吉林省吉林市普高2017届高三第二次调研数学(理)试题及答案

吉林省普通中学 2016—2017 学年度高中毕业班第二次调研 考试 数学(理科)试题
一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项 符合题目要求. 1. 已知 U ? R, M ? ?x | ?1 ? x ? 2? N ? ?x | x ? 3?, 则 ? CU M ? ? N ? A. C.

?x | x ? ?1或2 ? x ? 3? ?x | x ? ?1或2 ? x ? 3?
2 ,则 ?1 ? i

B.

?x | 2 ? x ? 3?

D. ?x | 2 ? x ? 3?

2. 已知复数 z ?

A. z 的模为 2 B. z 的模为 1 3. 下列关于命题的说法错误的是
2

C.

z 的虚部-1

D. z 的共轭复数为 1 ? i
2

A.命题“ x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题是“ x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ” B. “ a ? 2 ”是“函数 f ? x ? ? loga x 在区间 ? 0, ?? ? 上为增函数”的充分不必要条件 C. 若命题 p : ?n ? N , 2 ? 1000 ,则 p : ?n ? N , 2 ? 1000
n n

D.命题 "?x ? ? ??,0? , 2x ? 3x " 是真命题 4. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? 7, b ? 3, c ? 2 ,则 ? A ? A.

30?

B. 45

?

C. 60

?

D. 90

?

5. 函数 f ? x ? ?

1 ? ln x 的图象大致是 x

6. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果是 A. -2 B.

?
2

C. -1

D. 2

7. 设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列,满足 a4 ? a5 ? a6 ? a7 ,则该数列的前 10 项和 S10 ?
2 2 2 2

A. -10 B. -5 C. 0 D. 5 8. 某个几何体的三视图如图所示,若该几何体的所有顶点都在一个球面 上,则该球面的表面积是 A. 4? B.

28? 3

C.

44? 3

D. 20?

9. 已知 f ? x ? ? 3sin x cos x ? sin2 x ,把 f ? x ? 的图象向右平移

? 个 12

单位,再向上平移 2 个单位,得到 y ? g ? x ? 的图象,若对任意的实数 x ,都有 g ?? ? x ? ? g ?? ? x ? 成立,则 g ? ? ? A. B.

? ?

??

?? ? ?? g? ? ? 4? ?4?
C. D.

, D 10. 在 等 腰 直 角 ?ABC 中 , A C ? B C 在 边 AB 上 且 满 足 : C D? t C A ??1 ? ? t C, B若

? ? ??

? ???

? ? ??

?ACD ? 60? ,则 t 的值为
A.

3 ?1 2

B.

3 ?1

C.

3? 2 2

D.

3 ?1 2

11. 已知双曲线 C1 :

x2 x2 y 2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C2 : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , 4 a b

M 是双曲线 C2 的一条渐近线上的点,且 OM ? MF2 ,O 为坐标原点,若 S?OMF2 ? 16 ,且 C1 , C2 双 曲线的离心率相同,则双曲线 C2 的实轴长是 A. 32 B. 16 C. 8 D. 4

x ?1 ? ?e , x ? 0 12. 已知函数 f ? x ? ? ? ,若关于 x 的方程 f 2 ? x ? ? 3 f ? x ? ? a ? 0 ? a ? R ? 有 8 个 2 ? ?? x ? 2 x ? 1, x ? 0

不等的实数根,则 a 的取值范围是

A.

? 1? ? 0, ? ? 4?

B.

?1 ? ? ,3 ? ?3 ?

C.

?1, 2?

D. ? 2,

? ?

9? ? 4?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

?x ? y ? 2 ??? ? ???? ? ? 13.已知 O 是坐标原点,点 A ? ?1,1? ,若点 M ? x, y ? 为平面区域 ? x ? 1 上一动点,则 OA ? OM 的 ?y ? 2 ?
取值范围为

? ? ? ? ? ? ? ? 14.已知 a ? b ? 2 , a, b 的夹角为 45 ,且 ? b ? a 与 a 垂直,则实数 ? ?

