2017-2018学年高中数学(苏教版)选修1-1 名师课件:第3章 3.1 3.1.1 平均变化率 (共18张PPT)_图文

理解教材 新知 3.1 第 3 章 导 数 的 概 念 3.1. 1 平均 变化 率 把握热点 考向 考点一 考点二 应用创新 演练 3.1 导数的概念 3.1.1 平均变化率 某病人吃完退烧药,他的体温变化如下: x(min) y(℃) 0 39 10 38.7 20 38.5 30 40 50 60 36.8 38 37.6 37.3 问题 1: 试比较时间 x 从 0 min 到 20 min 和从 20 min 到 30 min 体温变化情况,哪段时间体温变化较快? 提示:从 20 min 到 30 min 变化快. 问题 2: 如何刻画体温变化的快慢? 提示:用平均变化率. 问题 3: 平均变化率一定为正值吗? 提示:不一定.可正、可负、可为零. 1.平均变化率 f?x2?-f?x1? 一般地, 函数 f(x)在区间[x 1, x 2]上的平均变化率为 x2-x1 . 2.平均变化率与曲线变化关系 平均变化率是曲线陡峭程度的“ 数量化 ”,或者说,曲线陡 峭程度是平均变化率的“ 视觉化”. 对平均变化率的理解 (1)由平均变化率的定义知,平均变化率可正、可负、可为零. (2)平均变化率刻画函数值在区间[x 1,x 2]上变化的快慢. 求平均变化率 [例 1] 已知函数 f(x)=2x2+1. (1)求函数 f(x)在区间[1,1.1]上的平均变化率; (2)求函数 f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率. [ 思路点拨 ] 即可. 直接利用平均变化率的定义求解 [精解详析] f?1.1?-f?1? 2×1.12-2×12 0.42 (1) = = =4.2. 0.1 0.1 1.1-1 f?2.01?-f?2? 2×2.012-2×22 8.080 2-8 0.080 2 (2) = = = = 0.01 0.01 0.01 2.01-2 8.02. [一点通] 步骤: 求函数 f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的 第一步:求 x2-x1; 第二步:求 f(x2)-f(x1); f?x2?-f?x1? 第三步:由定义得出 . x2-x1 π π π 1.求函数 y=sin x 在 0 到 之间和 到 之间的平均变化率. 6 3 2 π sin -sin 0 6 π 3 解:在 0 到 之间的平均变化率为 = ; 6 π π -0 6 π π sin -sin 2 3 3?2- 3? π π 在 到 之间的平均变化率为 = . 3 2 π π π - 2 3 2.如图是函数 y=f(x)的图像,则:(1)函数 f(x)在区间 [-1,1]上的平均变化率为________; (2)函数 f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________. 解 析 : (1) 函 数 f(x) 在 区 间 [ - 1,1] 上 的 平 均 变 化 率 为 f?1?-f?-1? 2-1 1 = = . 2 2 1-?-1? (2)由函数 f(x)的图像知, ?x+3 ? ,-1≤x≤1, 2 f(x) = ? ? ?x+1,1<x≤3. 所以函数 f(x) 在区间 [0,2] 上的 3 f?2?-f?0? 3-2 3 平均变化率为 = = . 2 4 2-0 1 答案:(1) 2 3 (2) 4 平均变化率的应用 [例 2] 已知气球的体积为 V(单位:L)与半径 r(单位:dm)之 4 3 间的函数关系是 V(r)= πr . 3 (1)求半径 r 关于体积 V 的函数 r(V); (2)比较体积 V 从 0 L 增加到 1 L 和从 1 L 增加到 2 L 时半径 r 的平均变化率,哪段半径变化较快(精确到 0.01)?此结论可说明什 么意义? [思路点拨] 首先由球的体积公式变形得到函数 r(V)的 解析式,再根据求平均变化率的步骤运算. [精解详析] 3 3V 4 3 3 V (1)∵V= πr ,∴r3= ,r= , 3 4π 4π 3 3V ∴r(V)= . 4π (2)函数 r(V)在区间[0,1]上的平均变化率约为 3 r?1?-r?0? = 1-0 3× 1 -0 4π ≈0.62(dm/L). 1 函数 r(V)在区间[1,2]上的平均变化率约为 3 r?2?-r?1? 2 3 1 =- 3× - 3× ≈0.16(dm/L). 4π 4π 2-1 显然体积 V 从 0 L 增加到 1 L 时,半径变化快,这说明随着 体积的增加,气球的半径增加的越来越慢. [一点通] 平均变化率在实际问题中有很大作用, 要 把实际问题中的量与函数中的量对应起来,从而能利用 平均变化率的定义来解决实际问题. 3.已知某一细菌分裂的个数随时间 t s 的变化满足函数关系式 f(t) =3t+1,分别计算该细菌在[1,2],[3,4],[5,6]时间段内分裂个数 的变化率,由此你能得出什么结论? 解:细菌分裂的个数在[1,2]内的平均变化率为 f?2?-f?1? =32-3=6, 2-1 细菌分裂的个数在[3,4]内的平均变化率为 f?4?-f?3? =34-33=54. 4-3 细菌分裂的个数在[5,6]内的平均变化率为 f?6?-f?5? =36-35=486. 6-5 由此得出随时间的增加,细菌分裂的个数增加速度越来越快. 4.一底面半径为 r cm,高为 h cm 的倒立圆锥形 容器,若以 n cm3/s 的速率向容器里注水,求 注水时前 t s 水面上升的平均速率, 并说明由此 得出什么结论. 解: 设注水 t s 时, 水面高度为 y cm, 此时水面半径为 x cm. y x r 则h= r ,∴x=hy, π 2 πr2y3 由题意知 nt= x y= 2 , 3 3h 3 3nh2 3 ∴y= · t, πr2 在[0,t]内水面上升的平均速率为: 3 3

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