2018一轮北师大版(理)数学第3章第1节角的概念的推广弧度制与任意角的三角函数_图文

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抓 基 础 · 自 主 学 习

第一节
明 考 向 · 题 型 突 破

角的概念的推广、 弧度制与任意角的三角函数

课 时 分 层 训 练

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[考纲传真]

1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念.2.能进行弧度与角度

的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

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1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内一条射线绕着 端点从一个位置旋转到另一个位 置所形成的图形.
? ?按旋转方向不同分为正角、负角、零角. (2)分类? ? ?按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(3)终边相同的角:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个 集合 S={β|β=α+k· 360° ,k∈Z}.

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2.弧度制的定义和公式 (1)定义:在单位圆中,长度为 1 的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角,弧度 记作 rad. (2)公式:①角度与弧度的换算:
?180? π ? a.1° = rad;b.1 rad=? . ? π ?° 180 ? ?

②弧长公式:l=|α|r. 1 12 ③扇形面积公式:S= lr= r α. 2 2

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3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切

设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 定义

y 叫作 α 的正弦, 记
作 sin α

y x 叫作 α 的余弦, 记 叫作 α 的正切, x 作 cos α 记作 tan α

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各象 限符 号

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ

+ + - -

+ - - +

+ - + -

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三角函数 线 有向线段 MP 为正弦 有向线段 OM 为余弦 有向线段 AT 为正 线 线 切线

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1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)小于 90° 的角是锐角.( ) ) )

(2)锐角是第一象限角,反之亦然.(

(3)角 α 的三角函数值与终边上点 P 的位置无关.( (4)若 α 为第一象限角,则 sin α+cos α>1.( )

[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√

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2.(2017· 西宁复习检测(一))若 cos θ>0,且 sin 2θ<0,则角 θ 的终边所在 象限为( ) B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限

D [由 cos θ>0,sin 2θ=2sin θ cos θ<0 得 sin θ<0,则角 θ 的终边在第四 象限,故选 D.]

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3.(教材改编)已知角 α 的终边与单位圆的交点为
?1 ? M?2,y?,则 ? ?

sin α=(

)

【导学号:57962131】 3 A. 2 2 C. 2 3 B.± 2 2 D.± 2
2

B [由题意知|r| 3 ± .] 2

?1?2 =?2? +y2=1,所以 ? ?

3 y=± 2 .由三角函数定义知 sin α=y=

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4.在单位圆中,200° 的圆心角所对的弧长为(

) 【导学号:57962132】

A.10π 9 C.10π

B.9π 10 D. 9 π

π 10 D [单位圆的半径 r=1,200° 的弧度数是 200×180= 9 π,由弧度数的定义 10 10 l 得 π=r,所以 l= π.] 9 9

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5.已知半径为 120 mm 的圆上,有一条弧长是 144 mm,则该弧所对的圆心 角的弧度数为________rad.

l 144 1.2 [由题意知 α=r=120=1.2 rad.]

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角的有关概念及其集合表示

α (1)若角 α 是第二象限角,则 是( 2 A.第一象限角 C.第一或第三象限角

)

B.第二象限角 D.第二或第四象限角

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(2)已知角 α 的终边在如图 311 所示阴影部分表示的范围内(不包括边界), 则角 α 用集合可表示为________.

图 311

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(1)C
? π 5 ? (2)?2kπ+4,2kπ+6π?(k∈Z) ? ?

[(1)∵α 是第二象限角,

π ∴2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z, π α π ∴ +kπ< < +kπ,k∈Z. 4 2 2 α 当 k 为偶数时, 是第一象限角; 2 α 当 k 为奇数时,2是第三象限角. α 综上,2是第一或第三象限角.

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?π 5 ? (2)在[0,2π)内,终边落在阴影部分角的集合为?4,6π?, ? ? ? π 5 ? ∴所求角的集合为?2kπ+4,2kπ+6π?(k∈Z).] ? ?

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[规律方法]

1.与角 α 终边相同的角可以表示为 β=2kπ+α(k∈Z)的形式,α

是任意角;相等的角终边一定相同,终边相同的角不一定相等;角度制与弧度 制不能混用. α α 2.由 α 所在象限,判定2所在象限,应先确定2的范围,并对整数 k 的奇、 偶情况进行讨论.

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k k [变式训练 1] (1)设集合 M={x∣x= · 180° +45° , k∈Z}, N={x∣x= · 180° 2 4 +45° ,k∈Z},那么( A.M=N C.N ? M ) B.M ? N D.M∩N=?

(2)已知角 α=45° , 在区间[-720° , 0° ]内与角 α 有相同终边的角 β=________. 【导学号:57962133】

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(1)B (2)-675° 或-315° [(1)法一:由于 ={?,-45° ,45° ,135° ,225° ,?},
? ? ? k ? 180° +45° ,k∈Z N= x?x=4· ? ? ?

? ? ? k ? ? 180° +45° ,k∈Z M= x x=2· ? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ?={?,-45° ,0° ,45° ,90° ,135° ,180° , ? ?

225° ,?},显然有 M ? N,故选 B.

