2.1.2求曲线的方程(张用)_图文

2.1.2求曲线的方程

方程的曲线和曲线的方程: 一、

⑴曲线上的点的坐标都是方程的解; ⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上; 就说这条曲线是这个方程的曲线,这个方程是 这条曲线的方程. 形成

二、坐标法

解析几何

y

在平面上建立直角坐标系: 一一对应 ???? 坐标(x,y) ? 点 坐标化 曲线 ???? 曲线的方程 ?
平面解析几何研究的主要问题是:
研究

f(x,y)=0
0 x

迪卡尔

1.求曲线的方程; 2.通过方程研究曲线的性质.





2.坐标法和解析几何的本质、基本问题.
坐标法——对于一个几何问题,在建立直角坐标系的基础上,用坐标表示
点,用方程表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质, 这一研究几何问题的方法称为坐标法。

解析几何的本质——用代数的方法来研究几何问题。

解析几何的两大基本问题——
(1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程。(由曲线来求出方程) (2)通过方程,研究平面曲线的性质。(由方程来研究曲线)

二、例题分析
例1、设A、B两点的坐标是 (-1, -1)、(3,7),求线 段AB的垂直平分线方程 .
y B M

0

x

A

例1:如果A,B两点的坐标是(-1,-1),(3,7),动点P 到A,B的距离相等. 你知道动点P的轨迹是什么吗? 如何证明你的结论?

解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分 线上任意一点,也就是点M属于集合

y

B
C

P ? ?M | MA |?| MB |?

由两点间的距离公式,点M所适合 条件可表示为:
0

( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( x ? 3) ? ( y ? 7)
2 2 2

x
曲线的方程

2

A

将上式两边平方,整理得: x+2y-7=0



问题 1. 设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.

如何求曲线的方程?
法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求.

1 7 ? (?1) 解:∵ k AB ? ? 2 ,∴所求直线的斜率 k = ? 3 ? (?1) 2 ?1 ? 3 ?1 ? 7 又∵线段 AB 的中点坐标是 ( , ) 即(1,3) 2 2 1 ∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 1) . 2 法二:若没有现成的结论怎么办? 即 x+2y-7=0
──需要掌握一般性的方法

问题 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 AB 的垂直平分线的方程. 我们的目标就是要找x与y的关系式
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 |MA|=|MB|
2 2

需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
2 2

坐标化 ∴ ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( x ? 3) ? ( y ? 7) ∴ x2 ? 2 x ? 1 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? x 2 ? 6 x ? 9 ? y 2 ? 14 y ? 49 化简
⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点 的坐标都是方程 x ? 2 y ? 7 ? 0 的解;

∴ x ? 2 y ? 7 ? 0 (Ⅰ)

证明

⑵设点 M 1 的坐标 ( x1 , y1 ) 是方程(Ⅰ)的解,即 x1 ? 2 y1 ? 7 ? 0 ∵上面变形过程步步可逆,∴ ( x1 ? 1)2 ? ( y1 ? 1)2 ? ( x1 ? 3)2 ? ( y1 ? 7) 2 M 1 A ? M 1B

综上所述,线段 AB 的垂直平分线的方程是 x ? 2 y ? 7 ? 0 . 1 方法小结

变式1:已知等腰三角形底边的两个端点是A (-1, -1) 、B(3,7) ,求第三个顶点C的轨迹方 y 程.
B

x+2y-7=0,且不过点(1,3)

C

注:求得的轨迹方程要与动点 的轨迹一一对应,否则要“多 退少补”,多余的点要剔除(用 x,y的取值范围来限制),不足 的点要补充.

