概率规律性。通过计算 一些性能指标,研究排队系统的最优化问题。

51

3.1.3 排队系统的主要性能指标

排队系统的性能指标
? ? ? ?

排队长度 k 等待时间Wq和系统逗留时间Ws 系统效率? 空闲概率P0和拒绝概率Pn

52

3.1.3 排队系统的主要性能指标
1.排队长度 k
简称队长,是某观察时刻系统内滞留的顾客数,包括正在 被服务的顾客。k 是非负的离散型随机变量。 通常用来描述队长 k 的指标有两个: k的概率分布Pk:通常采用系统稳定状态下与时间无关的 Pk 。 k的统计平均值Ls和平均等待队长Lq 。 知道了队长分布,就可以确定队长超过某个数量的概率,

? ?

?

从而能为设计排队空间的大小提供依据。

53

3.1.3 排队系统的主要性能指标
? ? ?

平均队长Ls :k的统计平均值。

平均等待队长Lq :系统内排队等待的平均顾客数。 r :正在接受服务的平均顾客数(或平均占用窗口数)。有 下式成立: Ls ? Lq ? r (3.27)
其中, 或
Ls ?
Ls ?

? kP
k ?0
n k ?0

?

k

(非拒绝系统) (拒绝系统) (非拒绝系统)

(3.28) (3.29) (3.30) (3.31)
54

? kP
n

k

Lq ?

k ? m ?1

? (k-m) Pk

?



Lq ?

k ? m ?1

? (k-m) Pk (拒绝系统)

3.1.3 排队系统的主要性能指标
2.等待时间和系统逗留时间
等待时间 从顾客到达排队系统的时刻算起,到它开始接受服务的时刻 为止的这段时间。
?

平均等待时间Wq :等待时间的统计平均值。
从顾客到达系统时刻算起,到它接受服务完毕离开系统时刻 为止的这段时间。

系统逗留时间

?

平均系统逗留时间(或系统时间)Ws :系统逗留时间的统计

平均值。
55

服务时间?
系统的时间间隔。
?

3.1.3 排队系统的主要性能指标

是一个顾客被服务的时间,即顾客从开始被服务起到离开 平均服务时间 ? :? 的统计平均值。
? ?
1

?

(3.32) (3.33)
1

Ws ? Wq ? ?

? 一个有效到达率为?e的排队系统,在平均的意义上,有 ?e W s ? Ls Little公式 (3.35)

Ws ? Wq ?

(3.34)

?e Wq ? Lq

(3.36)

适用于任何排队系统。
56

3.1.3 排队系统的主要性能指标
3.系统效率?
设某时刻有r 个窗口被占用,若共有m 个窗口,则 r/m 就是 窗口占用率。它的统计平均值为平均窗口占用率,就是系 统效率,即
r ?? m

(3.37)

? 越大,服务资源的利用率就越高。

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3.1.3 排队系统的主要性能指标 4.空闲概率P0和拒绝概率Pn
?

P0:为系统内无顾客的情况,即系统空闲状态概率。通过
P0 可知系统的忙闲情况。 拒绝概率Pn(或Pc ):为系统内顾客已满、拒绝新到顾客 进入系统的状态概率,也称为阻塞概率(或损失概率)。

?

58

第3章 排队论及其应用

3.1 3.2 3.3 3.4

排队论基础 M/M/m(n)排队系统 通信业务量分析 随机接入系统业务量分析

59

3.2 M/M/m/(n)排队系统

3.2.1 M/M/1排队系统 3.2.2 M/M/m(n)排队系统

60

3.2.1 M/M/1排队系统
最简单的排队系统模型是M/M/1单窗口非拒绝系统。
该系统的顾客到达为泊松流,设到达率为? ; 服务时间为指数分布,设平均服务率为? 。

图3.5 M/M/1排队系统的状态转移图
61

3.2.1 M/M/1排队系统
1.求解 P0、Pk
?? k ? ? ? ? ?k ? ? k ?0 k ? 1

(3.38) (3.39)

? P0 ? 1 ? ? ? k P ? ( 1 ? ? ) ? ? k

? ?1
k ?1

图3.6 M/M/1排队系统的状态概率分布(ρ =0.5)
62

3.2.1 M/M/1排队系统
2.M/M/1排队系统的主要性能指标
(1)平均队长Ls和平均等待队长Lq

Ls ?

? ? ??

0 ? ? ?1

(3.40)

平均占用窗口数

r
(3.41)

r ? 1 ? P0 ? 1 ? (1 ? ? ) ? ?
? Lq ? Ls ? r ? Ls ? ? ? ? ??? ? ?2 ? ?(? ? ? ) ?

(3.42)
63

3.2.1 M/M/1排队系统

图3.7 M/M/1排队系统中平均队长Ls随ρ变化的关系
64

3.2.1 M/M/1排队系统
(2)顾客平均等待时间W q和系统时间W s
Wq ?

??
k ?0

?

k

Pk ?

??
k ?0

1

?

kPk ?

1

?

Ls ?

1

?

? 1? ?

(3.43)

1 1 Ws ? Wq ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ?

1

(3.44)

(3)系统效率?

??

?P
k ?1

?

k

? 1 ? P0 ? ?

(3.45)

65

3.2.1 M/M/1排队系统
例3.2 在某数据传输系统中,有一个数据交换节点。信息包 按泊松流到达此节点。已知平均每小时到达20个信息包, 此节点的处理时间服从指数分布,平均处理每个信息包需 要2.5分钟,试求该节点的有关性能指标。 解:根据题意可知,这是一个M/M/1系统,且已知

20 1 1 ?? ? 个/min ,? ? 个/min 。 60 3 2.5
故有

? 5 ?? ? ? 6

66

3.2.1 M/M/1排队系统
① Ls :系统内信息包逗留平均数为
Ls ? 1 3 1 1 ? 2.5 3

? ???

?

?5 (个)

② Lq :系统内信息包排队等待平均数为
2

1 ( )2 ? 3 Lq ? ? ? 4.166 (个) 1 1 1 ?(? ? ? ) ( ? ) 2.5 2.5 3

③ Ws :每一信息包在系统内平均逗留时间为

1 1 Ws ? ? ? 15 (min) 1 1 ? ?? ? 2.5 3

67

3.2.1 M/M/1排队系统
④ Wq :每一信息包在系统内平均排队等待时间为
1 ? 3 Wq ? ? ? 12.5(min) 1 1 1 ?(? ? ? ) ( ? ) 2 .5 2 .5 3



? (P0 ):

5 1 P0 ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 16.7% 6 6

? =1-P0=83.3%
?

结论:M/M/1系统的主要参数均取决于排队强度? 。作 为M/M/1系统的稳定参数,必须使? <1。 M/M/1系统存在的主要问题是服务质量和系统效率之间 的矛盾。
68

?

3.2 M/M/m(n)排队系统

3.2.1 M/M/1排队系统 3.2.2 M/M/m(n)排队系统

69

3.2.2 M/M/m(n)排队系统 解决M/M/1系统的服务质量与系统效率之间的矛 盾,必须压缩排队长度、减小等待时间。通常可 采用两种措施:
?

增加窗口数。可提高总服务率但意味着投资加大。 截止排队长度。通过降低系统质量,换取系统效 率和稳定性。

?

70

3.2.2 M/M/m(n)排队系统 1. M/M/m (n)排队系统的模型(混合排队方式)
? ? ?

顾客到达为泊松流,到达率为? 。 有m个窗口,每个窗口对一位顾客的服务时间为指数分布, 每个窗口的平均服务率为?。顾客采用混合排队方式。 采取拒绝方式,队列长度为n,即系统内最多可有n个顾客。

71

3.2.2 M/M/m(n)排队系统

图3.8 M/M/m(n) 排队系统的系统模型和状态转移图
72

3.2.2 M/M/m(n)排队系统 (1)求解 P0、Pk
?? ?k ? ? ?0
? k? ?k ? ? ?m?

0?k ?n k?n
0?k ?m m?k?n

(3.46) (3.47)

? (m? )k P0 ? k! ? m ?m ? ? k P0 Pk ? ? m! ? ? ? 0 ? ?

0?k ?m m?k?n k?n
73

(3.48)

3.2.2 M/M/m(n)排队系统
? ( m? ) m k P0 ? ? ? ? ? m! ? ? k ?m ? k ? 0 k! ? ? m ?1

?

k

?

n

m

?1

( m? ) ( m? ) ?? ? m! ? ? k ? 0 k!

? m ?1

?

k

m

1? ? 1? ?

n? m ?1 ?

?1

? ? ?

(5.48)

对于M/M/m(n)系统
? ? ? ?

当m =1时为单窗口延时拒绝系统; 当m =1,n?? 时变为M/M/1系统; 当m = n时为多窗口即时拒绝系统; 当n?? 时为多窗口非拒绝系统。

说明这些系统都是M/M/m(n)系统的特例。
74

3.2.2 M/M/m(n)排队系统 (2)M/M/m(n)排队系统的主要性能指标
① 平均队长Ls和平均等待队长Lq及正在被服务的平均顾客数 n m ?1 n (m ? ) k mm k L s ? ? k Pk ? ? k P0 ? ? k ? P0
k ?0 k ?0

r

k!

k ?m

m!

(m? ) k (m? ) m m ? (m ? 1) ? ? (n ? 1) ? n?m?1 ? n ? n?m? 2 ?{? ? }P0 (3.50) 2 k ?1 (k ? 1)! m! (1 ? ? )
m ?1

Lq ?

k ? m ?1

? (k ? m) Pk ? ? kPk ? m ? Pk
k ? m ?1 k ? m ?1

n

n

n

? L ? ( ? kPk ? m ? Pk ) ? L ? r s s k ?0 k ? m ?1

m

n

(3.51) (3.52)
75

?e ? r ? ? kPk ? m ? Pk ? m ? (1 ? Pn ) ? (1 ? Pn ) ? ? ? k ?0 k ? m ?1
m n

3.2.2 M/M/m(n)排队系统
② 顾客平均等待时间Wq和系统时间Ws
n ?1 k ? m ? 1 m m k ?m?1 k Wq ? ? ? P ? ? ? ? ? P ? k 0 m? m? m! k ?m k ?m n ?1

mm 1 2 n ? m n ?1 ? [ ?m ? ? m ?1 ? ? ? ? ? ? ] ? P0 m ! m? m? m? m m ?1 ? m!
?

