【步步高】2013-2014学年高中数学 第一章 §1.3.1第1课时函数的单调性课件 新人教A版必修1_图文

1.3.1 单调性与最大(小)值 第 1 课时 函数的单调性
【学习要求】 1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念; 2.掌握增(减)函数的证明和判别,学会运用函数图象理解和研究 函数的性质,能利用函数图象划分函数的单调区间. 【学法指导】 通过观察一些函数图象的特征,形成增(减)函数的直观认识.再 通过具体函数值的大小比较,认识函数值随自变量的增大(减小) 的规律,在经历从直观到抽象,以图识数的过程中,得出增(减) 函数单调性的定义, 体验数学概念的形成过程的真谛,掌握用定 义证明函数单调性的步骤.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.函数的单调性 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I: (1)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函 数 f(x)在区间 D 上是 增函数 .

(2)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说函 数 f(x)在区间 D 上是 减函数 .

填一填·知识要点、记下疑难点

(3)如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数 或 减函数 ,那 么就说函数 y=f(x)在这一区间具有 (严格的)单调性 , 区间 D 叫做 y=f(x)的 单调区间 . 2.a>0 时,二次函数 y=ax2 的单调增区间为 [0,+∞) . 1 3.函数 y=x的单调递减区间为 (-∞,0)和(0,+∞) .

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问题情境:函数是描述事物运动变化规律的数学模型.如果 了解了函数的变化规律,那么也就把握了相应事物的变化规 律.因此研究函数的性质是非常重要的.日常生活中,我们 有过这样的体验:从阶梯教室前向后走,逐步上升,从阶梯 教室后向前走,逐步下降.很多函数也具有类似性质,这就 是我们要研究的函数的重要性质——函数的单调性.

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探究点一 增函数、减函数、单调性、单调区间等概念 问题 1 画出函数 f(x)=x、f(x)=x2 的图象,并指出 f(x)=x、f(x)= x2 的图象的升降情况如何?
答 根据列表法的三个步骤:列表→描点→连线得两函数的图

象如下:

函数 f(x)=x 的图象由左到右是上升的;函数 f(x)=x2 在 y 轴左 侧是下降的,在 y 轴右侧是上升的.

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问题 2 如何利用函数解析式 f(x)=x2 来描述随着自变量 x 值的变化,

函数值 f(x)的变化情况?



在(-∞,0]上,随着自变量 x 值的增大,函数值 f(x)逐渐

减小;在(0,+∞)上,随着自变量 x 值的增大,函数值 f(x)逐 渐增大.
问题 3 如何用 x 与 f(x)的变化来描述当 x 在给定区间从小到大取值时, 函数值依次增大?

答 在给定区间上任取 x1,x2 且 x1<x2,则 f(x1)<f(x2).

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问题 4 当 x 增大时,f(x)的值随着增大,我们说 f(x)是增函数;当 x

增大时, f(x)的值减小, 我们说 f(x)是减函数. 如果给出函数 y=f(x), x∈I,你能给增函数和减函数下个定义吗?

答 增函数的定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果 对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2, 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.
减函数的定义:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自 变量的值 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2), 那么就说函数 f(x) 在区间 D 上是减函数. 小结 函数的单调性定义:如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函 数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间.

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例1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数 的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?



y=f(x)的单调区间有[-5, -2), [-2,1), [1,3), [3,5]. 其中 y=f(x)

在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.

小结

函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,单调区

间是定义域的子集;当函数出现两个以上单调区间时,单调区间 之间可用“,”分开,不能用“∪”,可以用“和”来表示;在 单调区间 D 上函数要么是增函数, 要么是减函数, 不能二者兼有.

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跟踪训练 1 根据下图说出函数在每一单调区间上, 函数是增函 数还是减函数.

解 函数在[ -1,0] 上是减函数,在[0,2] 上是增函数,在[2,4] 上是 减函数,在[4,5] 上是增函数.

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探究点二 问题 1 增函数、减函数的证明或判断 判断函数单调性的方法有哪些?证明函数单调性的方

法有哪些?
答 定义法,图象法.证明函数单调性有定义法.

问题 2


根据增函数或减函数的定义,你认为证明函数 f(x)在区
(1)取值:任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;

间 D 上单调性的一般步骤有哪些?
(2)作差:f(x1)-f(x2);

(3)变形:通常通过因式分解、配方与通分等途径将结果化为积 或商的形式;

(4)定号:判断差 f(x1)-f(x2)的正负;

(5)小结:指出函数 f(x)在给定区间 D 上的单调性.