0

x

A

求曲线方程的方法步骤是什么? (1)设(建系设点) --- M(x,y) (2)写(写等量关系)--- P={M|M满足的条件} (3)列(列方程)

(4)化(化简方程)
(5) 检验

1.建系设点-- 建立适当的直角坐标系,用有
序实数对(x,y)表示曲线上任一点M的坐标;
(如果题目中已确定坐标系就不必再建立)

2.寻找条件-- 写出适合条件P的点M的集合 3.列出方程--用坐标表示条件p(M),列出 方程f(x,y)=0; 4.化简--化方程f(x,y)=0为最简形式;

5.证明--证明以化简后的方程的解为坐标的
点都是曲线上的点。
(不要求证明,但要检验是否产生增解或漏解.)

直接法求曲线方程的一般步骤:
1. 建系:建立适当的直角坐标系(如果已给出,本步
骤省略);

2. 设点:设曲线上任意一点的坐标(x,y);

3. 列式:根据曲线上点所适合的条件,写出等式;
4. 化简:用坐标x、y表示这个等式,并化方程为最简
形式;

5. 证明:验证化简后的方程的解为坐标的点都是曲
上的点.(一般变为确定点的范围即可)

总结:
求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤: 一、建立适当的坐标系,设曲线上任一点的坐 标,及相关点的坐标; 二、(限)找条件,由条件(代)列方程; 三、化简方程. 证明所得方程(可以省略)为所求的曲线方程.

以上步骤用一句话概括就是:建设现(限)代化. ... . .. . .

建立适当的坐标系的原则:
1.若曲线是轴对称图形,则可以选它的对 称轴为坐标轴; 2.可以选曲线上的特殊点作为原点; 3.应充分利用条件中的定点,定直线等条 件.

例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一 点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适 当的坐标系,求这条曲线的方程.

y
(0, F. 2)
0

.M
B

( x, y )

l

x

课堂练习: 练习 1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4) 的距离相等,求点 M 的轨迹方程.
解:设点 M 的坐标为(x,y) ∵点 M 与 x 轴的距离为 y ,
FM ? x ? ( y ? 4)
2 2

∴ y = x ? ( y ? 4)
2
2 2 2

2

∴ y ? x ? y ? 8 y ? 16 2 ∴ x ? 8 y ? 16 这就是所求的轨迹方程.

思考:( P

活用几何性质来找关系

37 如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的 轨迹方程. y

练习第 3 题)

B

M
0

( x, y ) C
A

?

x

几种常见求轨迹方程的方法
1.直接法
由题设所给(或通过分析图形的几何性 质而得出)的动点所满足的几何条件列 出等式,再用坐标代替这等式,化简 得曲线的方程,这种方法叫直接法.

例1.求到x轴距离等于2的点的轨迹方程。
分析:动点P的轨迹很容易知道就是两条平行

于x轴的直线,所以根据图形的几何特点直接
可以写出轨迹方程为:y=±2。

直接法:由题设所给(或通过分析图形的 几何性质而得出)的动点所满足的几何条 件列出等式,再用坐标代替这等式,化简 得曲线的方程。

练习:动点M与距离为2a的两个定点A,B的连线 的斜率之积等于-1/2,求动点M的轨迹方程。
解:如图,以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线

为y轴,建立平面直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0)。
M .

.

.
B

A

设M(x,y)是轨迹上的任意一点,则 y y kMA ? ,k M B ? , ? ?a) (x x?a x?a 1 y y 1 ?kMA ? kMB ? ? , ? ? ?? . 2 x?a x?a 2 化 简 , 得:x2 ? 2y2 ? a2 (x ? ?a)

(1)

由上可知,动点M的轨迹上的任一点的坐标都满足方程 (1);容易证明,以方程(1)的解为坐标的点都在轨 迹上。所以,方程(1)就是动点M的轨迹方程。

练 习 1
1.到F(2,0)和Y轴的距离相等的动点的
轨迹方程是:__________________ y2=4(x-1) 2.在三角形ABC中,若|BC|=4,BC边上的中线 AD的长为3,求点A的轨迹方程. x2+y2=9(y≠0)

