高中数学常用公式及结论整理


高中数学常用公式及结论 1 元素与集合的关系: x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A ? ? A ? A ? ?
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2 德摩根公式 : CU ( A
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B) ? CU A CU B; CU ( A B) ? CU A CU B

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3 包含关系
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A ? B ? A B ? A ? A B ? B ? CU B ? CU A ? A CU B ? ? ? CU A B ? R
4 元素个数关系:
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card ( A B) ? cardA ? cardB ? card ( A B) card ( A B C ) ? cardA ? cardB ? cardC ? card ( A B) ? card ( B C ) ? card (C
n n n

A) ? card ( A B C)
n

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5.集合 {a1 , a2 ,
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, an } 的子集个数共有 2 个;真子集有 2 ? 1 个;非空子集有 2 ? 1 个;
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非空的真子集有 2 ? 2 个 6 二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; (2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ;(当已知抛物线的顶点坐标 ( h, k ) 时,设为此式) (3) 零 点 式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) ; (当已知抛物线与 x 轴的交点坐标为

( x1,0),( x2 ,0) 时,设为此式)

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(4)切线式: f ( x) ? a( x ? x0 )2 ? (kx ? d ), (a ? 0) (当已知抛物线与直线 y ? kx ? d 相切
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且切点的横坐标为 x0 时,设为此式)
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7 解连不等式 N ? f ( x) ? M 常有以下转化形式

N ? f ( x) ? M ? [ f ( x) ? M ][ f ( x) ? N ] ? 0 ?
2
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? f ( x) ? N f ( x) ? N ?0 ?? M ? f ( x) ? f ( x) ? M

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8 方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 在 (k1 , k 2 ) 内有且只有一个实根 , 等价于 f (k1 ) f (k2 ) ? 0 或

b ? ? k2 ? k1 ? ? 2a ? 2 ? ?? ? b ? 4ac ? 0
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9 闭区间上的二次函数的最值
2 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ?

b 处及区间的 2a

两端点处取得,具体如下: (1)当 a>0 时,若 x ? ?

b b ? ? p, q ?,则 f ( x) min ? f (? ), f ( x) max ? max ? f ( p), f (q)? ; 2a 2a
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b ? ? p, q ?, f ( x)max ?max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ?min ? f ( p), f (q)? 2a b ? ? p, q ?,则 f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? , (2)当 a<0 时,若 x ? ? 2a b ? ? p, q ?,则 f ( x)max ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? 若x?? 2a x??
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10 一元二次方程 f ( x) ? x2 ? px ? q =0 的实根分布
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? p 2 ? 4q ? 0 ? (1)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m,??) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p ; ? ? m ? ? 2 (2)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为 p m ? n ?m ? n p ? ?m ? ? 2 ? 2 ? 2 ??2 ?n ? ? f (m) f (n) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 ; ? ? f ( n) ? 0 f ( m) ? 0 ? ? ? ? ? p 2 ? 4q ? 0 ? (3)方程 f ( x) ? 0 在区间 (??, m) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p ?? ? m ? 2
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11 定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? , ?? ?, ? ? , ?? ,??? 不同)上含参数的不
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等式 f ( x) ? t ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x)min ? t ,( x ? L) 件是 f ( x)max ? t ,( x ? L) 是 f ( x)max ? t ,( x ? L)

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(2)在给定区间 (??,??) 的子区间 L 上含参数的不等式 f ( x) ? t ( t 为参数)恒成立的充要条
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(3) 在给定区间 (??,??) 的子区间 L 上含参数的不等式 f ( x) ? t ( t 为参数)的有解充要条件
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(4) 在给定区间 (??,??) 的子区间 L 上含参数的不等式 f ( x) ? t ( t 为参数)有解的充要条 件是 f ( x)min ? t ,( x ? L) 12 真值表
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p 真 真 假 假

q 真 假 真 假

非p 假 假 真 真

p或q 真 真 真 假

p且q 真 假 假 假 13 常见结论的否定形式 原结论 反设词 至少有一个 一个也没有 至多有一个 至少有两个 至少有 n 个 至多有( n ? 1 )个 至多有 n 个 至少有( n ? 1 )个 p 或q ?p 且 ?q
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原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x ,成立 对任何 x ,不成立
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反设词 不是 不都是 不大于 不小于 存在某 x ,不成立 存在某 x ,成立

p 且q

?p 或 ?q

14 四种命题的相互关系:
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原命题 若 p则 q 互 否 否命题 若 ┐p则 ┐q
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互 逆 互 为 为 互 否