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k 例 2 物理学中的玻意耳定律 p=V(k 为正常数)告诉我们, 对于一 定量的气体,当其体积 V 减小时,压强 p 将增大.试用函数的 单调性证明之.
证明 根据单调性的定义,设 V1,V2 是定义域(0,+∞)上的 任意两个实数,且 V1<V2,则 V2-V1 k k p(V1)-p(V2)=V -V =k× V V . 1 2 1 2

由 V1,V2∈(0,+∞),得 V1V2>0.
由 V1<V2,得 V2-V1>0.又 k>0,于是 p(V1)-p(V2)>0, 即 p(V1)>p(V2). k 所以,函数 p=V,V∈(0,+∞)是减函数,也就是说,当体积 V 减小时,压强 p 将增大.

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小结

运用定义判断或证明函数的单调性时,应在函数的定义

域内给定的区间上任意取 x1,x2 且 x1<x2 的条件下,转化为确 定 f(x1)与 f(x2)的大小,要牢记五大步骤:取值→作差→变形→ 定号→小结.

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1 跟踪训练 2 证明:函数 f(x)=x在(0,+∞)上是减函数.
证明 设任意 x1、x2∈(0,+∞),且 x1<x2,

1 1 x2-x1 则 f(x1)-f(x2)=x -x = x x , 1 2 1 2

由 x1,x2∈(0,+∞)得,x1x2>0,又 x1<x2,得 x2-x1>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2).
1 ∴f(x)= x在(0,+∞)上是减函数.

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探究点三 函数单调性的应用

问题 1 如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小?
答 先判断函数 f(x)在区间 D 上的单调性,如果函数 f(x)在 D

上是增函数,则当 x1<x2 时,f(x1)<f(x2),如果 f(x)在 D 上是减函 数,结论则相反.

问题 2 已知函数的单调性,能利用函数值的大小关系得出对 应自变量的大小关系吗?
答 能.利用函数单调性,将函数值的大小关系转化为自变量

的大小关系,即脱去 f 符号,转化为自变量的大小关系.

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例 3 已知 y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且 f(1-a)<f(2a-1), 求 a 的取值范围.

? ?-1<1-a<1 由题意可知? ? ?-1<2a-1<1



解得 0<a<1.



又 f(x)在(-1,1)上是减函数, 且 f(1-a)<f(2a-1),
2 ∴1-a>2a-1,即 a<3. 2 由①②可知,0<a<3, ②

2 即所求 a 的取值范围是 0<a<3.

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小结

不等式 f(1 - a)<f(2a - 1) 为抽象不等式,不能直接求

解.考虑到函数的单调性,可将函数值的不等关系转化为自变 量取值的不等关系,即转化为具体不等式来求解.

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跟踪训练 3 本例中若函数 y=f(x)的定义域为 R,且为增函数, f(1-a)<f(2a-1),则 a 的取值范围又是什么?

解 ∵y=f(x)的定义域为 R,且为增函数,f(1-a)<f(2a-1),
2 ∴1-a<2a-1,即 a>3, ∴所求 a
?2 ? 的取值范围是?3,+∞?. ? ?

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1.函数 f(x)的定义域为(a,b),且对其内任意实数 x1,x2 均有 (x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0,则 f(x)在(a,b)上是 A.增函数 C.不增不减函数
解析

( B )

B.减函数 D.既增又减函数
? ?x1-x2>0, 或? ? ?f?x1?-f?x2?<0.

? ?x1-x2<0, ∵(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0?? ? ?f?x1?-f?x2?>0

即当 x1<x2 时,f(x1)>f(x2)或当 x1>x2 时,f(x1)<f(x2). 不论哪种情况,都说明 f(x)在(a,b)上为减函数.

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2.如果 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t 都有 f(3+t)=f(3-t), 那么 A.f(3)<f(1)<f(6) C.f(3)<f(6)<f(1) B.f(1)<f(3)<f(6) D.f(6)<f(3)<f(1) ( A )

解析 由于 f(x)是二次函数,其函数图象为开口向上的抛物 线,f(3+t)=f(3-t),
∴抛物线的对称轴为 x=3,且[3,+∞)为函数的增区间, 由 f(1)=f(3-2)=f(3+2)=f(5),

又∵3<5<6,
∴f(3)<f(5)<f(6),故选 A.

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1.若 f(x)的定义域为 D,A?D,B?D,f(x)在 A 和 B 上都单 调递减,未必有 f(x)在 A∪B 上单调递减. 2.对增函数的判断,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),也可以用一 个不等式来替代: f?x1?-f?x2? (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 或 >0.对减函数的判断,当 x1-x2 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2), 相应地也可用一个不等式来替代: f?x1?-f?x2? (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 或 <0. x1-x2

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3.熟悉常见的一些单调性结论,包括一次函数,二次函数,反 比例函数等. 4.若 f(x),g(x)都是增函数,h(x)是减函数,则:①在定义域的 交集(非空)上,f(x)+g(x)单调递增,f(x)-h(x)单调递增, 1 ②-f(x)单调递减,③ 单调递减(f(x)≠0). f?x? 5.对于函数值恒正(或恒负)的函数 f(x),证明单调性时,也可 f?x1? 以作商 与 1 比较. f?x2?


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