(3.54)

P0

?

?

?

m

?

1 ? ( n ? m ? 1) ? ? n? m ? ( n ? m ) ? ? n? m ?1 (1 ? ? ) 2

Ws ? Wq ?

1

③ 系统效率? ?e r 1 ? ? ? ? m? (1 ? Pn ) ? ? (1 ? Pn ) ? (1 ? Pn ) ? m m m? m?

?

(3.55)
76

3.2.2 M/M/m(n)排队系统
2.M/M/m (m)排队系统
当系统中的顾客数等于窗口数时,新到的顾客就遭到拒绝, 这种系统就是M/M/m (m)即时拒绝系统。电话通信网一般采 用即时拒绝系统方式。 (1)求 P0、Pk
? ( m? ) k ak P0 ? P0 ? Pk ? k! k! ? ?1 ?1 ? m m k k ? ? ( m? ) ? a ? ?P ? ? ? ?? ? 0 ? ? ? ? k ? 0 k! ? ? ? k ? 0 k! ? ? ? 0?k ?m

?

?

(3.56)

a ? ? / ? :是电话通信网中的流入话务量强度。
77

3.2.2 M/M/m(n)排队系统
(2)M/M/m (m)排队系统的主要性能指标 ① Ls 和 Lq
( m? ) k k ? k m ( m? ) k! 0 Ls ? ? k P0 ? k ?m k k ! ( m ? ) k ?0 ? k! k ?0
m

? m? (1 ? Pm ) ? a (1 ? Pm )

(3.57)

即 及

Ls ? r
Lq ? 0
78

3.2.2 M/M/m(n)排队系统
② Ws 和 Wq 由Little 公式: 及 得:
Ws ? Ls

?e

?e ? ? (1 ? Pm )
a (1 ? Pm ) a 1 Ws ? ? ? ? ?? ? e ? (1 ? Pm ) ? ? Ls
Wq ? 0

79

3.2.2 M/M/m(n)排队系统
③ 顾客被拒绝的概率 a m /m! Pn ? Pm ? m k ? a /k!
k ?0

(3.58)

Erlang B呼损公式

a ? ? / ? :流入话务量强度
m:交换机出线容量 Pm:也称为呼损(率),一般用Pc表示它。 ④ 系统效率
m m

Ls a(1 ? Pm ) k 1 ?? Pk ? k Pk ? ? m m k ?0 m m k ?0

?

?

(3.59)

80

3.2.2 M/M/m(n)排队系统

图3.9 Erlang B呼损曲线

81

3.2.2 M/M/m(n)排队系统
例3.3 有一条电话线,平均每分钟有0.8次呼叫,即? =0.8次 /min,如果每次通话时间平均需要1.5分钟,则? =1/1.5=0.667次/min。求该条电话线每小时能接通多少次电 话,又有多少次因呼叫不通而挂断? 解:由题意可知,这是一个M/M/1(1)损失制系统,其? =0.8 次/min,? =0.667次/min。所以

0.667 P0 ? ? ? 0.455 ? 45.5% ? ? ? 0.667? 0.8

?

82

3.2.2 M/M/m(n)排队系统
说明系统处于无顾客状态的概率为45.5%,即,可以接通电 话的概率为45.5%。因每分钟平均呼叫0.8次,故每分钟可以 接通的次数为 0.8?0.455=0.364(次) 每小时能接通的次数为 60?0.364=22(次) 又电话线损失概率为

P损 ? P1 ? 1 ? P0 ? 1 ? 0.455 ? 0.545 ? 54.5%
故每分钟不能接通的次数为 0.8?0.545=0.436(次) 每小时不能接通的次数为 60?0.436=26(次)
83

第3章 排队论及其应用

3.1 3.2 3.3 3.4

排队论基础 M/M/m(n)排队系统 通信业务量分析 随机接入系统业务量分析

84

3.3 通信业务量分析

3.3.1 通信业务量基本理论 3.3.2 单业务分析 3.3.3 多业务分析

85

3.3.1 通信业务量基本理论

设计和建设一个通信网(及所配置的设 备)是以全网业务量为主要依据的。

86

3.3.1 通信业务量基本理论
?

呼叫
进入通信网送到通信设备和线路上进行传输的语音、数据 等输入信息,统称为通信呼叫,简称呼叫。

?

通信业务量(流量)
在网中传送的信息量,称为通信业务量,也称为流量。

与排队论中的对应关系
? ? ? ?

呼叫?顾客 呼叫长度(呼叫持续时间)?服务时间。网中的呼叫源即 是网内的所有用户。 信道数C 或线路容量?窗口数m 不同类型的呼叫事件?不同的典型的排队模型

87

3.3.1 通信业务量基本理论
1.呼叫的发生过程
? ? ?

纯随机呼叫的情况 准随机呼叫的情况 呼叫合成发生的情况

(1)纯随机呼叫的情况
满足以下条件的呼叫,称为纯随机呼叫: ? 呼叫源无限多,即能够发生呼叫的用户数很大; ? 处于占线状态(占用信道)的呼叫源数目相对少可不考虑; ? 用户(呼叫)之间相互独立; ? 呼叫的发生和交换网(或信道)的阻塞状态可分别考虑。 若同时满足最简单流条件,则可表示为M/M/m(n)排队系统

模型。
88

3.3.1 通信业务量基本理论 (2)准随机呼叫的情况
满足以下条件的呼叫,称为准随机呼叫: ? 呼叫源有限; ? 用户之间仍相互独立。 若同时满足最简单流条件,则可表示为M/M/m(n,N )排队系 统模型。
?

实际通信网中的顾客(用户)数总是有限的,所以不存在 严格的纯随机呼叫,而多属于准随机呼叫。 当N 很大时(N >>k),或用户数非常多时,准随机呼叫可近 似当做纯随机呼叫处理。N越大,这种近似越合理。

?

89

3.3.1 通信业务量基本理论

(3)呼叫合成发生的情况
设有两个相互独立的呼叫源,各自按呼叫发生率 ?1、?2呈 泊松分布,其呼叫发生概率分别为
k ( ? t ) Pk1 ( t ) ? 1 e ? ?1 t k!
k ( ? t ) 2 Pk2 ( t ) ? e ? ?2 t k!

则合成呼叫发生数为 k 的概率为

[(?1 ? ?2 )t ]k ?(?1 ? ?2 )t Pk (t ) ? e k!

(3.60)

90

3.3.1 通信业务量基本理论
结论: 两个分别按?1、?2 的泊松分布的合成等于呼叫发生率为 ( ?1+?2 )的泊松分布。 推广: 若有个各自任意速率为?1,?2,· · · ?m的独立泊松流,则复 合流本身也为泊松过程,其速率参数为

? ? ? ?i
i ?1

m

(3.61)

这个特性极为有用,在通信网中有许多信息源结合在一起, 每个信源以一种泊松速率产生呼叫或分组,这时,就是一种 泊松过程合成现象。
91

2.业务量和呼叫量 (1)流量的特性:通信网中的流量受到各种因素的影响,信 息流量处在经常的变化之中,以话务量变化为例说明。

3.3.1 通信业务量基本理论

特点: ? 波动性:一天中的数据流量随时间不断地变化。 ? 波动的随机性:不同天观测的结果都不同。 ? 波动的周期性:每一天观测的结果都遵从某种相同的规律。
30 25

20

流量 (Gb)

15 5月 24日 5月 25日 5月 26日 5月 27日 5月 28日 5月 29日 5月 30日 5月 31日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

10

5

0 0

时间 (h)

图3.10 某市上网流量曲线

92

3.3.1 通信业务量基本理论

?

流量的波动性和波动的随机性与周期性是研 究通信网内业务流量各种问题的出发点。 各种不同的业务,都有各自的流量特性。

?

93

3.3.1 通信业务量基本理论 (2)业务量和呼叫量的定义 ① 业务量
是在指定观察时间内各个线路(或信道)可能被占用的时间 之和,即占用的总时间。这些时间可以是重叠的或不重叠的。 若某线路有m条信道,第i条信道被占用Qi秒,则m条信道或该 线路上的业务量Q为

?

Q ? ? Qi
i ?1

m

(3.62)

业务量的量纲是时间。若一个信道代表一个电话话路, 则业务量或话务量的单位是秒〃话路。
94

3.3.1 通信业务量基本理论
业务量具有两方面的含义: ? 反映了信息源所发生的用户需求业务量,这时,Q可能大于 mT ; ? 反映了通过m条信道的实际的通信业务量,此时,Q一定不大 于mT。

② 呼叫量
业务量的强度通常称为呼叫量。它可定义为线路(或信道) 可能占用的时间与观察时间之比,即呼叫量为
业务量 Q a? ? (erl) 观察时间 T

(3.63)

a 是没有量纲的,通常使用“小时呼”或“爱尔兰(erl)”
表示它的单位。通常取T为一小时。
95

3.3.1 通信业务量基本理论
?

一个erl表示一小时一个完全被占用的信道的呼叫量(即单位 小时或单位分钟的呼叫时长)。 根据定义,呼叫量也可表示为

?

a ? ??
呼叫量的含义:
? ?