逆命题 若 q则 p 互 否 逆否命题 若 ┐q则 ┐p



逆 否

互 逆

15 充要条件(记 p 表示条件, q 表示结论) (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件 (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件 (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然 16 函数的单调性的等价关系
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(1)设 x1, x2 ??a, b? , x1 ? x2 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数 ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? x1 ? x2 (2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导, 如果 f ?( x) ? 0 , 则 f ( x) 为增函数; 如果 f ?( x) ? 0 , 则 f ( x) 为减函数 17 如果函数 f ( x) 和 g ( x) 都是减函数,则在公共定义域内 ,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减函数; 如果函数 f ( x) 和 g ( x) 都是增函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是增函数; 如果函 数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 在其对应的定义域上都是减函数 ,则复合函数 y ? f [ g ( x)] 是增函数; 如果函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 在其对应的定义域上都是增函数 ,则复合函数 y ? f [ g ( x)] 是增 函数; 如果函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 在其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数,则复 合函数 y ? f [ g ( x)] 是减函数

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

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18.奇偶函数的图象特征及简单判断: ①奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象 关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶 函数 ②设函数 g ( x) 、 h( x) 分别为奇函数、偶函数 f ( x) ? ag ( x) ? bh( x) . 若 a ? 0 时 f ( x) 为
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偶函数;若 b ? 0 时 f ( x) 为奇函数 19 常见函数的图像:
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y

y

y
y

y

k<0
o

k>0
x
o

a<0
x

2 -1
o1

1 y=x+ x
x

y=ax
0<a<1 1 a>1
o

y=logax
0<a<1 1 a>1
x

a>0

x o y=ax2+bx+c 20 对 于 函 数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒 成 立 , 则 函 数 f ( x) 的 对 称 轴 是
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y=kx+b

-2

x?

a?b a?b ;两个函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ? 对称 2 2 a 21 若 f ( x) ? ? f (? x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( ,0) 对称; 2 若 f ( x) ? ? f ( x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 为周期为 2 a 的周期函数
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22.多项式函数 P( x) ? an x ? an?1 x
n

n?1

?

多项式函数 P( x) 是奇函数 ? P( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零 多项式函数 P( x) 是偶函数 ? P( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零 23 函数 y ? f ( x) 的图象的对称性
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? a0 的奇偶性

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(1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) ? f (2a ? x) ? f ( x) (2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

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? f (a ? b ? mx) ? f (mx)
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a?b 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx ) 2

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24 两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称 (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ? (3)函数 y ? f ( x) 和 y ? f
?1

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a?b 对称 2m

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( x) 的图象关于直线 y=x 对称

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⑷ y ? f ( x) ? y ? f (? x) :将函数 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称得到的新的图像就是

y ? f (? x) 的图像;
y

y

d -c a
o

y=f(x)

d
c
x

y=f(-x)

-b

b

-a

?
?

-c

a

-b

o

b

-a

c

x

⑸ y ? f ( x) ? y ? ? f ( x) :将函数 y ? f ( x) 的图象关于 x 轴对称得到的新的图像就是

y ? ? f ( x) 的图像;
y
y

d -c a
o

y=f(x)
-c a -b
o

d b

y=-f(x)

-b

b

-a

c

x

-a

c

x

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⑹ y ? f ( x) ? y ?| f ( x) | :将函数 y ? f ( x) 的图象在 x 轴下方的部分对称到 x 轴的上方, 连同函数 y ? f ( x) 的图象在 x 轴上方的部分得到的新的图像就是 y ?| f ( x) | 的图像;
y

y

d -c a
o

y=f(x)

d
c
x

y=|f(x)|

-b

b

-a

?

-c

a

-b

o

b

-a

c

x

⑺ y ? f ( x) ? y ? f (| x |) : 将函数 y ? f ( x) 的图象在 y 轴左侧的部分去掉, 函数 y ? f ( x) 的图象在 y 轴右侧的部分对称到 y 轴的左侧,连同函数 y ? f ( x) 的图象在 y 轴右侧的部分得到 的新的图像就是 y ? f (| x |) 的图像.
y

y

d -c a
o

y=f(x)

d
c
x

y=f(|x|)

-b

b

-a

?

-c

a

-b

o

b

-a

c

x

25 若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象;
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若将曲线 f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图象 26.互为反函数的两个函数的关系: f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a
?1
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27 函数 y ? f ( x) 与其反函数 y ? f ( x) 的图像的交点不一定全在直线 y ? x 上 28 几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) ? cx ? f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c
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(2)指数函数 f ( x) ? a ? f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0
x

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(3)对数函数 f ( x) ? loga x ? f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1)
?
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(4)幂函数 f ( x) ? x ? f ( xy) ? f ( x) f ( y), f ?(1) ? ? (5)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) ,

f (0) ? 1, lim
x ?0
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sin x ?1 x

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29 几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x) 的周期 T=a;

1 1 ( f ( x) ? 0) ,或 f ( x ? a) ? ? ( f ( x) ? 0) ,则 f ( x) 的周期 T=2a; f ( x) f ( x) 1 ( f ( x) ? 0) ,则 f ( x) 的周期 T=3a; (3) f ( x) ? 1 ? f ( x ? a) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (4) f ( x1 ? x2 ) ? 且 f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1,0 ?| x1 ? x2 |? 2a) ,则 f ( x) 的 1 ? f ( x1 ) f ( x2 )
(2) f ( x ? a) ? 周期 T=4a;
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30 分数指数幂
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(1) a n ? (2) a
m ? n

m

n

a m ( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 )
m n

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?