.

.

15.过抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,若 AF ? 3 BF ,则直线 l 的斜 率为 . 16.艾萨克牛顿(1643 年 1 月 4 日——1727 年 3 月 31 日)英国皇家学会会长,英国著名物理学家, 同时在数学上也有去多杰出的贡献,牛顿用“作切线”的方法求函数 f ? x ? 零点时给出一个数列 ?xn ? 满足: xn?1 ? xn ?

f ? xn ? ,我们把该数列叫做牛顿数列。如果函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 有两 f ? ? xn ?
xn ? 2 ,已知 a1 ? 2, xn ? 2 ,则 ?an ? 的通项公式 xn ? 1

个零点 1,2 ,数列 ?xn ? 为牛顿数列,设 an ? ln

an ?

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.(本题满分 10 分)已知函数 f ? x ? ? M sin ?? x ? ? ? ? M ? 0, ? ? (1) 求函数 f ? x ? 的解析式; ( 2 )在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若

? ?

??

? 的部分图象如图所示. 2?

? 2a ? c? cos B ? b cosC,求 f ?

? A? ? 的取值范围. ?2?

18.(本题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 是等比数列, Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a3 ? 3, S3 ? 9. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? log 2

3 a2 n ?3

,且 ?bn ? 为递增数列,若 cn ?

4 ,求证: c1 ? c2 ? ? ? cn ? 1. . bnbn ?1

19.(本题满分 12 分) 某车间 20 名工人年龄数据如下表:

(1)求这 20 名工人年龄的众数与平均数; (2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这 20 名工人年龄的茎叶图; (3)从年龄在 24 和 26 的工人中随机抽取 2 人,求这 2 人均是 24 岁的概率.

20.(本题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,且 ?ABC ? 120 ,点 E 是棱 PC 的中点,平
?

面 ABE 于棱 PD 交于点 F. (1)求证: AB // EF ; (2) 若 PA ? PD ? AD ? 2 , 平面 PAD ? 平面 ABCD , 求平面 PAF 与平面 AEF 所成的二面角的余弦值.

21.(本题满分 12 分) 如图,椭圆 E :

??? ? ??? ? x2 y 2 ? 2 ? 1? 0 ? b ? 2 ? ,点 P ? 0,1? 在短轴 CD 上,且 PC ? PD ? ?2. 4 b

(1)求椭圆 E 的方程及离心率; (2)设 O 是坐标原点,过点 P 的直线与椭圆交于 A,B 两点, 是否存在常数 ? ,使得 OA ? OB ? ? PA ? PB 为定值?若存在, 求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

22.(本题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? ? x ? b ? ln x, g ? x ? ? a ln x ? 的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直. (1)求 b 的值; (2)若对任意的 x ? 1 ,都有 g ? x ? ?

1? a 2 x ? x ? a ? 1? , 已知曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处 2

a ,求 a 的取值范围. a ?1

吉林市普通中学 2016—2017 学年度高中毕业班第二次调研测试

数 学(理科)参考答案与评分标准
一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符 合题目 二、 空 本 题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. 1 A 2 C 3 D 4 C 5 B 6 B 7 C 8 B 9 A 10 A 11 B 12 D 填 题: 大

[0, 2] ;

14.

2 ;

15.

? 3;

16. 2n

三、解答题

5? ? ? ) ? ? , ? ? 2 ----------------------------------------------------3 分 12 6 ? ? ? ? 将点 ( ,1) 代入解析式得 sin( ? ? ) ? 1, 因为 | ? |? ,所以 ? ? 6 2 6 3
17 解: (1)由图象知 A=1,

T ? 4(

所以

f ( x) ? sin(2 x ? ) 6

?