2.相关点法
若动点P(x,y)随已知曲线上的点 Q(x0,y0)的变动而变动,且x0、 y0可用x、y表示,则将Q点坐标表 达式代入已知曲线方程,即得点P 的轨迹方程。这种方法称为相关 点法(或代换法、坐标转移法)。

(2) 相关点法 (代入法, 坐标转移法, 代换法) : 对于两个动点 P( x0 , y0 ), Q( x, y ) ,点 P 在已知曲线 上运动导致点 Q 运动形成轨迹时,只需根据条件 找到这两个点的坐标之间的等量关系并化为 ? x0 ? f ( x, y ) ? ? y0 ? g ( x, y ) 然后将其代入已知曲线的方程即得到点 Q 的轨迹 方程.
规律技巧:在求轨迹方程时经常遇到已知一动点的轨迹方程, 求另一动点的轨迹方程的问题,而解决这类问题的解法称 为代入法(或相关点法).而此法的关键是如何来表示出相关 的点.

例、如下图,已知线段AB的端点B的坐标是(4,3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点 M的轨迹方程.
y

M

B

A
o x

解:设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是 ,由 于点B的坐标是(4,3),且点M是线段AB的中点,所 以 x ?4 y ?3

x?

0

于是有

x0 ? 2 x ? 4, y0 ? 2 y ? 3
2 2

2

,y?

0

2



因为点A在圆(x+1)? =4上运动,所以点A的坐标满足 +y? 方程(x+1)? =4, +y?

即:(x0 ? 1) ? ( y0 ? 1) ? 4
把①代入②中,得(2x-4+1)? +(2y-3)? =4



3 2 3 2 整理得:x ? ) ? ( y ? ) ? 1 ( 2 2

3 3 所以,点M的轨迹是以( , ) 为圆心,半径长是1的圆。 2 2

练习:点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上任意一 点,若AP的中点为M,当P在圆上运动时,求点M的 轨迹方程. 分析:利用中点坐标公式,把P点的坐标用M的坐标 表示,利用代入法,代入圆的方程即可.
解 :由题意, 设点M的坐标为? x, y ? , 点P的坐标为? x 0 , y 0 ? , 则 ?2 x ? x0 ? 3, ? x0 ? 2 x ? 3, ?? 又 ? ? x 0 , y0 ? 在圆x 2 ? y 2 ? 1上, ? ? 2 y ? y0 , ? y0 ? 2 y. 3 2 1 2 2 2 ? ? 2x ? 3? ? 4y ? 1,? ( x ? ) ? y ? . 2 4

例2在圆x? =4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段 +y? PD,D为垂足。当点P在圆上运动时,线段PD的中点 M的轨迹是什么?为什么? y
P

解:设点M的坐标为( x, y ), 点P的坐标为( x0 , y0 ),
y0 由D的坐标为( x0 ,0), 则x ? x0 , y ? . 2
o

M D x

因为点P ( x0 , y0 )在圆x ? y ? 4上,所以x0 ? y0 ? 4
2 2 2 2

把x0 ? x, y0 ? 2 y代入方程,得x ? 4 y ? 4,
2 2

x2 即 ? y 2 ? 1.所以点M的轨迹是一个圆。 4

相关点 法

x 2 ? y 2 ? 25 上的动点, D 是 P 在 x 轴 例 4. 如图, P 是圆 设 点
4 | MD |? | PD | .当 P 在圆上运动 上投影,M 为 PD 上一点,且 5

时,求点 M 的轨迹 C 的方程。

解:设点 M 的坐标是(x,y) , P 的坐标是 ( x p , y p ) , 因为点 D 是 P 在 x 轴上投影, M 为 PD 上一点,且 | MD |?
4 | PD | , 5

x p ? x ,且 y p ? 5 y , 所以 4
5 x 2 ? ( y ) 2 ? 25 , ∵P 在圆 x ? y ? 25 上,∴ 4 x2 y 2 整理得 25 ? 16 ? 1 ,
2 2

即C

x2 y 2 的方程是 25 ? 16 ? 1 .