1 a

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 )

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31.根式的性质 (1) ( n a )n ? a
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(2)当 n 为奇数时, n an ? a ; 当 n 为偶数时, n a n ?| a |? ? 32.有理指数幂的运算性质

?a, a ? 0 ??a, a ? 0
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ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) (2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) (3) (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? Q)
(1)
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注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 ap 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质, 对于无理数指数幂都适用
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33 指数式与对数式的互化式: loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0)
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34 对数的换底公式 : log a N ?
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log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ) log m a
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对数恒等式: a 推论 log a m b ?
n

log a N

? N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 )
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n log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 ) m

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35.对数的四则运算法则:若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则

M ? log a M ? log a N ; N n n (3) loga M n ? n loga M (n ? R) ; (4) log am N ? log a N (n, m ? R ) m 2 2 36 设函数 f ( x) ? logm (ax ? bx ? c)(a ? 0) , 记 ? ? b ? 4ac 若 f ( x) 的定义域为 R , 则 a ? 0 且 ? ? 0 ;若 f ( x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 37 对数换底不等式及其推广:设 n ? m ? 1 , p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则 2 m?n (1) logm? p (n ? p) ? logm n (2) log a m log a n ? log a 2 38 平均增长率的问题(负增长时 p ? 0 )
(1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; (2) log a
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如果原来产值的基础数为 N, 平均增长率为 p , 则对于时间 x 的总产值 y , 有 y ?N 1 ( ? p) 39 数列的通项公式与前 n 项的和的关系: an ? ?
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x
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n ?1 ? s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 ? sn ? sn ?1 , n ? 2

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sn ? a1 ? a2 ?
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? an )

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40 等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n 2 2 2 2 a n ?1 n * 41 等比数列的通项公式: an ? a1q ? 1 ? q (n ? N ) ; q
其前 n 项和公式为: sn ?
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? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? 其前 n 项的和公式为 sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q ? na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1 42 等比差数列 ?an ? : an?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为
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?b ? (n ? 1)d , q ? 1 ? an ? ? bq n ? (d ? b)q n ?1 ? d ; ,q ?1 ? q ?1 ? ?nb ? n(n ? 1)d , (q ? 1) ? 其前 n 项和公式为: sn ? ? d 1 ? qn d ( b ? ) ? n, (q ? 1) ? 1 ? q q ?1 1 ? q ?
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ab(1 ? b)n 43 分期付款(按揭贷款) :每次还款 x ? 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ) (1 ? b)n ? 1
44.常见三角不等式 (1)若 x ? (0, (2) 若 x ? (0,

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?

) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 2 (3) | sin x | ? | cos x |? 1
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?

2

) ,则 sin x ? x ? tan x

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45 同角三角函数的基本关系式 : sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? =
2 2
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sin ? , tan ? ? cot? ? 1 cos ?

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46 正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)
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n n ? ? n? (?1) 2 co s ? , ( n为偶数) ?(?1) 2 sin ? , ( n为偶数) n? ? sin( ? ? ) ? ? , co s( ??) ? ? n ?1 n ?1 2 2 ?(?1) 2 co s ? , ( n为奇数) ?(?1) 2 sin ? , ( n为奇数) ? ?

47 和角与差角公式
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s? i n c? o? s ? c o s ;? cos( sin ? ? ? ) ? cos ? cos ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 tan ? tan ? sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式);
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s i n? (? ? ? )

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cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ?
a sin ? ? b cos ? = b 定, tan ? ? ) a
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a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) ( 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 ( a, b) 的 象 限 决

48 二倍角公式及降幂公式
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sin 2? ? sin ? cos ? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

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cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ?
2 tan ? 1 ? tan 2 ? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? sin 2 ? ? , cos 2 ? ? 2 2 tan 2? ?
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1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ?

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49 三倍角公式
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sin 3? ? 3sin ? ? 4sin 3 ? ? 4sin ? sin( ? ? ) sin( ? ? ) 3 3

?

?

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cos 3? ? 4 cos3 ? ? 3cos ? ? 4 cos ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) 3 3 3 3tan ? ? tan ? ? ? tan 3? ? ? tan ? tan( ? ? ) tan( ? ? ) 2 1 ? 3tan ? 3 3
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?

