2013届人教A版理科数学课时试题及解析(26)平面向量的数量积及应用

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课时作业(二十六) [第 26 讲 平面向量的数量积及应用]

[时间:45 分钟 分值:100 分] 基础热身 1 1? 1. 设向量 a=(1,0),b=? ?2,2?,则下列结论中正确的是( 2 2 C.a-b 与 b 垂直 D.a∥b A.|a|=|b| B.a· b= a· a? 2. 若向量 a 与 b 不共线,a· b≠0,且 c=a-? b?b,则向量 a 与 c 的夹角为( ? a· π π π A.0 B. C. D. 6 3 2 → → → → → 3. 已知 A(2,0), B(0,1), O 是坐标原点, 动点 M 满足OM=λOB+(1-λ)OA, 并且OM· AB>2, 则实数 λ 的取值范围是( ) 6 A.λ>2 B.λ> 5 6 C. <λ<2 D.1<λ<2 5 4.若 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为( ) 65 A. B. 65 5 13 C. D. 13 5 能力提升 → → 5. 平面上 O,A,B 三点不共线,设OA=a,OB=b,则△OAB 的面积等于( ) 2 2 2 A. |a| |b| -?a· b? 2 2 B. |a| |b| +?a· b?2 1 C. |a|2|b|2-?a· b?2 2 1 D. |a|2|b|2+?a· b?2 2 6. 半圆的直径 AB=4,O 为圆心,C 是半圆上不同于 A、B 的任意一点,若 P 为半 → → → 径 OC 的中点,则(PA+PB)· PC的值是( ) A.-2 B.-1 C.2 D.无法确定,与 C 点位置有关 7.设 a、b 是非零向量,若函数 f(x)=(xa+b)· (a-xb)的图象是一条直线,则必有( ) A.a⊥b B.a∥b C.|a|=|b| D.|a|≠|b| 8. 已知两不共线向量 a=(cosα, sinα), b=(cosβ, sinβ), 则下列说法不正确 的是( ) ... A.(a+b)⊥(a-b) B.a 与 b 的夹角等于 α-β C.|a+b|+|a-b|>2 D.a 与 b 在 a+b 方向上的投影相等 → → → → → → → 9. 在△ABC 所在平面上有三点 P、Q、R,满足PA+PB+PC=AB,QA+QB+QC=
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→ → → → → BC,RA+RB+RC=CA,则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为( ) A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶5 10. 已知向量 a,b 均为单位向量,若它们的夹角是 60° ,则|a-3b|等于________. → → 11. △ABO 三顶点坐标为 A(1,0), B(0,2), O(0,0), P(x, y)是坐标平面内一点, 满足AP· OA → → → → ≤0,BP· OB≥0,则OP· AB的最小值为________. 12. 已知平面向量 α,β(α≠0,α≠β)满足|β|=1,且 α 与 β-α 的夹角为 120° ,则|α| 的取值范围是________. 13.已知|a|= 2,|b|=3,a 与 b 夹角为 45° ,则使 a+λb 与 λa+b 的夹角为钝角时,λ 的 取 值 范 围 是 ________________________________________________________________________. 3x 3x? x? ? x ? π? 14.(10 分)已知向量 a=? ?cos 2 ,sin 2 ?,b=?cos2,-sin2?,且 x∈?0,2?. (1)求:a· b 及|a+b|的值; 3 (2)若 f(x)=a· b-2λ|a+b|的最小值是- ,求 λ 的值. 2

→ 15.(13 分)在?ABCD 中,A(1,1),AB=(6,0),点 M 是线段 AB 的中点,线段 CM 与 BD 交于点 P. → (1)若AD=(3,5),求点 C 的坐标; → → (2)当|AB|=|AD|时,求点 P 的轨迹.

难点突破 16.(12 分) 已知 a=(cosx+sinx,sinx),b=(cosx-sinx,2cosx). (1)求证:向量 a 与向量 b 不可能平行; (2)若 a· b=1,且 x∈[-π,0],求 x 的值.