作业(选做题):1. 动点在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上移动时,它与 定点 B(3,0) 连线的中点的轨迹方程是( C ) 2 2 2 2 (A) ( x ? 3) ? y ? 4 (B) ( x ? 3) ? y ? 1 3 2 1 2 2 2 (C) (2 x ? 3) ? 4 y ? 1 (D) ( x ? ) ? y ? 2 2 2.点 M ( x, y ) 与定点 F (1, 0) 距离和它到直线 x ? 8 的距离 1 的比为 ,则动点 M 的轨迹方程为( D ) 2
x2 y2 (A) ? ? 1 4 3
x2 y2 (C) ? ?1 16 12

x2 y2 (B) ? ? 1 8 7

(D) 3x 2 ? 4 y 2 ? 8x ? 60 =0

例4:过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于 A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解:解法1:设点M的坐标为(x,y). ∵M为线段AB的中点, ∴A的坐标为(2x,0),B的坐标为(0,2y).

∵l1⊥l2,且l1、l2过点P(2,4), ∴PA⊥PB,kPA·kPB=-1.

4?0 4 ? 2y 而k PA ? (x ? 1), k PB ? , 2 ? 2x 2?0 2 2? y ? ? ? ?1( x ? 1). 1? x 1

整理得x+2y-5=0(x≠1). ∵当x=1时,A?B的坐标分别为(2,0)?(0,4), ∴线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0. 综上所求,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.
规律技巧:在平面直角坐标系中,遇到垂直问题,常利用斜率之

积等于-1解题,但需注意斜率是否存在,即往往需要讨论,如
解法1.求轨迹方程有时利用平面几何知识更为方便快捷.

解法2:∵l1⊥l2,OA⊥OB, ∴O,A,P,B四点共圆,且该圆的圆心为M. ∴|MP|=|MO|.

∴点M的轨迹为线段OP的中垂线. 4?0 ? kOP ? ? 2, OP 的中点坐标为(1,2), 2?0 1 y ? 2 ? ? ( x ? 1), ∴点M的轨迹方程是
2

即x+2y-5=0. 在求曲线方程的过程中,根据题中所给几何特征,利用平面 几何知识将其转化为相应的数量关系得出方程,这种方法 叫做几何法。

思考:( P

37 如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的 轨迹方程. y

练习第 3 题)

B

法三:活用几何性质来找 M 关系
0

( x, y ) C
A

?

x

例2 设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M,且它们的斜率之积是-4/9,求点M的轨 迹方程。

解:设点M的坐标为( x, y ),因为点A的坐标是(?5,0), y 所以,直线AM的斜率k AM ? ( x ? ?5) x?5 y 同理,直线BM的斜率k BM ? ( x ? 5). x?5 y y 4 由已知有 ? ? ? ( x ? ?5) x?5 x?5 9

“杂点” 可不要 忘了哟

x2 y 2 化简,得点M的轨迹方程为 ? ? 1( x ? ?5) 25 100 9

例1:已知一曲线是与两个定 点O(0,0)、A(3,0)距离的比为 1/2 的点的轨迹,求此曲线 的方程。

练习:设两点A、B的距离为8,求 到A、B两点距离的平方和是50的动 点的轨迹方程。

例 4.经过原点的直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 y ? 9 ? 0 相交于 两个不同点 A、B,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. y 解:设 M ( x, y ) ,A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) A 2 2 x1 ? x2 ? ? x1 ? y1 ? 6 x1 ? 4 y1 ? 9 ? 0 ① ? ?x ? 2 ? 且? 2 则? M x2 ? y2 2 ? 6 x2 ? 4 y2 ? 9 ? 0 ② ? y1 ? y2 ? ?y ?

由①─②得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ?6( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0 y y1 ? y2 ∵ kOM ? k AB 即 ? (易知 x1 ? x2 )

? ?