?

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50 三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω, ? 为常数,且 A≠0)的周期
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T?

? 2? ? ;函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ? , k ? Z (A,ω, ? 为常数,且 A≠0)的周期 T ? 2 |? | |? | a b c ? ? ? 2 R (R 为 ?ABC 外接圆的半径) 51 正弦定理 : sin A sin B sin C ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C
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52 余弦定理
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a ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
2

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53 面积定理
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1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高) 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B 2 2 2 1 (| OA | ? | OB |) 2 ? (OA ? OB) 2 (3) S ?OAB ? 2
(1) S ?
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54 三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)
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?
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C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) 2 2 2

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55 简单的三角方程的通解

sin x? a? x?? k ? ( ?k1 ) a r c sai n k? ( Z a, ?| | 1 ) c os x ? a ? x ?2 ? k ?a r c c o sa ( ? k Z , |? a | 1) tan x ? a ? x ? k? ? arctan a(k ? Z , a ? R)
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特别地,有

sin ? ? sin ? ? ? ? k? ? (?1)k ? (k ? Z ) c os ? ? c o s ???? 2 k? ? ? k ( ?Z ) tan ? ? tan ? ? ? ? k? ? ? (k ? Z )
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56 最简单的三角不等式及其解集
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sin x ? a (a | ?| 1 ? ) x ? ?k (2? arc as ? in k ? ? ,2? a ar cks ? i nZ ) , sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? ? ? arcsin a, 2k? ? arcsin a), k ? Z cos x ? a (a |? | ? 1) ? x ?k (? 2 a r ca c? o? k s ,2 a a? r ck cos Z ), cos x ? a (a | ?| 1 ? ) x ? ?k ( 2 ? a r ca co ?k s ? ,? 2 ? 2 a a r ckc ?o Z s ),
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tan x ? a (a ? R? ) ? x ? (k ?

tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ?
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?
2

arcta a ?n? k, 2

?

? k) , Z
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, k? ? arctan a), k ? Z

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57 实数与向量的积的运算律:设 λ、μ 为实数,那么 (1) 结合律:λ(μ a )=(λμ) a ; (2)第一分配律:(λ+μ) a =λ a +μ a ; (3)第二分配律:λ( a + b )=λ a +λ b 58 向量的数量积的运算律:
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a (交换律); (1) a · b= b·

b = ? (a · b )= ? a · b =a · (2)( ? a )· ( ? b );
c= a· c +b · c (3)( a + b )· 59 平面向量基本定理 如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有
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一对实数 λ1、λ2,使得 a =λ1 e1 +λ2 e2 . 不共线的向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 60.向量平行的坐标表示 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则 a
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b ( b ? 0 ) ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0
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b =| a || b | cos ? 53 a 与 b 的数量积(或内积): a · b 的几何意义: 61 a ·
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b 等于 a 的长度| a |与 b 在 a 的方向上的投影| b | cos ? 的乘积. 数量积 a · 62 平面向量的坐标运算
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(1)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a - b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) (4)设 a = ( x, y ), ? ? R ,则 ? a = (? x, ? y )
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(3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 )
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(5)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a · b = ( x1 x2 ? y1 y2 ) 63 两向量的夹角公式
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cos ? ?
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a ?b ? | a |?| b |

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

( a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) )

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64 平面两点间的距离公式

d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) )
65 向量的平行与垂直 :设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则
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a || b ? b =λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0

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a ? b (a ? 0 )? a · b =0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0
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? 是实数, 66 线段的定比分公式 :设 P 1 2 的分点, 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , P( x, y) 是线段 PP
? x1 ? ? x2 x? ? 1 OP ? ? OP2 ? 1? ? t? 且 PP ) ? OP ? 1 ? OP ? tOP 1 ? ? PP 2 ,则 ? 1 ? (1 ? t )OP 2( 1? ? 1? ? ? y ? y1 ? ? y2 ? 1? ? ?
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67 三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的坐标 是 G(

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ) 3 3
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68 点的平移公式

? x' ? x ? h ? x ? x' ? h ? ? ?? ? OP' ? OP ? PP' ? ' ' y ? y ? k y ? y ? k ? ? ? ?
'

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注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F 上的对应点为 P ( x , y ) ,且 PP 的坐标为

'

'

'

'

( h, k )
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69 “按向量平移”的几个结论 (1)点 P( x, y) 按向量 a = ( h, k ) 平移后得到点 P ( x ? h, y ? k )
'
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(2) 函数 y ? f ( x) 的图象 C 按向量 a = ( h, k ) 平移后得到图象 C , 则 C 的函数解析式为
' '

y ? f ( x ? h) ? k
'

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(3) 图象 C 按向量 a = ( h, k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y ? f ( x) ,则 C 的函数解析
'

式为 y ? f ( x ? h) ? k

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' ' (4) 曲 线 C : f ( x, y) ? 0 按 向 量 a = ( h, k ) 平 移 后 得 到 图 象 C , 则 C 的 方 程 为

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f ( x ? h, y ? k ) ? 0 (5) 向量 m = ( x, y ) 按向量 a = ( h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m = ( x, y )
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70 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则
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(1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC

2

2

2
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(2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0

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(3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0
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(5) O 为 ?ABC 的 ? A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC 71 常用不等式:
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(1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 (3) a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0).
(2) a, b ? R ?
?