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课时作业(二十六) 【基础热身】 1.C [解析] A 项,∵|a|=1, 1?2 ?1?2 2 |b|= ? ?2? +?2? = 2 , ∴|a|≠|b|,A 错; 1 1 1 B 项,∵a· b=1× +0× = ,B 错; 2 2 2 1 1? ?1 1? C 项,∵a-b=(1,0)-? ?2,2?=?2,-2?, 1 1? ?1 1? 1 1 ∴(a-b)· b=? ?2,-2?· ?2,2?=4-4=0,C 对; 1 1 D 项,∵1× -0× ≠0,∴a 不平行于 b.故选 C. 2 2 a? ? ?a-?a· 2.D [解析] ∵a· c=a· b?b? ? ?a· a2 ? =a· a-? b=a2-a2=0, b?a· ?a· π 又 a≠0,c≠0,∴a⊥c,∴〈a,c〉= ,故选 D. 2 → → → → → 3.B [解析] 根据向量减法的几何意义得AB=OB-OA,所以OM· AB>2, → → → → → → → → 即[λOB+(1-λ)OA]· (OB-OA)>2,即 λOB2-(1-λ)OA2+(1-2λ)OA· OB>2,即 λ-(1- 6 λ)×4>2,解得 λ> . 5 5 a· b 2×?-4?+3×7 4.A [解析] ∵cosθ= = = , |a||b| 5 4+9· 16+49 5 65 ∴a 在 b 方向上的投影|a|cosθ= 22+32× = . 5 5 【能力提升】 a· b 5.C [解析] ∵cos〈a,b〉= , |a||b| ∴sin〈a,b〉= 1-cos2〈a,b〉 a· b ?2 = 1-? ?|a||b|? |a|2|b|2-?a· b?2 = , |a||b| 1→ → → → ∴S△OAB= |OA||OB|sin〈OA,OB〉 2 1 = |a||b|sin〈a,b〉 2 1 = |a|2|b|2-?a· b?2,故选 C. 2 → → → → → 6.A [解析] (PA+PB)· PC=2PO· PC=-2. 7.A [解析] 由题意知函数 f(x)=xa2-x2a· b+a· b-xb2,又因为函数 f(x)的图象是一条 直线,所以 a· b=0,即 a⊥b,所以选 A. 8.B [解析] a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),则|a|=|b|=1,设 a,b 的夹角是 θ,则 a· b cosθ= =cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β),∴θ 与 α-β 不一定相等. |a||b| → → → → → → → → → → → → 9.B [解析] 由PA+PB+PC=AB,得PA+PC=AB-PB,即PA+PC=AB+BP,

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→ → → → → PA+PC=AP,∴PC=2AP,P 为线段 AC 的一个三等分点,同理可得 Q、R 的位置, △PQR 的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形面积,∴面积比为 1∶3. 10. 7 [解析] ∵|a-3b|2=a2-6a· b+9b2=10-6×cos60° =7,∴|a-3b|= 7. → → 11.3 [解析] ∵AP· OA=(x-1,y)· (1,0)=x-1≤0,∴x≤1,∴-x≥-1, → → ∵BP· OB=(x,y-2)· (0,2)=2(y-2)≥0,∴y≥2. → → ∴OP· AB=(x,y)· (-1,2)=2y-x≥3.