(3.64)

反映了信息源产生的用户需求呼叫量,它可以大于m; 反映了实际通过m条信道的呼叫量,它一定不大于m。 当用户需求呼叫量大于m时,多余的呼叫将被拒绝。

作为通信网设计的原始数据,一般采用用户需求呼叫量。在 测定呼叫量时,应认为信道数m足够大。
96

3.3.1 通信业务量基本理论
用户需求呼叫量分为两种:
? ?

日呼叫量:一天中最忙的一小时内的呼叫量称为日呼叫量, 也就是一天中最大的小时呼叫量。 年呼叫量:一年内取三十天,取这些天的呼叫量的平均值 称为年呼叫量,亦称基准呼叫量。

网设计依据的话务量:
? ?

日呼叫量:用于小网 年呼叫量:用于大网

97

3.3.1 通信业务量基本理论
(3)话务量的定义与计算
?

话务量:电话网中的业务量称为话务量。 用来反映电话用户的通话频繁程度和通话时间的长短。用 下式表示:

Y ? ?ST
? ? ?

(3.65)

?:单位时间内的呼叫次数,即呼叫强度(次/h);对应 排队论中的系统到达率?。
S:一次呼叫的平均占用时长(h/次);对应平均服务时 间? 。 T:计算话务量的时间范围(h)。

98

3.3.1 通信业务量基本理论
话务量含义:
? ?

反映了占用设备的程度; 同时也反映了用户对电话网设备的需求。

话务量强度:
单位时间内的话务量(即电话网中的呼叫量),即

a ? ?S

(3.66)

单位:“小时呼”或“erl”。 通常所说的话务量一般指话务量强度。 忙时话务量:指系统在24小时中最繁忙的一个小时内的平 均话务量,工程设计中使用。
99

3.3.1 通信业务量基本理论 话务量强度分为:
? ?

流入话务量强度:反映了用户对通话设备的需求程度。 完成话务量强度:反映了用户占用通话设备的程度。

?

流入话务量强度
等于在平均占用时长内话源发生的平均呼叫次数。又称作 话源话务量强度。

a ? ?S
此处,话源发生的平均呼叫次数就是系统到达率。

100

3.3.1 通信业务量基本理论
例3.4 设有呼叫强度? =1800次/h,平均占用时长
1 S? h / 次 ,求话源话务量强度。 30

解:根据式(3.66),有

a ? ?S 1 ? 1800次 / h ? h / 次 30 ? 60 (erl)

101

3.3.1 通信业务量基本理论
?

完成话务量强度
一组设备的完成话务量强度等于该组设备在平均占用时长 内发生的平均占用次数。 这里平均占用次数就是系统的有效到达率,计算公式为

a ? ?e S

(3.67)

102

3.3.1 通信业务量基本理论 例3.5 假设在60条线的中继线群上,平均占用次数
为1200次/h,平均占用时长为 1 h / 次 ,求该中 继线群的完成话务量强度。
30

1 解:已知:? ? 1200 次/h,S ? h/次 30

由式(3.67)得

a ? ?e S 1 ? 1200 次/h ? h / 次 30 ? 40 (erl)
103

3.3.1 通信业务量基本理论
如果某条中继线在最繁忙的一小时中被占用 30次, 平均每次占用时间为2分钟,则可得话务量强度 为
2 a ? 30 ? ? 1 erl 60

这说明该中继线在这一小时内一直被占用着。

104

3.3.1 通信业务量基本理论 呼叫量 (4)通过量 ac 和信道利用率? 呼损
通过量:在单位时间内通过网络的呼叫量,即

ac ? a(1 ? Pc ) (erl)

(3.68) (3.69)


ac
? ac

? ? ? (1 ? Pc ) (次/s) ac
?

完成话务量,或平均占用窗口数

e

信道数C 或线路容量相当于窗口数 m,则信道利用率为
ac a(1 ? Pc ) ?? ? C m

(3.70)

对于纯随机呼叫, Pn ? Pc
105

3.3.1 通信业务量基本理论
(5)时延
时延:指消息进入网内后直到被利用完毕所需的时间,包 括
? 等待时间

? ?

服务时间 ? 处理时间 ? 传输时延 传输时延一般是较小的; 处理时间与消息内容有关,一般可从技术上缩短,所占的份 额不一定太大,而且往往是恒定的。
?

?

时延的主要部分是系统时间,即等待时间和服务时间。
106

3.3.1 通信业务量基本理论 3. 服务等级及服务系统
业务量理论: 利用Erlang B公式或Erlang C公式,即业务量、中继线(或 信道)数量和阻塞概率(或呼叫等待概率)之间的关系式, 在一定的服务等级上,在已知业务量预测值的条件下,确定 中继电路数、长途电路数,或求移动网中核心网的电路数、 无线网的信道配臵等。 目的: 设计在一定的服务等级上,能够处理一定呼叫容量的服务 系统,使固定数量的中继线路或信道可为一个数量更大的、 随机的用户群体服务。

107

3.3.1 通信业务量基本理论
(1)服务等级(GoS)
服务等级(GoS:Grade of Service): 表示拥塞的量。定义为
?
?

呼叫阻塞概率(也称呼叫阻塞率); 或呼叫延迟时间大于某一特定排队时间的概率。

在实际的通信网中,多为截止型的排队系统。当系统处于拒 绝状态时,系统是阻塞的,将出现呼损。

108

3.3.1 通信业务量基本理论
阻塞率:
是指拒绝状态占全部状态的百分比。 阻塞率可有两种定义:时间阻塞率和呼叫阻塞率。
?

时间阻塞率
PB ? 阻塞时间 总观察时间

(3.72)

PB 就是本章5.1节中介绍的截止队长为n时的拒绝概率 Pn 。
?

呼叫阻塞率
Pc ? 被拒绝的呼叫次数 总呼叫次数

(3.73)

Pc :通常称为呼损,即为 Erlang B 呼损公式。
109

3.3.1 通信业务量基本理论
一般来说,由于阻塞期间内可能没有顾客到达,则

Pc ? Pn
在纯随机呼叫情况下,相当于顾客以泊松流到达,则

Pc ? Pn
(2)服务系统

按处理阻塞呼叫(未接续的呼叫)的方式不同,通信

网中通常用到两种服务系统: ? 阻塞呼叫清除系统 ? 阻塞呼叫延迟系统
110

3.3.1 通信业务量基本理论
?

阻塞呼叫清除系统
该系统不对阻塞呼叫请求进行排队,即放弃阻塞呼 叫的接续。这种系统又叫做阻塞系统或损失制系统、 立接制系统。

? ?

系统模型:M/M/m(m)或M/M/m(m,N) 基本的阻塞呼叫清除系统 : M/M/m(m)

111

3.3.1 通信业务量基本理论
前提条件为:
?
?

?

?

用户数量为无限大,呼叫服从泊松分布。 呼叫请求的到达无记忆性,意味着所有的用户, 包括阻塞的用户,都可以在任何时刻要求分配一 个信道。 用户占用信道时间服从指数分布,那么根据指数 分布,长时间的通话发生的可能性就很小。 可用的信道数目有限。此处用C表示信道数。通常, 5个或以上的信道数才可认为是有足够大量的信道。

112

3.3.1 通信业务量基本理论 该类系统的GoS:Pc
aC Pc ? CC ! ak k! k ?0

?

?

Erlang B公式提供了一个保守的GoS估算,当用户为有 限时,阻塞呼叫清除系统的模型为M/M/m(m,N),此时通 常会产生更小的阻塞概率。

113

3.3.1 通信业务量基本理论
? ? ?

阻塞呼叫延迟系统 其前提条件同上。 不同的只是该服务系统用一个队列缓冲器来保存 阻塞呼叫,以等待接续。

?

如果不能立即获得一个信道,呼叫请求就延迟一 定时间,直到有空闲信道为止或被拒绝接续。也
称为等待制系统、缓接制系统。 系统模型:M/M/m(n)、M/M/m 基本的阻塞呼叫延迟系统: M/M/m(n)
114

? ?

3.3.1 通信业务量基本理论
系统的GoS:定义为呼叫在队列中需等待 t 秒以上的概率。
PW [延迟 ? t ] ? PW [延迟 ? 0] PW [延迟 ? t 延迟 ? 0] ? PW [延迟 ? 0] exp(?(C ? a )t / ? )

(3.77)

? :为呼叫的平均持续时间
C :信道数 到达系统的呼叫没有立即获得信道的概率(呼叫等待概率):
PW [延 迟 ? 0] ? aC a ak C a ? C ! (1 ? ) C k ? 0 k!
C ?1

?

(3.76) Erlang C公式
115

3.3.1 通信业务量基本理论
在实际中的应用:
?
? ?

固定电话网通常采用阻塞呼叫清除(M/M/m(m))系统,
蜂窝移动系统两种方式都采用,

而数据网、计算机网等采用阻塞呼叫延迟(M/M/m(n)) 系统。

通信业务量分析主要包括两方面性能指标的研究:
? ?

GoS指标:呼损或呼叫等待t秒以上的概率; 排队队长概率和等待时间。

116

3.3 通信业务量分析

3.3.1 通信业务量基本理论 3.3.2 单业务分析 3.3.3 多业务分析

117

3.3.2 单业务分析
1.阻塞呼叫清除系统的业务分析 (1)足够多用户的情况
这是一种纯随机呼叫发生的情况。 系统的排队模型:M/M/m(m),是基本的阻塞呼叫清除系统。

该系统的GoS:

Pc ?

a m / m!

?
k ?0

m

a k / k!