(4)柯西不等式: (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 , a, b, c, d ? R. (5) a ? b ? a ? b ? a ? b (6)
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2ab a?b a 2 ? b2 (当且仅当 a=b 时取“=”号) ? ab ? ? a?b 2 2 72 极值定理:已知 x, y 都是正数,则有
(1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 (3)已知 a, b, x, y ? R? ,若 ax ? by ? 1则有

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1 2 s 4

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1 1 1 1 by ax ? ? (ax ? by )( ? ) ? a ? b ? ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b ) 2 x y x y x y a b ? (4)已知 a, b, x, y ? R ,若 ? ? 1 则有 x y a b ay bx x ? y ? ( x ? y )( ? ) ? a ? b ? ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b )2 x y x y 2 2 73 一 元 二 次 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b ? 4ac ? 0) , 如 果 a 与 ax 2 ? bx ? c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax 2 ? bx ? c 异号,则其解集在两根之间 简
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言之:同号两根之外,异号两根之间

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x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ; x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 )
74 含有绝对值的不等式 :当 a> 0 时,有
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x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a
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x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a
75 无理不等式
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(1)

(2)

(3)

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? ?? 或? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? 2 ? f ( x) ? [ g ( x)] ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ?
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76 指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时,
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a

f ( x)

?a

g ( x)

? f ( x) ? g ( x) ;

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

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(2)当 0 ? a ? 1 时,

a

f ( x)

?a

g ( x)

? f ( x) ? g ( x) ;

77 斜率公式
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k?
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y2 ? y1 (P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ) x2 ? x1

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78 直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距) (3)两点式
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y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )) y2 ? y1 x2 ? x1 两点式的推广: ( x2 ? x1 )( y ? y1 ) ? ( y2 ? y1 )( x ? x1 ) ? 0 (无任何限制条件! ) x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a ? 0、b ? 0 ) (4)截距式 a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0)
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79 两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2
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① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ;

② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1

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(2)若 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, ① l1 || l2 ? 80 夹角公式
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A1 B1 C1 ;② ? ? l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ; A2 B2 C2

k2 ? k1 | ( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) 1 ? k2 k1 A B ? A2 B1 (2) tan ? ?| 1 2 | ( l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1B2 ? 0 ) A1 A2 ? B1 B2 ? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 2 81 l1 到 l2 的角公式 k ? k1 (1) tan ? ? 2 ( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) 1 ? k2 k1 A B ? A2 B1 (2) tan ? ? 1 2 ( l1 : A ) 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 A1 A2 ? B1B2 ? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 到 l2 的角是 2
(1) tan ? ?|
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82.四种常用直线系方程及直线系与给定的线段相交: (1) 定 点 直 线 系 方 程 : 经 过 定 点 P 0 ( x0 , y0 ) 的 直 线 系 方 程 为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ( 除 直 线

x ? x0 ),其中 k 是待定的系数 ; 经过定点 P 0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 , 其中 A, B 是待定的系数. (2)共点直线系方程:经过两直线 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 的交点的直 线系方程为 ( A 1x ? B 1 y ? C1 ) ? ? ( A 2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l 2 ),其中 λ 是待定的系数. (3)平行直线系方程:直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线系方 程.与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ 是参变量. (4) 垂 直 直 线 系 方 程 : 与 直 线 Ax ? By? C ?0 (A≠0 , B≠0) 垂 直 的 直 线 系 方 程 是 Bx ? Ay? ? ?0 ,λ 是参变量. (5)直线系 F ( x, y, ? ) ? 0 与线段 AB, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 相交 ? F ( x1, y1, ? ) ? F ( x2 , y2 , ? ) ? 0 | Ax0 ? By0 ? C | 83 点到直线的距离 : d ? (点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ) A2 ? B 2 84 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: 若 B ? 0 ,当 B 与 Ax ? By ? C 同号时,表示直线 l 的上方的区域;当 B 与 Ax ? By ? C 异 号时,表示直线 l 的下方的区域 简言之,同号在上,异号在下 若 B ? 0 ,当 A 与 Ax ? By ? C 同号时,表示直线 l 的右方的区域;当 A 与 Ax ? By ? C 异 号时,表示直线 l 的左方的区域 简言之,同号在右,异号在左
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? 0 所表示的平面区域 85 ( A 1x ? B 1 y ? C1 )( A 2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或
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( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是两直线 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 和 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 所成的对顶角区域(上下或左右两部分)
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86 圆的四种方程
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(1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2
2 2