--------------------------------------------------------------------------5 分

(2)由

(2a ? c )cos B ? b cos C 得: (2sin A ? sin C )cos B ? sin B cos C

所以 2sin A cos B ? sin( B ? C ),2sin A cos B ? sin A

1 ? 2? -------------------------------8 分 ,B ? , A?C ? 2 3 3 ? 1 A ? 2? ? ? 5? ,所以 sin( A ? ) ? ( ,1] f ( ) ? sin( A ? ),0 ? A ? , ? A? ? 6 2 2 6 3 6 6 6 A 1 所以 f ( ) ? ( ,1] ------------------------------------------------------------------------10 分 2 2
因为 A ? (0, ? ) ,所以 sin A ? 0 ,所以 cos B ?

18. (本小题满分 12 分)解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q, 当 q ? 1 时,符合条件, a1 ? a3 ? 3 ,an=3 -----------------------------------2 分

? a1q 2 ? 3 2 ? ? 1 ? a1q ? 3 3 q ? 1 ----5 分 当 时, ? a1 (1 ? q ) 所以 ? ,解得 a1 ? 12, q ? ? 2 2 ?9 a1 (1 ? q ? q ) ? 9 ? ? ? ? 1? q
1 ?1 an ? 1 2 ? ( ? n) 2

n ?1 综上:an=3 或 an ? 12 ? ( ? )

1 2

---------------------------------------------------6 分

2 ? ? a1q ? 3 注:列方程组 ? 求解可不用讨论 2 ? ? a1 ? a1q ? a1q ? 9

(Ⅱ)证明:若 an=3,则 bn=0,与题意不符;

3 1 1 ? log 2 22 n ? 2n a2 n? 3 ? 12 ? ( ? )2 n? 2 ? 3 ? ( )2 n , bn ? log 2 a2 n? 3 2 2 cn ? 4 1 1 1 ? ? ? bn bn?1 n( n ? 1) n n ? 1

-----------------8 分

----------------------------------------------------10 分

1 1 1 1 1 1 c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ?1 2 2 3 n n?1 n?1
19. (本小题满分 12 分) 解 (Ⅰ) 由题意可知,这 20 名工人年龄的众数是 30,

---------12 分

--------------------------------2 分

这 20 名工人年龄的平均数为

x =20(19+3×28+3×29+5×30+4×31+3×32+40)=30,------------------------------4 分
(Ⅱ) 这 20 名工人年龄的茎叶图如图所示:

1

------------------------------------------7 分 (Ⅲ) 记年龄为 24 岁的三个人为 A1,A2,A3;年龄为 26 岁的三个人为 B1,B2,B3 则从这 6 人中随 机抽取 2 人的所有可能为 {A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2}, {A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B,3},{A3,B1}, {A3,B2},{A,3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3}共 15 种。 ---------------------- 9 分

满足题意的有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3}3 种, 故所求的概率为 P=

------------------------------------- 11 分

3 1 ? 15 5

-----------------------------------------------------------12 分

注:理科学生用组合计算正确时,给满分
20. (本小题满分 12 分)
? AB ? 面PCD ------3 分 (1)证明:? ABCD 菱形,? AB ? CD 又 ? AB ? 面PCD, CD ? 面PCD,

? A, B, E , F四共面,且面ABEF ? 面PCD ? EF

? AB ? EF

------------5 分

(2)解: 取 AD 中点 G,连接 PG,GB,? PA ? PD,? PG ? AD,

? 平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD =AD
? PG ? 面ABCD

-----------------------------------------7 分

-----------------------------------------------------------------8 分

-----------------------------------------------------------------9 分

? ???? ? n ? ?AF ? 0 则有 ? ? ??? ? ? ? n?AB ? 0

? 3 3 z?0 3 1 ?? x ? , ? , ?1) ---11 分 ,取 z ? ?1 ,则 n ? ( ? 2 ? 2 3 3 ?? x ? 3 y ? 0 ?