118

3.3.2 单业务分析
入线 出线 m 条 输 出 线 或 中 继 线

?0
足 够 多 用 户 线

?0

完全线群 交换网

?0

图3.11 固话网中的基本的阻塞呼叫清除系统M/M/m(m)模型
119

3.3.2 单业务分析
入线 出线 m 条 输 出 线 或 中 继 线

?0
足 够 多 用 户 线

?0

完全线群 交换网

?0

线群-线束:为一定组(或群)的话源所提供的连接通路(信道、出 线)的总体。 完全线群-全利用度线束:线束中的任何一条出线都能被由这线束来 服务的话源中的任何一个所用到。 不完全线群-部分利用度线束:话源中的每一个入线不能用到线束中 的全部出线,而只能用到其中一部分。 线束利用度:每一个话源所能用到线束中的最大出线数。
120

3.3.2 单业务分析 (2)有限用户的情况
这是准随机呼叫发生的情况。 系统模型:M/M/m(m,N )
用户线 出线 m 条 输 出 线 或 中 继 线

?0 ?0
N 交换网 完全线群

?0

图3.12 固话网中的阻塞呼叫清除系统M/M/m(m,N ) 模型
121

3.3.2 单业务分析

图3.13 电话交换即时拒绝系统M/M/m(m, N )的状态转移图

?( N ? k )? 0 ?k ?? ?0

0 ? k ? m ?1 k?m

(3.78)

? k? ?k ? ? ?0

0?k ?m k?m

(3.79)
122

3.3.2 单业务分析
? ? N ?? ? 0 ? ? P0 ? ? ? ?? ? k ? k ?0 ? ? ? ??

?

m

? ? ? ? ? ? ?

k?

?1

(3.80)

? N ?? ?0 ? Pk ? ? ? ? ? ? P0 ?k ? ?? ? ?? ?
? N ?? ? 0 ? ? ? ? ? ? ?m ? ?? ? ? Pn ? Pm ? ? ? m ? N ?? ? 0 ? ? ? ?k ? ?? ?? k ?0 ?
m

k

(3.81)

?

? ? ? ?

k

(3.82)

123

3.3.2 单业务分析
Pc ? ? N ? 1 ?? ? 0 ? ? ? m ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?
m

(3.83)
? ? ? ?
k

?

? N ? 1 ?? ? 0 ? ? ? ? k ? ?? ? ? ? k ?0
m ?1

m

k N ?0 ?? Pk ? m m ? k ?0

?

m

?

? N ? 1 ?? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? k ? ?? ?? ? k ?0 ?

k

?

当N →∞时,得
? N ? 1 ?? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? m ? ?? ? ?? ?
m

? N ?? ? 0 ? ? ? ?k ? ?? ? ? ? k ?0

m

? ? ? ?

k

(3.84)

Pc ? lim

N ?? m

?

? N ? 1 ?? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? k ? ?? ? ? ? ? k ?0

k

?

a m / m!

?
k ?0

m

a k / k!

? ? ? N? ? ? lim ? 0 N ? ? m? ? ? ?

m ?1

?

k ? N ? 1 ?? ?0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? k ? ?? ?? ? ? a(1 ? Pm ) k ?0 ? ? k ? m m ? N ?? ?0 ? ? ? ? ? ? ? ? ?k ? ?? ? ? ? ? ? k ?0

?

124

3.3.2 单业务分析 结论:
当N →∞时,准随机呼叫变为纯随机呼叫,所得结果与 M/M/m(m)排队系统的结果相同。

在实际交换系统中,当N >> m时,即可将用户的呼叫看做 是纯随机呼叫过程。
?

Erlang B公式为阻塞呼叫清除(M/M/m(m))系统提供了 一个保守的GoS估算,对于有限用户的M/M/m(m, N )系统, 通常会产生更小的阻塞概率。 在实际网络设计时,一般是预先给定呼损指标,然后根据 流量的预测值即流入话务量强度a求出应设臵的出线数C, Erlang B公式曲线见图3.9。为了工程上使用方便准确,人 们已将其制成表以供查找(如表3.1)。
125

?

2.3.2 单业务分析

图3.9 Erlang B呼损曲线
126

3.3.2 单业务分析
表3.1 Erlang B呼损表
a
m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.005 0.105 0.349 0.701 1.132 1.622 2.157 2.730 3.333 0.010 0.153 0.455 0.869 1.361 1.909 2.501 3.128 3.783 0.053 0.381 0.899 1.525 2.218 2.960 3.738 4.543 5.370 0.111 0.595 1.271 2.045 2.881 3.758 4.666 5.597 6.546 0.250 1.000 1.930 2.945 4.010 5.109 6.230 7.369 8.522 0.429 1.499 2.633 3.891 5.189 6.514 7.857 9.213 10.579 Pc 0.005 0.01 0.05 0.1 0.2 0.3

10

3.961

4.461

6.216

7.511

9.685

11.953
127

3.3.2 单业务分析

例3.6 某电话总机系统有5条中继线。设电话呼 叫按泊松流发生,平均每分钟呼叫1.5次,且通 话时间服从指数分布,平均每次通话时间为2.5 分钟,试求: (1) 系统空闲的概率。 (2) 一条线路被占用的概率。 (3) 呼叫损失的概率。

128

3.3.2 单业务分析
解:根据题意可知,此系一M/M/5(5)损失制系统, 1 1.5 ? 3.75 ? ? 1.5次/min,? ? ? 0.4次/min, ? ? 0.4 2.5
(1) 系统空闲的概率为
? 1 ??? ? ? ? ? P0 ? ? ? ? k ? 0 k! ? ? ? ? ? ?

?

5

k?

?1

? 3.75 3.752 3.753 3.754 3.755 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! ? ? ? ?

?1

? [1 ? 3.75 ? 7.03 ? 8.79 ? 8.24 ? 6.18]?1 ? [34.99]?1 ? 0.029 ? 2.9%

(2) 系统有一条线路被占用的概率为

1? P1 ? ? 1!

??P ? ???

0

? 1? 3.75? 0.029 ? 0.109 ? 10.9%
129

3.3.2 单业务分析
(3) 呼叫损失的概率为
5

1??? 1 5 ? P损 ? P5 ? ? P ? 3 . 75 ? 0.029 ? 0.179 ? 17.9% 0 ? ? 5! ? ? ? 5!
例3.7 在一区域内有一无线蜂窝系统,系统中有400个蜂窝 小区,每个小区有25个信道,呼叫阻塞概率为2%,每个用 户每小时平均拨打1个电话,每个电话平均通话时间为1.5分 钟。求该系统所能支持的用户数。 解:已知每个小区内的信道数C=25个,

1 ? ? 1 / h ? 个/min, 1 / ? ? 1.5min ,Pc ? 2% ? 0.02 。 60
130

3.3.2 单业务分析
则每个用户的话务量强度:

1 a0 ? ? / ? ? ? 1.5 ? 0.025 (erl) 60
可利用呼损公式计算或查Erlang B呼损表,可得该系统的一个 小区所承载的总话务量强度为
a ? 17.51(erl)

因此,该系统的一个小区所能支持的用户数为

N0 ? a / a0 ? 17.51/ 0.025 ? 700 (个)
该系统所能支持的用户数:

N ? 700? 400 ? 280000 (个)
131

3.3.2 单业务分析
例3.8 当电路数m=8、服务质量等级 Pc=0.01时,利用查表法 求该系统最大能承担的话务量,表5.1 为Erlang B表。 解:查表3.1,当m=8、Pc=0.01时,可查得该系统最大能承 担的话务量

a ? 3.128(erl)

132

3.3.2 单业务分析 2.阻塞呼叫延迟系统的业务分析
该类系统主要应用于以数据终端为呼叫源的非实时性的数据 通信中。GSM网中的切换呼叫处理,亦可采用阻塞呼叫延迟 (M/M/m(n))方式。

图3.14 基本的阻塞呼叫延迟系统M/M/m(n)模型
133

3.3.2 单业务分析
由式(3.49),有
P0 ? [ a n ?m?1 ) m ] ?1 a 1? m

?
k ?0

m ?1

a m a a a ? ( ) k ] ?1 ? [ ? k! k ?m m! m k! m! k ?0

k

?

n

m

?

m ?1

k

m

1? (

由式(3.48),任意时刻k个用户同时接续的概率为
?ak P0 ? ? k! ? mm a k Pk ? ? ( ) P0 ? m! m ? ? ?0 0?k ?m m?k?n k?n
134

3.3.2 单业务分析 设计时,通常使所加的呼叫量a 小于可能传送的最 大呼叫量m,即a < m。对数字通信来说,信道数m 就代表了传送量。因为实际上,信道数等于所传信 息量与传输速率之比。 例如:总信息量为400kb/s,而传输速率为40kb/s, 则信道数为400/40=10。

135

3.3.2 单业务分析
(1)Erlang C公式——呼叫等待概率PW[延迟>0]
Erlang C公式定义为到达呼叫需等待的概率,用PW[延迟>0] 表示。当队列中呼叫数k为m≤k≤n-1时,再到达的呼叫就需存 在缓冲器中等待延迟一段时间。由定义可知:
mm a k PW [延 迟 ? 0] ? P [m个 信 道 忙 ]? Pk ? ( ) P0 m! m k ?m k ?m

?

n ?1

?

n ?1

mm a k am ? P0 ( ) ? m! m m! k ?m

?

n ?1

1? (

a n? m ) m P0 a 1? m

(3.85)

136

3.3.2 单业务分析
(1)Erlang C公式——呼叫等待概率 PW [延 迟 ? 0]
当 k = n 时,即缓冲器存满后,再到达的呼叫就被拒绝。 此时,拒绝概率Pn为

mm a n Pn ? ( ) P0 m! m

(3.86)

若缓冲器容量无限大,即n→∞,且 a ? m ,则有
a k a m m ?1 P0 ? [ ? ] k! m! m ? a k ?0
m ?1

?

(3.87)

137

3.3.2 单业务分析
?ak P0 ? ? k! Pk ? ? m m a k ? ( ) P0 ? ? m! m 0?k ?m

(3.88)
k?m

Pn ? 0
此时,有

PW [延 迟 ? 0] ?

am
k a a a m ? m! (1 ? ) m k ? 0 k! m ?1

?