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(2)圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0)
2 2

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? x ? a ? r cos? ? y ? b ? r sin ? (4)圆的直径式方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 (圆的直径的端点是 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) )
(3)圆的参数方程 ?
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87 圆系方程 (1)过点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 的圆系方程是
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( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?[( x ? x1 )( y1 ? y2 ) ? ( y ? y1 )( x1 ? x2 )] ? 0 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?(ax ? by ? c) ? 0 ,其中 ax ? by ? c ? 0 是直线 AB 的方
程,λ 是待定的系数. (2) 过 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 与 圆 C : x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的 交 点 的 圆 系 方 程 是

x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C) ? 0 ,λ 是待定的系数. 2 2 (3) 过圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F 1 ? 0 与圆 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F 2 ? 0 的交点的圆
2 2 系方程是 x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F 1 ? ? ( x ? y ? D2 x ? E2 y ? F 2 ) ? 0 ,λ 是待定的系数. 2 2 特别地,当 ? ? ?1 时, x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F 1 ? ? ( x ? y ? D2 x ? E2 y ? F 2 ) ? 0 就是

( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? ( F1 ? F2 ) ? 0 表示两圆的公共弦所在的直线方程
2 2 2
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88 点与圆的位置关系:点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种 若d ?

(a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点

P 在圆内
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89 直线与圆的位置关系
2 2 2 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种( d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2
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):

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0
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90 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线;

内含

内切 r2-r1

相交

外切 相离 r1+r2

d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线
91 圆的切线方程及切线长公式
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o

d

d

d

d

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(1)已知圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . ①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是

D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ?F ?0 2 2 D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0 表示过两个切点的切点 当 ( x0 , y0 ) 圆外时, x0 x ? y0 y ? 2 2 x0 x ? y0 y ?
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弦方程.求切点弦方程,还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定 ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必有两
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条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 x2 ? y 2 ? r 2 .
2 ①过圆上的 P 0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r ;
2 ②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1 ? k
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(3) 过圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 外一点 ( x0 , y0 ) 的切线长为 l ? x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F
2 2

92 椭圆
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? x ? a cos? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? 2 a b ? y ? b sin ?

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离心率 e ?

c b2 ? 1? 2 , a a

准线到中心的距离为

b2 a2 ,焦点到对应准线的距离(焦准距) p ? 通径的一半(焦参数): c c
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b2 a

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93 椭圆
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x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积 a 2 b2 ?F PF a2 a2 PF1 ? e( x ? ) ? a ? ex , PF2 ? e( ? x) ? a ? ex ; S ?F1PF2 ? b 2 tan 1 2 c c
2 2 x0 y0 ? ?1 a 2 b2 2 2 x0 y0 ? ?1 a 2 b2

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94.椭圆的的内外部

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? a 2 b2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 95 椭圆的切线方程
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xx y y x2 y 2 (1)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 a b a b 2 2 xx y y x y (2)过椭圆 2 ? 2 ? 1 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 ? 02 ? 1 a b a b 2 2 x y 2 2 2 2 2 (3)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c a b
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x2 y 2 a2 c b2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的离心率 ,准线到中心的距离为 , e ? ? 1 ? a 2 b2 c a a2 b2 b2 焦点到对应准线的距离(焦准距) p ? 通径的一半(焦参数): c a 2 2 a a 焦半径公式 PF1 ?| e( x ? ) |?| a ? ex | , PF2 ?| e( ? x) |?| a ? ex | , c c ?F1 PF 2 两焦半径与焦距构成三角形的面积 S ?F1PF2 ? b cot 2
96 双曲线
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97 双曲线的内外部
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x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? a 2 b2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 98 双曲线的方程与渐近线方程的关系
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2 2 x0 y0 ? ?1 a 2 b2 2 2 x0 y0 ? ?1 a 2 b2