2

B

? ?C

l

0

x

x x1 ? x2 ∴化简得 x 2 ? y 2 ? 3x ? 2 y ? 0 y y ∴ 2x ? ? 2 y ? 6 ? 4 ? 0 x x

∴所求轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 3x ? 2 y ? 0 (在已知圆内部一段弧对应的方程)

点差法

练习:如图,圆O1和圆O2的半径都等于1,O1O2=4,过动点 P分别作圆O1,圆O2的切线PM?PN(M,N分别为切点),使得

PM ? 2PN ,建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.

解:以O1O2的中点O为坐标原点,O1O2所在直线为x轴,建立直 角坐标系如图所示,则O1(-2,0),O2(2,0).

由已知 PM ? 2 PN , 得PM2=2PN2,
因为圆的半径为1,所以:PO21-1=2(PO22-1), 设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],即(x-6)2+y2=33. 故所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.

练习:平面α的斜线AB交α于点B,过定点A的动直线l与AB垂
直,且交α于点C,则动点C的轨迹是( A.一条直线 C.一个椭圆 B.一个圆 D.双曲线的一支 ) A

解析:设l与l′是动直线AC中的任意两条,则这两条直线确定一 个平面β,且斜线AB⊥β.由过平面外一点有且只有一个平

面与已知直线垂直,可知过定点A和AB垂直的直线都在β内,
故点C在平面α与β的交线上,故选A.

1.已知定点A(0,-1),动点P在曲线y=2x2+1 上移动,则线段AP的中点的轨迹方程是:___

2.已知点A(-1,0),B(2,0),动点M满足 2∠MAB=∠MBA,求点M的轨迹方程.

3.线段AB的长为10,两个端点A、 B分别在X轴正半轴上和Y轴正半 轴上滑动,求线段AB的中点M的 轨迹方程

3.参数法(交规法):
当动点P的坐标x,y之间的直接关系 不易建立时,可适当地选取中间变 量t,并用t表示动点的坐标x,y,从 而得到动点轨迹的参数方程? x ? f (t )
P x, y

,消去参数t,便得到动点的轨迹的 普通方程。

? ? y ? g (t )

4.定义法
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、 双曲线的定义、抛物线的定义直接写出 所求的动点的轨迹方程,这种方法叫做 定义法.这种方法要求题设中有定点与 定直线及两定点距离之和或差为定值的 条件,或利用平面几何知识分析得出这 些条件.

求曲线方程的过程中: 1.充分利用图形特点来挖掘几何条件列方程 可以使过程变得简洁.(数形结合!) 2.有时直接找曲线上的点的坐标满足的关系 是相当困难的,这时我们要巧妙地借助与它 相关的点来分析,会更容易发现问题中的代 数关系,从而列出方程.(相关点坐标分析法, 代入法)

例2.已知定点A(6,0),曲线C:x2+y2=4上的动点B, ???? 1 ???? ? 点M满足 AM ? MB ,求点M的轨迹方程.
2

y

B
M

代入法(坐标转移法):

x

O

A(6,0)

特征:所求(从)动点随已知曲线上的(主)动点的

变化而变化 方法:用从动点的坐标(x,y)表示主动点的坐标(x0,y0), 然后代入已知曲线方程,即的从动点轨迹方程.

x 2 ? y 2 ? 1. 例2、已知直角坐标平面上点Q(2,0) 和圆O:
动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数

? (? ? 0),

求动点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线?
y

M

N 0 Q

x

例3、求抛物线 y ? x 2 ? (2m ? 1) x ? m2 ? 1(m ? R) 的顶 点的轨迹方程。

(江苏,06)已知两点M(-2,0),N(2,0), 点P为坐标平面 ???? ???? ???? ??? ? ? ? 内的动点,满足 MN ? MP ? MN ? NP ? 0 。则动点P(x,y)的

轨迹方程为




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