(3.90)

Erlang C公式
138

图3.15

Erlang C呼叫等待概率曲线
139

3.3.2 单业务分析
等待概率PW [延 迟 ? 0] 与所有呼叫的平均等待时间 Wq 的关系:(用 PW 表示 PW [延 迟 ? 0] )
k ? m ?1 1 mm a k Wq ? Pk ? (k ? m ? 1) ( ) P0 m? m? m! m k ?m k ?m

?

n ?1

?

n ?1

1 m (n ? m ) a n? m Wq ? [ ? n? m ] PW n ? m m ? m?a m ?a

(3.91)

当n →∞ 时,则有
1 Wq ? PW ?(m ? a )
(3.92)
140

3.3.2 单业务分析
则排队呼叫的平均延迟 D为
1 D? ? (m ? a )

(3.93)

此时,拒绝概率 Pn ? 0 当被传送的最大呼叫量 m 几乎等于所加的呼叫量a时, 有
a (1 ? Pc ) a (1 ? Pn ) ?? ? ?1 m m

由上面分析可见,
am m 在? ? 1处,Wq ? ?,PW ? P0收敛为1。 m! m ? a
141

3.3.2 单业务分析
? ? 1 / ? :为一个呼叫的平均持续时间(一个呼叫的服务时间)。
D? 1 ? ? ? (m ? a) m ? a

:为排队呼叫的平均延迟(不包括不排队的那部分呼叫)

Wq ?

1 PW :呼叫的平均等待时间(对所有呼叫的平均)。显然,Wq< D。 ?(m ? a )

(2)等待延迟时间大于t 秒的条件概率 PW [延迟 ? t 延迟 ? 0] 若排队呼叫的平均延迟为D,则排队呼叫的平均离去率为1/ D。 等待延迟时间大于t 秒,意味着在 t 秒内没有排队呼叫被接续。 故有 (t / D)k PW [延 迟 ? t 延 迟 ? 0] ? exp( ? t / D ) k ? 0 ? exp( ? t / D ) k! (3.94) ? exp( ? ? ( m ? a ) t ) ? exp( ?( m ? a ) t / ? )
142

3.3.2 单业务分析
(3)该系统的GoS:呼叫需等待t秒以上的概率 PW [延 迟 ? t ] 如果呼叫到达时没有空闲信道,则该呼叫被延迟,需等待t 秒 以上的概率,就等于呼叫等待概率和等待延迟时间大于t 秒的 条件概率的乘积。 故该服务系统的GoS为:

PW [延迟 ? t ] ? PW [延迟 ? 0] PW [延迟 ? t 延迟 ? 0]

(3.95)

将 PW [延迟 ? t 延迟 ? 0] 带入:
PW [延迟 ? t ] ? PW [延迟 ? 0] PW [延迟 ? t 延迟 ? 0] ? PW [延迟 ? 0] exp(?(m ? a )t / ? )
143

(3.96)

3.3.2 单业务分析
例3.9 在一个无线蜂窝系统内,有60个小区,每个小区有20 个信道,每个用户的话务量强度为0.05erl,平均每小时呼叫 两次。该系统为呼叫等待概率为5%的Erlang C系统。求: (1)该系统可支持多少用户数? (2)一个被延迟的呼叫等待10秒以上的概率? (3)一个呼叫被延迟10秒以上的概率?
解:已知C = 20个,呼叫等待概率 PW ? 5% ? 0.05 , 每个用户的话务量强度为 a 0 ? 0.05 erl 。 (1)利用Erlang C公式可得:一个小区内的承载话务量强 度=13(erl) 所以,一个小区内可支持的用户数为:N 0 ? 13 / 0.05 ? 260 (个) 则该系统可支持的总的用户数为:N ? 260? 60 ? 15600 (个)
144

3.3.2 单业务分析
(2)已知:? =2次/h,每个用户的话务量强度为 a0 ? 0.05 erl 所以,呼叫的平均持续时间

? ? a0 / ? ? 0.05 / 2 ? 0.025 (h) ? 90 (s)
一个被延迟的呼叫等待10秒以上的概率为
PW [延迟 ? 10 延迟 ? 0] ? exp(?(C ? a) t / ? ) ? exp(?(20 ? 13)10/ 90) ? 46%

(3) PW ? 5% ? 0.05 一个呼叫被延迟10秒以上的概率为
PW [延迟 ? 10] ? PW [延迟 ? 0] PW [延迟 ? 10 延迟 ? 0] ? 0.05? 46% ? 2.3%

145

3.3.2 单业务分析
3.蜂窝移动网中的呼叫处理排队方案
在GSM网络呼叫切换处理中常用的三个典型的越区切换方案: 无优先级方案 ? 切换呼叫排队方案 ? 信道预留方案 (1)无优先级方案 ? 小区中所有的C个信道均被新呼叫和越区切换呼叫所共享。 ? 基站处理以上两种呼叫的方法完全相同。
?
?

任意一种呼叫,如在其到达的时刻基站内没有空闲信道,那 么到达的呼叫都将被系统阻塞。 系统模型:处理新呼叫和切换呼叫的排队模型为M/M/C(C)。
146

3.3.2 单业务分析
(2)切换呼叫排队方案
?

小区中所有的C个信道同样被新呼叫和越区切换呼叫所共 享。 当上述两种呼叫同时到达,并且小区中的信道全被占用时, 将对切换呼叫进行排队,并阻塞新呼叫。 如果在最大排队时间内无空闲信道可用就将阻塞切换呼叫。 系统模型:
? ?

?

?

处理新呼叫的排队模型为M/M/C(C); 处理切换呼叫的排队模型为M/M/C(n)。

147

3.3.2 单业务分析 (3)信道预留方案
?

系统专门为越区切换呼叫预留了部分信道。预留信道数为 C-Sc。

?
?

剩余信道Sc则由新呼叫和越区切换呼叫所共享。
当新呼叫到达小区时,如果基站中剩余的空闲信道数小于 或等于预留信道数,就阻塞该呼叫请求。

?

当切换呼叫请求到达小区时,如果基站中没有空闲信道, 就将其阻塞。
系统模型:
? ?

处理新呼叫的排队模型为M/M/Sc(Sc) 处理切换呼叫的排队模型为M/M/C(C)
148

3.3.2 单业务分析
结论: ? 预留信道方式是降低切换失败概率的一种有效方 法,但它影响了信道利用率。 ? 切换失败概率的降低都是以新呼叫阻塞概率的升 高为代价的。 4.提高网效率的一些措施 提高信道利用率和降低呼损,可采取四个措施: ? 大群化效应 ? 延迟效应 ? 综合效应 ? 迂回效应
149

3.3.2 单业务分析
(1) 大群化效应
在保证一定通信质量指标的前提下,变分散利用信道为 集中利用信道,可增加信道的利用率,传送更多的业务量, 从而提高网络效率,这种规律就是大群化效应。即采用集中 业务量进行大容量的信道传输,系统效率可得到很大提高, 而且节省了网络资源。 特点: ? 业务量越大,这种效应就越明显。 ? 信道越集中,故障的影响面也越大,将使网络的可靠性下 降。 ? 过高的效率,当业务量变化时,会使信道对负荷的适应能 力下降。 组建通信网应在兼顾业务量、呼损、时延、可靠性和发 展性等因素的情况下,尽量利用大群化效应。
150

3.3.2 单业务分析
(2) 延迟效应 采用延迟拒绝系统,由于延时的存在,可提高 系统效率和降低呼损。 应用:
?
?

通信网内的非实时性业务如数据、电邮等。
对于实时性业务如电话,也可采取呼叫信令的排 队等待方式。这样就可以取得降低呼损的效果 。

151

3.3.2 单业务分析
(3)综合效应 一般指将不同性质的业务综合起来在同一网 内或同一条线路上传输,例如把宽带与窄带、或 实时的与非实时的业务等综合起来一起传输,以 实现大容量信道的大群化效应。

综合可以在传输处实现,如目前的分组承载 网传送多业务,也可以在信源处综合。
综合包括业务和技术两方面。

152

3.3.2 单业务分析 (4)迂回效应
迂回路由的使用: ? 在首选路由发生故障时被采用; ? 用来转接首选路由中的溢出业务。 溢出业务: 由于业务流的随机性或其他因素,在某些时间内所要求的业 务量可能超出首选路由的信道数,超出部分就是溢出业务。 迂回效应:采用迂回路由方式,来传送超负荷随机业务流的 溢出部分,可提高网络的接通率,降低呼损,减小时延。 特点: ? 迂回路由占用的网络资源比直达路由多。 ? 当网络内业务流不过载的情况下,采用迂回路由比较有效。 ? 在网络业务流过载的情况下,应对自动迂回路由的选择加 以一定的控制,而对直达路由的业务流给以优先。
153

3.3 通信业务量分析

3.3.1 通信业务量基本理论 3.3.2 单业务分析 3.3.3 多业务分析

154

3.3.3 多业务分析
? ? ?

Erlang B和Erlang C公式适用的局限性: 用户对资源的请求需满足泊松分布,即其方差等于其均值。 只适用于单业务的情况,不适合多业务(混合业务)的场 景。 混合业务与单业务的区别:

?

最大的区别是业务到达率和业务服务时间的多样化,以 及对服务窗口数的需求的不同。

3G/4G中的通信业务量的分析: 即容量估算是指在一定业务配臵的前提下,使用某种方法 估算支持这些业务所需要的站点规模(即小区数目)。
?

155

3.3.2 多业务分析
3G/4G系统中进行业务容量分析和资源配臵时,一般有两种
方法:
?

方法一:以某种业务作为参考基准业务,进行多业务资源 需求的配臵等效计算。比如以传统语音业务作为基准,设 其业务资源强度为1,根据不同业务相对于语音业务的资 源强度来度量其他业务的资源需求情况。

?