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x2 y2 x2 y 2 b ? ? 1 ? 2 ?0? y?? x 渐近线方程: ? 2 2 2 a a b a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ?双曲线可设为 2 ? 2 ? ? a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? a b a b ? ? 0 ? ? 0 ( ,焦点在 x 轴上, ,焦点在 y 轴上) (4) 焦点到渐近线的距离总是 b
(1)若双曲线方程为
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99 双曲线的切线方程
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xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 2 a b a b 2 2 xx y y x y (2)过双曲线 2 ? 2 ? 1 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 ? 02 ? 1 a b a b 2 2 x y 2 2 2 2 2 (3)双曲线 2 ? 2 ? 1 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c a b 2 100 抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式 p 2 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? 2 p p 过焦点弦长 CD ? x1 ? ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p 2 2 2 y? 2 101 抛 物 线 y ? 2 px 上 的 动 点 可 设 为 P ( , y? ) 或 P(2 pt 2 , 2 pt ) P ( x , y ) , 其 中 2p 2 y ? 2 px
(1)双曲线
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b 2 4ac ? b2 ) ? (a ? 0) 的图象是抛物线: 2a 4a b 4ac ? b2 b 4ac ? b 2 ? 1 , ); , ); (1)顶点坐标为 (? (2)焦点的坐标为 (? 2a 4a 2a 4a 4ac ? b 2 ? 1 (3)准线方程是 y ? 4a
102 二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a( x ?
2
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103 以抛物线上的点为圆心, 焦半径为半径的圆必与准线相切; 以抛物线焦点弦为直径的圆, 必与准线相切;以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切 104 抛物线的切线方程
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(1)抛物线 y 2 ? 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 )
2

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(2)过抛物线 y ? 2 px 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) (3)抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB2 ? 2 AC 105 两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 f1 ( x, y) ? 0 , f2 ( x, y) ? 0 的交点的曲线系方程是 f1 ( x, y) ? ? f 2 ( x, y) ? 0 ( ? 为参数)
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x y ? 2 ? 1 ,其中 k ? max{a2 , b2} a ?k b ?k 2 2 2 2 2 2 当 k ? min{a , b } 时,表示椭圆; 当 min{a , b } ? k ? max{a , b } 时,表示双曲线
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程
2
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2

2

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106 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ?
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( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或

AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ?
(弦端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由方程 ?

?y ? kx ? b 2 消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 , F ( x , y ) ? 0 ?
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? ? 0 , ? 为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率, | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 )
107 圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0
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(2)曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是

2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) ,y? )?0 2 2 A ?B A2 ? B 2 特别地,曲线 F ( x, y) ? 0 关于原点 O 成中心对称的曲线是 F (? x, ? y ) ? 0 曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 x 轴对称的曲线是 F ( x, ? y) ? 0 曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 y 轴对称的曲线是 F (? x, y ) ? 0 曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 y ? x 轴对称的曲线是 F ( y, x) ? 0 曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 y ? ? x 轴对称的曲线是 F (? y, ? x) ? 0 108 圆锥曲线的第二定义:动点 M 到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比为常数 e ,若 0 ? e ? 1 ,M 的轨迹为椭圆;若 e ? 1 ,M 的轨迹为抛物线;若 e ? 1 ,M 的轨迹为双曲线 F (x ?
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109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点;
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(2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行 110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行 111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直; (3) 转化为两平面的法向量平行 115 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
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(1)加法交换律: a + b = b + a . (2)加法结合律:( a + b )+ c = a +( b + c ). (3)数乘分配律:λ( a + b )=λ a +λ b . 116 平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和, 等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公 共始点为始点的对角线所表示的向量 117 共线向量定理
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对空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠ 0 ), a ∥ b ? 存在实数 λ 使 a =λ b .

P、A、B 三点共线 ? AP || AB ? AP ? t AB ? OP ? (1 ? t )OA ? tOB
118 共面向量定理
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AB || CD ? AB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线 ? AB ? tCD 且 AB、CD 不共线
向量 p 与两个不共线的向量 a 、 b 共面的 ? 存在实数对 x, y ,使 p ? xa ? yb .

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推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 ? 存在有序实数对 x, y ,使 MP ? xMA ? yMB , 或对空间任一定点 O,有序实数对 x, y ,使 OP ? OM ? xMA ? yMB
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119 对 空 间 任 一 点 O 和 不 共 线 的 三 点 A 、 B 、 C , 满 足 O P ? x O A ? y O? B z OC (x? y? z ? k) ,则当 k ? 1 时,对于空间任一点 O ,总有 P、A、B、C 四点共面;当 k ? 1 时,
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若 O ? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点共面;若 O ? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点不共面.

A、B、 C、D 四点共面 ? AD 与 AB 、 AC 共面 ? AD ? xAB ? yAC ?

OD ? (1 ? x ? y)OA ? xOB ? yOC ( O ? 平面 ABC)
120 空间向量基本定理
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如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面,那么对空间任一向量 b ,存在一个唯一的有序实数组 x, y,z,使 p =x a +y b +z c . 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实数 x, y,z,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC 121 射影公式
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已知向量 AB = a 和轴 l ,e 是 l 上与 l 同方向的单位向量 作 A 点在 l 上的射影 A? ,作 B 点在 l 上的射影 B? ,则
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A?B? ?| AB | cos ? a, e ?? a ? e
122 向量的直角坐标运算
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设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) 则 (1) a + b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (2) a - b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (3)λ a = (?a1 , ?a2 , ?a3 ) (λ∈R); (4) a · b = a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ; 123 设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则
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AB ? OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )
124.空间的线线平行或垂直 设 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z 2 ) ,则

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r

r

? x1 ? ? x2 r r r r r r ? a Pb ? a ? ?b(b ? 0) ? ? y1 ? ? y2 ; ?z ? ? z 2 ? 1 r r r r a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? 0
125 夹角公式
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设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) ,则 cos ? a, b ??