2 3? 12.?0, 3 ? ? ∠ACB=60° ,

→ → → [解析] 如图,数形结合知 β=AB,α=AC,|AB|=1,C 点在圆弧上运动,

|AB| |α| 设∠ABC=θ,由正弦定理知 = , sin60° sinθ 2 3 2 3 ∴|α|= sinθ≤ ,当 θ=90° 时取最大值. 3 3 2 3? ∴|α|∈?0, . 3 ? ? -11- 85 -11+ 85 13. <λ< 且 λ≠-1 6 6 a· b [解析] 由条件知,cos45° = ,∴a· b=3, |a|· |b| 设 a+λb 与 λa+b 的夹角为 θ,则 θ 为钝角, ?a+λb?· ?λa+b? ∴cosθ= <0, |a+λb|· |λa+b| ∴(a+λb)(λa+b)<0, ∴λa2+λb2+(1+λ2)a· b<0, ∴2λ+9λ+3(1+λ2)<0,∴3λ2+11λ+3<0, -11- 85 -11+ 85 ∴ <λ< . 6 6 若 θ=180° 时,a+λb 与 λa+b 共线且方向相反, ∴此时存在 k<0,使 a+λb=k(λa+b), ? ?kλ=1, ∵a,b 不共线,∴? ∴k=λ=-1, ?λ=k, ? -11- 85 -11+ 85 ∴ <λ< 且 λ≠-1. 6 6 3x x 3x x 14.[解答] (1)a· b=cos · cos -sin · sin =cos2x. 2 2 2 2 3x x?2 ? 3x x?2 |a+b|= ? ?cos 2 +cos2? +?sin 2 -sin2? = 2+2cos2x=2 cos2x. π? ∵x∈? ?0,2?,∴cosx≥0, ∴|a+b|=2cosx. (2)f(x)=cos2x-4λcosx,即 f(x)=2(cosx-λ)2-1-2λ2. π 0, ?,∴0≤cosx≤1. ∵x∈? ? 2?
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①当 λ<0 时,当且仅当 cosx=0 时, f(x)取得最小值-1,这与已知矛盾. ②当 0≤λ≤1 时,当且仅当 cosx=λ 时, 3 f(x)取得最小值-1-2λ2,由已知-1-2λ2=- , 2 1 解得 λ= . 2 3 ③当 λ>1 时,当且仅当 cosx=1 时,f(x)取得最小值 1-4λ,由已知得 1-4λ=- , 2 5 解得 λ= ,这与 λ>1 相矛盾. 8 1 综上所述,λ= 即为所求. 2 15.[解答] (1)设点 C 的坐标为(x0,y0), → → → 又AC=AD+AB=(3,5)+(6,0)=(9,5), 即(x0-1,y0-1)=(9,5), ∴x0=10,y0=6,即点 C(10,6). (2)设 P(x,y), → → → 则BP=AP-AB=(x-1,y-1)-(6,0) =(x-7,y-1), → → → 1→ → AC=AM+MC= AB+3MP 2 1→ → 1→ = AB+3(AP- AB) 2 2 → → =3AP-AB =(3(x-1),3(y-1))-(6,0) =(3x-9,3y-3). → → ∵|AB|=|AD|,∴平行四边形 ABCD 为菱形, → → ∴BP⊥AC, ∴(x-7,y-1)· (3x-9,3y-3)=0, 即(x-7)(3x-9)+(y-1)(3y-3)=0. ∴x2+y2-10x-2y+22=0(y≠1). 故点 P 的轨迹是以(5,1)为圆心,2 为半径的圆且去掉与直线 y=1 的两个交点. 【难点突破】 16.[解答] (1)证明:假设 a∥b,则 2cosx(cosx+sinx)=sinx(cosx-sinx), 即 2cos2x+2sinxcosx=sinxcosx-sin2x,1+sinxcosx+cos2x=0, 1+cos2x π? π? 1 3 2 ? 1+ sin2x+ =0,亦即 2sin? ?2x+4?=-3?sin?2x+4?=- 2 . 2 2 π 3 2 2x+ ?∈[-1,1],- 而 sin? <-1,矛盾. 4 ? ? 2 故假设不成立,向量 a 与向量 b 不平行. (2)a· b=(cosx+sinx)(cosx-sinx)+2sinxcosx =cos2x-sin2x+sin2x=cos2x+sin2x π? = 2sin? ?2x+4?, π? 2 a· b=1?sin? ?2x+4?= 2 . 7π π π - , ?, 又 x∈[-π,0]?2x+ ∈? 4 ? 4 4?

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π 7π π 5π π π ∴2x+ =- 或 2x+ =- 或 2x+ = , 4 4 4 4 4 4 3π ∴x=-π 或- 或 0. 4

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