方法二:将3G/4G系统建模成一个多服务器形式,每一个 服务器对应一个不同的有限容量的排队模型。对于语音、 视频、数据等业务,根据其业务特征、优先级别和基本速 率的不同进行不同的排队模型设臵,分配至不同服务速率 的服务器中进行处理。通过设臵不同的参数分析网络服务 质量,最后对业务容量做出分配。
156

3.3.2 多业务分析
基于第一种方法的常用的混合业务容量的估算方法主要有 以下几种:
? ? ? ?

等效爱尔兰(Equivalent Erlang)法 后爱尔兰(Post Erlang B)方法 坎贝尔(Campbell)方法 随机背包(Stochastic Knapsack,SK)方法

157

等效爱尔兰法
?

3.3.2 多业务分析

基本原理:在处理多业务时,选择其中一种业务作为参考基准业务,将 其他业务折算等效成基准业务,然后计算出等效的总业务量,再查 Erlang B表进行计算。 ——先等效合并,后查表计算。 ? 以低速业务作为基准,算得的所需资源数少,投资就少;以高速业务作 为基准,算得的所需资源数多,投资就大。——基准不同,结果不同。 ? 举例:语音业务:1个信道资源/每个连接,共150erl;数据业务: 4个信 道资源/每个连接,共60erl。试计算这两种业务共需的小区数目。 (1)采用语音业务作为基准业务来等效计算。服务等级GoS=2%,单小区能 提供72个语音信道。 总业务等效为:150+4x60=390erl语音业务,查Erlang B表,共需345个语 音信道。则为满足这两种业务共需要345/72≈5个小区。 (2)采用数据业务作为基准业务来等效计算。服务等级GoS<2%,单小区 能提供18个数据信道。 总业务等效为:150/4+60=97.5erl数据业务,查Erlang B表,共需110个数 据信道(相当于440个语音信道)。则为满足这两种业务共需要110/18≈7 个小区。
158

3.3.2 多业务分析

后爱尔兰法
?

基本原理:先分别计算每种业务满足容量要求所需要的信道资源数 (先各自查Erlang B表),再将所需的各信道资源数等效相加,得出 满足混合业务容量所需要的信道资源总数。 ——先分别查表,后合并。 估算结果相对保守,高估了所需的信道资源数,不能充分利用信道, 总体效率低。 举例:语音业务:1个信道资源/每个连接,共150erl;数据业务: 4个 信道资源/每个连接,共60erl。 GoS=2%,单小区能提供72个语音信道。 试计算这两种业务共需的小区数目。

?

?

先分别查Erlang B表,语音业务需要164个语音信道,数据业务需要71 个数据信道(相当于71x4=284个语音信道)。两种业务共需要 164+284=448个语音信道。则为满足这两种业务共需要448/72≈7个小区。

159

3.3.2 多业务分析

坎贝尔方法
?

基本原理:以其中某一种业务作为参考基准业务,综合考虑所有的业 务,构造一个等效的业务(又称为中间业务或虚拟业务),据此求出 它的单小区的等效业务量(虚拟业务量)及等效资源(虚拟信道数) 需求,再查Erlang B表,然后得到混合业务的容量计算值。 比较好地计算出了接近真实的容量估计。 举例:语音业务:1个信道资源/每个连接,共150erl;数据业务: 4个 信道资源/每个连接,共60erl。 GoS=2%,单小区能提供72个语音信道。 试计算这两种业务共需的小区数目。

? ?

160

3.3.2 多业务分析

坎贝尔方法
(1)计算各种业务的资源强度 以语音业务作为基准业务。语音业务资源强度:1;数据业务资源强度: 4/1=4。 (2)计算均值(mE)、方差(varE)和容量因子(c)。

1 1 390 mE ? ? Ai ? Ei ? (1?150 ? 4 ? 60) ? n i n n

(3.97)

n:所需小区数目;Ai:第i 种业务的资源强度; Ei:第i 种业务的业务量。

varE ?

1 1 2 1100 2 2 A ? E ? (1 ? 150 ? 4 ? 60) ? ? i i n n i n
c? varE 111 ? mE 39

(3.98)

(3.99)
161

坎贝尔方法

3.3.2 多业务分析

(3)计算单小区的虚拟业务量(OfferedTraffic)和虚拟信道数(Capacity)

OfferedTraffic ?

mE 390 ? 39 137.03 ? ? c n ?111 n Ci ? Ai 72 ? 1 Capacity ? ? ? 25 c 111/ 39

(3.100)

(3.101)

Ci:作为基准业务的第i 种业务的单小区信道总数。
(4)查Erlang B表,求得单小区的虚拟业务量和所需的小区数目。 GoS=2%,虚拟信道数为25,查Erlang B表,得到单小区的虚拟业务量为 17.50,代入单小区虚拟业务量计算公式(式(3.100)):

137.03 OfferedTraffic ? ? 17.50 n
可得所需的小区数目:n=8。
162

3.3.2 多业务分析 随机背包法(多维Erlang B算法)
?

源于ATM领域的容量分析,随后在其他分组交换网络中

也得到了一定的应用。
?

基本原理:假定一个固定的信道容量,计算出在此条件下, 多种业务的不同服务等级(GoS)需求是否都能满足。如 果所有的业务的GoS需求都能满足,则该信道容量就已足 够;如果某些业务的GoS需求无法满足,则需要增大信道 容量,然后重复该过程,直到信道容量满足GoS需求。

163

表3.2 不同容量方法的比较 方法 等效 爱尔 兰 后爱 尔兰 坎贝 尔 特点
先等效,再叠加,后查表

3.3.2 多业务分析
缺点
只适用于CS域;采用的参考基准 不同,计算出来的结果也不同, 如以低速业务为基准等效时,算 得的所需资源数就少 只适用于CS域;分开核算放弃了 中继业务;高估了资源的需求 不能直接区分不同业务对QoS要 求的不同,仅对业务做了CS域与 PS域的区分;业务混合后,无法 对不同业务的资源占用进行进一 步的区别计算

优点
简单直接,易于 应用 简单直接,易于 应用
较为简单,易于应 用;适用于CS域和 PS域;预算结果适 度;比较好地接近 真实容量需求

先查表,再等效,后叠加 在CS域、PS域中分别利用 ErlangB和ErlangC公式; 寻找中间等效业务的方法 通过解调门限和负载因子 计算业务资源占用来间接 表现不同业务对QoS的要 求

随机 背包

适用于CS域和PS域; ATM中信道容量固定的前提与3G 沿用ATM网络流量 系统稍有不符,需要改良;该算 计算和管道共享概 法信道共享的特点,潜在要求分 念,分析不同QoS 组小的数据占用无线资源的概率 要求的分组数据的 大,使得算法并不能完全遵循不 传输 同业务的QoS要求;未体现不同 业务的时延要求;计算量大,比 较复杂
164

第3章 排队论及其应用

3.1 排队论基础
3.2 M/M/m(n)排队系统 3.3 通信业务量分析 3.4 随机接入系统业务量分析

165

3.4 随机接入系统业务量分析
3.4.1 概述 3.4.2 基本的随机接入系统业务分析 3.4.3 基于监听的随机接入系统业务分析

166

3.4.1 概述 1.多址通信与随机接入技术 多址通信
指网络中多个节点(或多个用户终端)共享公共通信资源 (信道)、实现连接访问。多址通信采用多址接入技术实 现用户间的通信。

多址接入技术
?

?

是网络传输技术的一部分。它的实现机制将直接影响到网 络的吞吐量、时延、业务能力、用户数、信道利用率等多 方面性能。 多址接入技术的实现主要是通过数据链路控制层的协议来 完成的。多址接入协议的选择主要受到三方面的影响:业 务要求,网络资源,信道环境。
167

3.4.1 概述
典型的多址通信信道环境包括:
地面无线信道环境、局域网环境和卫星信道环境。 ? 卫星通信环境:最重要的影响参数是传输延时,典型值是 0.25s,这通常比传输一个分组的时间长度还长。 ? 地面无线信道环境:传输延时通常比分组传输时间小,但 要考虑信号功率的覆盖范围,而且地面无线信道中存在多 径的影响。 ? 局域网信道环境:信号传输距离短,要求传输速率高。

168

3.4.1 概述 多址接入方式包括:
?

固定分配信道接入

?

动态分配信道接入

169

3.4.1 概述
?
?

动态分配信道接入
动态分配接入策略:动态FDMA、TDMA、CDMA方式,动态TDMA
是动态分配方式的首选。

?

动态TDMA方式又分为三种分配调度算法:

?

基本的随机接入方式:即基于ALOHA的接入方式,包括P-ALOHA和
S-ALOHA两种接入方式;

?

基于监听的随机接入方式:即基于CSMA的接入方式,包括了CSMA、

CSMA/CD及CSMA/CA。
?

基于预约机制的随机接入方式 随机接入系统可以看做是M/M/1系统。设计网络时,利用基于排队论 的概率模型去分析、预测时隙的可用度是解决冲突的有效途径。
170

3.4.1 概述
随机接入方式的发展:
? ? ? ?

纯ALOHA (P-ALOHA) 技术; 时隙ALOHA (S-ALOHA) 技术; 载波监听多址访问(CSMA—Carrier Sense Multiple Access)技术; 带有冲突检测的载波监听多址访问(CSMA/CD—CSMA with Collision Detection)技术及带有冲突避免的载波监听多址访问 (CSMA/CA—CSMA with Collision Avoidance)技术。

?