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k 法二:由于 M 中,x=2· 180° +45° =k· 90° +45° =(2k+1)· 45° ,2k+1 是奇 数; k 而 N 中,x=4· 180° +45° =k· 45° +45° =(k+1)· 45° ,k+1 是整数,因此必有 M ? N,故选 B. (2)由终边相同的角的关系知 β=k· 360° +45° ,k∈Z, ∴取 k=-2,-1,得 β=-675° 或 β=-315° .]

高三一轮总复习 扇形的弧长、面积公式

(1)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角; (2)已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角分别取何值时,扇形的面积最 大?

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[解] (1)设圆心角是 θ,半径是 r,则 2r+rθ=10, r=4, ? ? ? ? ? ?r=1, ?1 2 解得? (舍去)或? 1 ? θ· r =4, θ= , ?θ=8 ? ? ?2 ? 2 1 ∴扇形的圆心角为2. 5分

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(2)设圆心角是 θ,半径是 r,则 2r+rθ=40. 1 2 1 又 S= θr = r(40-2r)=r(20-r)=-(r-10)2+100≤100. 2 2

7分 9分

当且仅当 r=10 时,Smax=100,此时 2×10+10θ=40,θ=2,∴当 r=10, θ=2 时,扇形的面积最大. 12 分

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[规律方法]

1.(1)在弧度制下,计算扇形面积和弧长比在角度制下更方便、

简捷;(2)从扇形面积出发,在弧度制下把问题转化为关于 R 的二次函数的最值 问题(如本例)或不等式问题来求解. 1 1 2.利用公式:(1)l=|α|R;(2)S=2lR;(3)S=2|α|R2.其中 R 是扇形的半径,l 是弧长,α(0<α<2π)为圆心角,S 是扇形面积,知道两个量,可求其余量.

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[变式训练 2] 已知半径为 10 的圆 O 中,弦 AB 的长为 10, (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小; (2)求 α 所在的扇形弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S.

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[解] (1)在△AOB 中,AB=OA=OB=10,∴△AOB 为等边三角形,因此 π 弦 AB 所对的圆心角 α= . 3 π 10π (2)由扇形的弧长与扇形面积公式,得 l=|α|· R=3×10= 3 , 1 1 50π 2 S 扇形= R· l= |α|· R= . 2 2 3 1 π 又 S△AOB=2· OA· OB· sin3=25 3, ∴S 弓形=S
?π ? 扇形-S△AOB=50? - ?3

5分

9分

3? ? . 2? ?

12 分

高三一轮总复习 三角函数的定义
(1)(2014· 全国卷Ⅰ)若 tan α>0,则( A.sin α>0 C.sin 2α>0 B.cos α>0 D.cos 2α>0 )

(2)(2016· 河南中原名校第三次联考)已知角 α 的终边经过点 A(- 3,a),若 1 2 点 A 在抛物线 y=- x 的准线上,则 sin α=( 4 3 A.- 2 3 B. 2 1 C.-2 ) 1 D.2

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(1)C (2)D [(1)由 tan α>0 知角 α 是第一或第三象限角,当 α 是第一象限 角时,sin 2α=2sin αcos α>0;当 α 是第三象限角时,sin α<0,cos α<0,仍有 sin 2α=2sin αcos α>0,故选 C. 1 2 (2)抛物线方程 y=-4x 可化为 x2=-4y, ∴抛物线的准线方程为 y=1. 1 2 ∵点 A 在抛物线 y=- x 的准线上, 4 1 1 y ∴A(- 3,1),由三角函数的定义得 sin α=r = 2 2=2.] ?- 3? +1

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[规律方法]

1.用定义法求三角函数值的两种情况.

(1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标,则可先求出点 P 到原点的距离 r,然后 用三角函数的定义求解; (2)已知角 α 的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出 此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题. 2.确定三角函数值的符号,可以从确定角的终边所在象限入手进行判断.

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[变式训练 3] (1)(2016· 山东聊城期中)设 α 是第二象限角,P(x,4)为其终边 1 上的一点,且 cos α= x,则 tan 2α=( 5 ) 【导学号:57962134】 24 A. 7 12 C. 7 24 B.- 7 12 D.- 7

(2)函数 y= 2cos x-1的定义域为________.

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(1)A x 2 2. x +4 1 1 x ∵cos α=5x,∴ 2 2=5x, x +4 又 α 是第二象限角,∴x<0,故可解得 x=-3, 3 4 2 ∴cos α=- ,sin α= 1-cos α= , 5 5 sin α 4 2tan α 24 ∴tan α=cos α=-3,∴tan 2α= .故选 A. 2 = 7 1-tan α
? π π? (2) ?2kπ-3,2kπ+3? (k∈Z) ? ?

[(1) 由三角函数的定义可得 cos α =

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(2)∵2cos x-1≥0,
1 ∴cos x≥ . 2 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).
? π π? ∴x∈?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z).] ? ?

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[思想与方法] 1.在利用三角函数定义时,点 P(x,y)可取终边上任意一点,若点 P 在单 y y x 位圆上,则 sin α=y,cos α=x,tan α=x;若|OP|=r,则 sin α=r ,cos α=r ,tan y α=x. 2.三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3.利用单位圆和三角函数线是解三角不等式的常用方法.

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[易错与防范] 1.第一象限角、锐角、小于 90° 的角是三个不同的概念,前者是象限角, 后两者是区间角. 2.角度制与弧度制可利用 180° =π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的 度量制必须一致,不可混用. 3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情 况.


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