3 ? ? ?? ? n?GB 13 ? ? 3 ?? cos ? n, GB ?? ? ?? ,二面角 P ? AF ? E 的余弦值为 ? 13 | n || GB | 13

? ? ??

13 ----11 分 13

3

所以平面 PAF 与平面 AEF 所成的二面角的余弦值为 ?

13 13

---------------------12 分

注:因为法向量方向不同得到两向量所成角的余弦值为正数,不影响最后结果,只要结 果正确,就可给分
21. (本小题满分 12 分)



(1)由已知,点 C,D 的坐标分别为(0,-b),(0, b).

→ ·PD → =-2,即 1- b 2 = -2 又点 P 的坐标为(0,1),且PC x2 y 2 解得 b =3 所以椭圆 E 方程为 + =1. 4 3
2

---------------------------3 分

因为 c=1,所以离心率 e=

1 2

----------------------------------------------4 分

(2)当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+1,A,B 的坐标分别为(x1,

? x2 y2 ?1 ? ? y1),(x2,y2). 联立 ? 4 得(4k2+3)x2+8kx-8=0. 3 ? y ? kx ? 1 ?
其判别式 Δ>0,所以,x1+x2=
? 8k ?8 ,x1x2= 2 2 4k ? 3 4k ? 3

--------------6 分

→ ·OB → +λPA → ·PB → =x x +y y +λx x +(y -1)(y -1)] 从而,OA 1 2 1 2 1 2 1 2 =(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 -----------------------------------8 分

4 ? 2? ? 8?1 ? ? ??1 ? k 2 ? ? 4k 2 ? 3 ? 2? ? 3 = = 2 2 4k ? 3 4k ? 3
所以,当 λ=2 时,
4 ? 2? ? 2? ? 3 =-7, 4k 2 ? 3

→ ·OB → +λPA → ·PB → =-7 为定值. 即OA

------------------------------------10 分

当直线 AB 斜率不存在时,直线 AB 即为直线 CD, → ·OB → +λPA → ·PB → =OC → ·OD → +2PC → ·PD → =-3-4=-7, 此时OA
→ → → → 故存在常数 λ=2,使得OA·OB+λPA·PB为定值-7. ------------------------12 分 22. (本小题满分 12 分)



(1)曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 2,所以 f′(1)=2,------------2 分
b +1,即 ln 1+b+1=2,所以 b=1. x

又 f′(x)=ln x+

-----------------4 分

(2) g(x)的定义域为(0,+∞), a ? 1-a? a g′(x)=x+(1-a)x-1= x ?x-1-a? (x-1). ? ? ----------------------------5 分

1 a ①若 a≤ , 则 ≤1, 故当 x∈(1, +∞)时, g′(x)>0, g(x)在(1, +∞)上单调递增. 所 2 1-a 以,对任意 x≥1,都有 g(x) > 1-a a a a 的充要条件为 g(1) > ,即 -1> , 2 a-1 a-1 a-1 1 ---------------------8 分 2

解得 a<- 2-1 或 2-1 <a≤

a ? 1 a ? ? a ? ②若 <a<1, 则 >1, 故当 x∈?1,1-a?时, g′(x)<0; 当 x∈?1-a,+∞?时, g′ 2 1-a ? ? ? ? a ? ? ? a ? (x)>0.f(x)在?1,1-a?上单调递减,在?1-a,+∞?上单调递增. ? ? ? ? 所以, 对任意 x≥1, 都有 g(x) > a a a ? a ? ? a ? 的充要条件为 g?1-a?> .而 g?1-a?=aln a-1 1-a ? ? a-1 ? ?

a2 a a 1 + + > 在 <a<1 上恒成立, 2(1-a) a-1 a-1 2 1 所以 <a<1 2 -----------------------------------------------10 分

③若 a>1,g(x)在 1,+∞)上递减,不合题意。 综上,a 的取值范围是( ? ? ,- 2-1)∪( 2-1,1). --------------------12 分

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