改进ALOHA协议的一个思路是限制用户使用信道的随机性,从而减 小碰撞,提高信道的通过率。

171

3.4.1 概述
2.性能标准 多址通信系统的主要性能参数是:平均通过量、平均分组时延和稳定性。

(1)平均通过量 ac

多址通信的平均通过量:
在每个发送周期T0时间内,成功发送的平均分组数(即数 据帧数)。或更准确地应定义为:在很长时间间隔内,成 功发送的分组数与信道上连续传输的最大发送分组数之比。

可见平均通过量是一种长时间接入信道能力的百分比量度。

172

3.4.1 概述
在稳定状态下,平均通过量 ac 等于网络负荷(全部呼叫量) a 与分组成功发送概率 P成 功 的乘积,即

ac ? a ? P成功
P成功 ? 1 ? Pc

(3.102)

在不发生碰撞的情况下,即当 P c ? 0 时,有 a c ? a 成功 ? 1 或 P 平均通过量简称为通过量。

173

3.4.1 概述
两个归一化参数:吞吐量S 和网络负载G。
?

吞吐量S :又称为吞吐率,等于在帧的发送时间T0内成功 发送的平均帧数。显然 0≤S≤1 在稳定情况下,在时间T0内到达且能够进入系统的平均帧 数(即输入负载)应等于吞吐量。

?

网络负载G :从网络角度来看,等于在T0内总共发送的平 均帧数(平均分组数),包括发送成功的帧和因冲突而重 发的帧及发送不成功的帧。即

G ? ? T0

(3.103)
174

3.4.1 概述

G?a
在稳定状态下,有

(3.104) (3.105)

S ? G ? P成 功
通过量(有时也称通过率)ac 定义为

? T0 平均成功发送的数据帧 所占的时间 T0内成功发送的数据帧数 ac ? ? 观察时间 T0 ? T0内成功发送的数据帧数 ?S

(3.106)

可见,通过量等于吞吐量。

175

3.4.1 概述
(2)平均分组时延
?

分组时延时间或响应时间:为一个分组从信源发出时刻开 始,到达信道,直至最后成功地被接收时刻为止的这段时 间。 平均分组时延:为一个很长时间间隔内分组总延迟与间隔 内分组数之比。

?

(3)稳定性
系统工作的稳定性:在较长时间段内,其通过量和延迟特

性基本保持不变,即其性能参数基本保持不变。

176

3.4 随机接入系统业务量分析
3.4.1 概述 3.4.2 基本的随机接入系统业务分析 3.4.3 基于监听的随机接入系统业务分析

177

3.4.2 基本的随机接入系统业务分析 1.纯ALOHA ( P-ALOHA)系统
P-ALOHA工作环境:无线信道或总线型网络。 设有无限个用户共用一个信道,这些用户的总呼叫到达 率为?,为泊松流到达。
站1 站2 站N-1 站N

接口 总线信道

图3.16 ALOHA系统的基本模型
178

3.4.2 基本的随机接入系统业务分析

1.纯ALOHA ( P-ALOHA)系统
(1)P-ALOHA的工作原理 ? 纯随机方式抢占信道:某数据站(用户)有信息要发送时, 立即发送。若在规定的时间内收到确认信号ACK,表示发 送成功;若收到否认信号NAK,表示发生了碰撞。若未收 到ACK或NAK信号,表示未能成功发送,则该站重发此信 号。
?

发生碰撞或发送失败后的重发:当冲突现象发生后或未能 成功发送,则数据站隔一段随机时间重发该信息。

179

3.4.2 基本的随机接入系统业务分析
(2)数学模型
假设
?

有无限多个用户共用一个信道,这些用户的总呼叫到达率 为?(包括新发的数据帧和重发的数据帧),为泊松流到 达。 信息包(或数据帧)都采用纠错编码,其长度为定长,即 帧长固定,用P表示帧长; T0为服务时间,即发送一帧占用信道的时间,用信息包长 度来代表发送这个信息包的时间。则有 P =T0 ;a 为呼叫 量, a ? ?T0 。
180

?

?

3.4.2 基本的随机接入系统业务分析 则 t 内有k个呼叫或信息包发送上信道的概率为

(?t ) ??t Pk (t ) ? e k!
k

(3.107)

t 内无包发送的概率为

(?t )0 ??t P0 (t ) ? e ? e ??t 0!

(3.108)

181

3.4.2 基本的随机接入系统业务分析
(3)性能分析

图3.17

P-ALOHA系统的工作原理
182

3.4.2 基本的随机接入系统业务分析
① 发送成功的概率(无碰撞的概率)
?

一个数据帧发送成功的概率为

P [成功概率 ] ? P [连续两个到达时间间隔 ? 2T0 ] ? ( P [到达时间间隔 ? T0 ])2

T:两个帧的到达时间间隔,则有
??T0 2 ?2?T0 ?2G ? P ( T ? 2 T ) ? [ P ( T ? T )] ? P ( T ) ? ( e ) ? e ? e P成功 0 0 0 0 2 2

?

发生碰撞的概率为

(3.109) (3.110)
183

P ? 1 ? e ?2?T0 ? 1 ? e ?2G

3.4.2 基本的随机接入系统业务分析
② 通过量 ac (或吞吐量S)

P 成功 ? e

?2G

?e

?2a

(3.111) (3.112)

ac ? S ? G ? P成功 ? G ? e ?2G ? ae?2a
最大通过量

a c max
1 ?1 ? ? e ? 0.184 ? 18.4% 2
184

G ? a ? 1 / 2 时,

ac ? ac max

3.4.2 基本的随机接入系统业务分析

图3.18

P-ALOHA系统的通过量与网络负荷a的关系曲线
185

3.4.2 基本的随机接入系统业务分析
结论: ? 设备简单,效率低。系统最多只能有18.4%的时间能成功 地发送信息而不发生碰撞,实现正常通信。
? ?

当a 较小时, ac

? a 基本上可以顺利通信。

为使系统能够稳定工作,网络负荷a (或网络负载G)一 定不能大于0.5。在实际中为了安全起见,P-ALOHA系统 的通过量只能在10%左右。

(4)帧的时延和重发
重发帧采用间隔一个随机时间再发送的策略。这个随机时间 是由采用的随机退避延时算法决定的,不同的算法对系统的 性能有不同的影响。
186

3.4.2 基本的随机接入系统业务分析
2.时隙ALOHA(S-ALOHA)系统
?

降低碰撞的一种有效措施是在信道上分时隙。

?

?

网内所有用户都与主时钟同步,有通信要求的用户只能在 主时钟规定的等长时隙内送到信道,也就是到达信道的时 刻只能是各时隙的起始时刻。 主时钟的同步信息要向所有用户广播。这种方式称为时隙 ALOHA(S-ALOHA)系统,它是P-ALOHA的一种改进 形式。

187

3.4.2 基本的随机接入系统业务分析 (1)S-ALOHA的工作原理
?

S-ALOHA系统把时间分成一段段等长的时隙(Slot),记 为T0,并规定不论帧何时产生,每个用户只能在每个时隙 的前沿发送信息。 T0长度的确定:每个帧正好在一个时隙内发送完毕。 当在一个时隙内有两个或两个以上的帧到达时,则在下一 个时隙将产生冲突,两组数据完全重叠。 冲突后重发的策略与P-ALOHA相似,不同的是应该在一 个随机整数倍的时隙时延后重发。

? ?

?

188

3.4.2 基本的随机接入系统业务分析

图3.20 S-ALOHA系统的工作原理

189

3.4.2 基本的随机接入系统业务分析 (2)性能分析
假设条件与P-ALOHA系统相同。 ① 发送成功的概率 发送成功的概率为

(?t )k ??t P成功 ? P(T ? T0 ) ? P0 (T0 ) ? e |k ?0, t ?T0 ? e ??T0 ? e ?G k! ?G (3.113) 发生碰撞的概率为 1 ? e 。
② 通过量 ac(或吞吐量S)

ac ? S ? G ? P成功 ? G ? e ?G ? ae?a
ac max ? G ? e ?G
G ?1

(3.114)

? a ? e ?a

a ?1

? 0.368 ? 36.8%
190

3.4.2 基本的随机接入系统业务分析

图3.21 S-ALOHA与P-ALOHA系统的通过量曲线
?

与P-ALOHA系统相比,通过率提高了一倍。
191

3.4.2 基本的随机接入系统业务分析
例3.10 假定许多异步终端通过多点线路连到主机,线路的 数据率为4800b/s,设每份报文有60个字符。而用户用键盘 输入一份报文需2分钟。每个字符用10比特进行编码,则 每个终端的平均数据率仅有5b/s[(60×10bit) /(2×60s)=5b/s]。 试问:(1)采用P-ALOHA方式,取 ac = 0.1, 该系统一共可容纳多少个交互式用户? (2)采用S-ALOHA方式呢? 解:(1)根据题意,采用P-ALOHA方式,取 a c ? 0.1 即仅利用信道容量的10%,则信道的总数据率为: 0.1×4800b/s=480(b/s), 此时该系统一共可容纳交互式用户数为: (480b/s)/(5b/s)=96(个)
192

3.4.2 基本的随机接入系统业务分析
(2)采用S -ALOHA方式,取 ac ? 0.368, 信道的总数据率为:0.368×4800b/s=1766.4 (b/s), 此时系统一共可容纳交互式用户数为: (1766.4b/s)/(5b/s)=353(个)

193

3.4.2 基本的随机接入系统业务分析
3.基本的随机接入方式的应用
特点: ? 实现简单,但吞吐量低,适合于具有突发性、负荷较低的 数据业务。 ? 适用于网络覆盖较大的情况,如在广域网中的应用。

应用:现多用于无线分组网及卫星通信系统中。
举例:基本的随机接入方式通常用于链路的建立阶段。例如, 在GSM系统中,上行链路的控制信道中的随机接入信道 (Random Access Channel:RACH )的接入就采用了 S-ALOHA协议。在呼叫建立期间为用户分配一个无冲突 的信道,即一个TDMA子信道作为通话期间的固定话路。
194

3.4 随机接入系统业务量分析
3.4.1 概述 3.4.2 基本的随机接入系统业务分析 3.4.3 基于监听的随机接入系统业务分析

195

3.4.3 基于监听的随机接入系统业务分析
载波监听多址访问(接入)方式,又称为载波侦听多点访问, 简称CSMA。这是ALOHA系统的一种改进形式,适用于延时 较小的网络。 1.CSMA的工作原理及监听方式 (1)CSMA的工作原理 CSMA与ALOHA技术的主要区别:
?

每个用户终端(数据站)多了一个附加的硬件装臵,称为载 波监听装臵。 功能:是每个数据站在发送数据前先监听信道,以接收到信 息与否来判断信道上的忙闲状态,各用户只能在信道空闲时 启动发送数据。
196

?

3.4.3 基于监听的随机接入系统业务分析
① 监听发送过程:用户(数据站)有数据发送,则在发送数据前,先监听
信道是否空闲。如果空闲,则该站可以发送数据;若忙,则该站就暂时
不发送数据,而是按某种算法,隔一段时间后再尝试发送。 ② 重发过程:数据发送以后,该站点在规定的时间内若收到对方的确认信

号ACK,则发送成功,可以进行下一个数据的发送尝试,否则重发该
数据。 (2)CSMA的监听方式

发生碰撞的原因有两个:
两个站或多个站同时监听到信道空闲,同时发送数据造成冲突。 由于传输时延? 的存在,使得在? 时间内,监听装臵可能检测不到信道上

信息包的存在而发送数据。
197

3.4.3 基于监听的随机接入系统业务分析
监听方式分为:非坚持监听CSMA和坚持监听CSMA两类。
?

非坚持监听CSMA(CSMA-NP):用户监听到信道“忙”状态信号 (即发现有其他站在发送数据)或发送失败信号后,停止监听。在重新 发送分组之前,根据协议的算法延迟一个随机时间后再重新监听,直到 听到信道“闲”状态信号后再发送数据。

?

坚持监听CSMA(CSMA-P):用户一直连续在监听,一旦发现信道空 闲就以不同方式发送数据。 该方式又分为1-坚持监听和概率p坚持监听两种方式:
? ?

1-坚持监听 概率p坚持监听

198

3.4.3 基于监听的随机接入系统业务分析
?

1-坚持监听(CSMA-1):用户(站)有数据要发送,则先一直连续监 听信道并等待发送,当监听到信道忙时,仍坚持监听,一旦监听到信道 空闲,就以概率1立即发送数据;

?

概率p坚持监听(CSMA-p):当监听到信道空闲时,就以概率p在第一 有效时隙内发送数据,或以概率(1-p)延迟一段时间? ,重新监听信 道,开始下一次的发送尝试。任意节点以(1- p)的概率主动退避,放 弃发送分组的机会,即信道空闲也可能不发送数据,因而可以进一步减 小数据的碰撞的概率。可用于分时隙的信道。

确定p:
? ?

p事先给定,根据信道上的通信量的多少设定。 若信道空闲,在[0,1]区间选择一个随机数I,若I≤p,则发送数据;否 则,延时? 后再重新监听信道。
199

3.4.3 基于监听的随机接入系统业务分析
时隙 CSMA(S-CSMA) CSMA 非时隙 CSMA,监听方式同上 时隙 CSMA/CD (S-CSMA/CD),监听方式同上 CSMA/CD 非时隙 CSMA/CD,监听方式同上 非坚持监听 CSMA (S-CSMA-NP) 坚持监听 CSMA (S-CSMA-P) 1-坚持监听 CSMA (S-CSMA-1) 概率 p 坚持监听 CSMA (S-CSMA-p)

图3.22 CSMA技术分类
200

3.4.3 基于监听的随机接入系统业务分析
CSMA技术的优点: 通过采用先听后送技术减少了冲突,提高了整个系统的吞吐量。CSMA-NP的最大通 过率可达80%以上, CSMA技术的缺点: 由于退避的原因,时延性能较差; 由于传输时延? 的存在,冲突不可避免;

限制了网络的覆盖范围 ,只在小时延(即短距离)情况下有效。
2.CSMA/CD多址接入系统 CSMA/CD系统(带有冲突检测的载波监听多址接入(访问)): CSMA可采用冲突检测,就是边发送边监听。一旦监听到发生冲突(碰撞),则冲突 的双方或多方都必须停止发送,以使信道不致无效地继续被占用。这就是冲突检 测功能。 优点: 提高了通过量和信道利用率。但在时延增加后也将逐渐消失。
201

3.4.3 基于监听的随机接入系统业务分析
CSMA/CD系统的工作原理如下: (1)用户监听到信道空闲就发送数据帧。 (2)在发送数据帧后继续监听,进行冲突检测。 一种可行的冲突检测方法是:在发送帧的时候也同时进行接收,将从信 道上接收到的数据与本站发送的数据逐比特进行比较。若不一致,则说 明发生了冲突。 (3)如果两个或多个终端同时开始发送数据,那么就会检测到碰撞。一旦 检测到冲突,就立即停止发送数据,而不等这个数据发完;并发送一简 短的阻塞信号,使所有的站点都知道已发生了冲突,停止发送数据,转 入闲期。 (4)在发送阻塞信号后,该站延迟一段随机时间,然后采用CSMA方式 再次尝试发送。阻塞信号可以通过发送若干比特的人为干扰信号而产生。
202

3.4.3 基于监听的随机接入系统业务分析
3.性能分析
采用监听方式,减少了冲突,改进了系统的吞吐性能,提高了信道利用率。
冲突没有完全消除。传输时延越大,接入性能恶化越大。 小时延(即短距离)情况下有效。

CSMA/CD性能比CSMA好,但设备复杂,且在时延加大后好处也逐渐消
失。 减少冲突的可能性的措施:

采用概率p发送数据帧的方式;
采用优先制发送数据帧的方式,即某些节点主动退避; 采用分时隙的方式。

203

3.4.3 基于监听的随机接入系统业务分析

图3.23 ? =0.01时的几种随机接入方式的通过量 ac 与网络负荷 a 的关系曲线
204

3.4.3 基于监听的随机接入系统业务分析
4.随机退避延时算法 不同的随机退避算法有不同的传输效率。常用的随机 退避延时算法主要有:
? 均匀随机数退避法 ? 二进制指数退避法 ? 线性增量退避法 ? 顺序退避法

205

3.4.3 基于监听的随机接入系统业务分析
5.基于监听的随机接入方式的应用 应用: 适用于网络覆盖较小的情况,如计算机局域网的接入。现 主要应用于短距离数据业务的多址接入。
? ?

IEEE802.3以太网(Ethernet)采用了CSMA/CD协议。 IEEE802.11无线局域网(WLAN)采用了CSMA/CA协议 机制。

206





3.1 某交换机平均每小时有20个用户打电话,其过程满足最简 单流条件。求用户打电话的时间间隔在5分钟以内的概率和 在10分钟以内的概率。 3.2 设某网络的节点为M/M /1系统,平均每小时服务30份信息。
(1) 设平均每小时到达25份信息,计算系统排队的平均队长。 (2) 若将平均队长减少一份,服务时间减少多少?

3.3 假设在100条线的中继线群上,平均每小时发生2100次占 用, 平均占用时长为1/30h。求该中继线群上的完成话务量强度。
3.4 已知某组设备的流入话务量是2erl,呼叫的平均占用时长是

2分钟,求每小时的平均呼叫数。

207





3.5 在忙时测得三条中继线的占用时长分别为300秒、40分钟和 0.8小时,其相应的呼叫数分别为3、18、20,试计算这三条中 继线上的总话务量强度和呼叫的平均占用时长。 3.6 在一个移动通信系统中,只有一个小区,每个用户平均每小 时呼叫2次,每次呼叫平均持续3分钟,系统的阻塞率为1%。 计算:(1)有10个信道时,系统支持的用户数。(2)有20 个信道时,系统支持的用户数。(3)有20个信道时,如果系 统中的用户数为(2)计算结果的两倍,计算此时的阻塞率。
3.7 有一阻塞呼叫清除系统,阻塞概率为2%,? = 1次呼叫/h, 该系统的最大系统业务容量和每个信道的业务容量。(2)该 系统能支持多少用户?
208

? ? 105s 。 当分别有4个信道、20个信道时,请计算:(1)





3.8 一阻塞呼叫延迟系统,有4个信道, ? ? 105s 。当延迟大于 15秒时,呼叫被清除。利用上一题计算出的4个信道的话务 量强度,求该系统的GoS,并比较一个15秒的队列的阻塞呼 叫延迟系统和一个阻塞呼叫清除系统,哪个性能更好?
3.9 有一多业务系统,语音业务需要1个信道资源/每个连接,其 业务量为150erl;数据业务需要4个信道资源/每个连接,其 业务量为100erl;若单小区能提供72个语音信道,系统的服 务等级GoS=2%,求:分别采用以下三种方法,计算这两种 业务共需的小区数目。 ①等效爱尔兰法(分别以语音业务和数据业务作为基准业务) ②后爱尔兰法 ③坎贝尔法(以语音业务作为基准业务)
209





3.10 若干个终端采用P-ALOHA随机接入协议与远端主机通信, 信道速率为4800b/s,每个终端平均每3分钟发送一个帧, 帧长为500比特,问终端数目最多允许为多少?若采用SALOHA协议,其结果又如何?
3.11 在P-ALOHA协议中,若使系统工作在G =0.5的状态,问 信道上发送成功的概率为多少?

3.12 10 000个终端争用一条公用的S-ALOHA信道,平均每个 终端每小时发送帧18次,时隙长度为125μs。试求:信道负 载G为多少?
3.13 一S-ALOHA信道的时隙长度为40ms,大量用户同时工 作,使网络每秒平均发送50个帧(包括重发的)。试计算 发送即成功的概率。
210


c



3.14 若S-ALOHA系统有10%的时隙是空闲的,试问:网络负 荷a 和通过量 a 各等于多少?现在系统是否过载?

211

END

212


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