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
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2 2 2 a12 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32
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2 2 2 2 2 推论 (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 ? (a1 ? a2 ? a3 )(b12 ? b2 ? b3 ) ,此即三维柯西不等式

126 正棱锥的侧面与底面所成的角为 ? ,则 cos ? ?
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S底面 S侧面

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特别地,对于正四面体每两个面所成的角为 ? ,有 cos ? ? 127.异面直线所成角

1 3

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x ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2 r r o o b 所成角, a, b 分别表示异面直线 a, b 的方向向量) (其中 ? ( 0 ? ? ? 90 )为异面直线 a, 128 直线 AB 与平面所成角
2 1
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r r r r | a ?b | cos? ?| cos a, b | = r r ? | a |?| b |

| x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 |

AB ? m ( m 为平面 ? 的法向量) | AB || m | 129 若 ?ABC 所在平面 ? 与过若 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另两边 AC , BC 与平面 ? 成的角 分别是 ? 1 、 ?2 , A、B 为 ?ABC 的两个内角,则

? ? arc sin
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sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? (sin2 A ? sin2 B)sin 2 ?
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特别地,当 ?ACB ? 90 时,有 sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ? 别是 ? 1 、 ?2 , A 、B 为 ?ABO 的两个内角,则
' '

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130 若 ?ABC 所在平面 ? 与过 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另两边 AC , BC 与平面 ? 成的角分

tan2 ?1 ? tan2 ?2 ? (sin2 A' ? sin2 B' ) tan2 ?
特别地,当 ?AOB ? 90 时,有 sin
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2

131 二面角 ? ? l ? ? 的平面角(根据具体图形确定是锐角或是钝角)

?1 ? sin ?2 ? sin2 ?
2

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? ? arc cos
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m? n m? n 或 ? ? arc cos ( m , n 为平面 ? , ? 的法向量) | m || n | | m || n |

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132 三余弦定理 设 AC 是 α 内的任一条直线,AD 是 α 的一条斜线 AB 在 α 内的射影,且 BD⊥AD,垂足为 D,设 AB 与 α(AD)所成的 角为 ? 1 , AD 与 AC 所成的角为 ? 2 , AB 与 AC 所成的角为

B A ?
?1 ?2 ?

? .则 cos? ? cos?1 cos? 2
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D C

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133 三射线定理 若夹在平面角为 ? 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 ? 1 , ? 2 ,与二面角的 棱所成的角是 θ,则有 sin2 ? sin2 ? ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? 2sin?1 sin? 2 cos? ;

| ?1 ??2 |? ? ? 180 ? (?1 ??2 ) (当且仅当 ? ? 90 时等号成立)
134 空间两点间的距离公式
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若 A ( x1 , y1 , z1 ) , B ( x2 , y2 , z2 ) , 则 d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )
2 2

2
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135 点 Q 到直线 l 距离
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h?
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1 (| a || b |)2 ? (a ? b ) 2 (点 P 在直线 l 上, a 为直线 l 的方向向量, b = PQ ) |a|
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136 异面直线间的距离

d?

| CD ? n | ( l1 , l2 是两异面直线, 其公垂向量为 n ,C、D 分别是 l1 , l2 上任一点,d 为 l1 , l2 |n|
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间的距离) 137 点 B 到平面 ? 的距离
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d?
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| AB ? n | ( n 为平面 ? 的法向量, A ? ? , AB 是 ? 的一条斜线段) |n|
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138 异面直线上两点距离公式

d ? h2 ? m2 ? n2 2mn cos?

d ? h 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos EA' , AF

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d ? h 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos ? ( ? ? E ? AA' ? F )
'

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(两条异面直线 a、 b 所成的角为 θ,其公垂线段 AA 的长度为 h 在直线 a、b 上分别取两点 E、F,
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A E ? m , AF ? n , EF ? d )
'
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139 三个向量和的平方公式

(a ? b ? c) 2 ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a

2

2

2

? a ? b ? c ? 2 | a | ? | b | cos a, b ? 2 | b | ? | c | cos b, c ? 2 | c | ? | a | cos c, a
140 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分别为
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2

2

2

?1、? 2、?3 ,则有 l 2 ? l12 ? l22 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? cos2 ?3 ? 1 ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ?3 ? 2
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例) 141 面积射影定理 S ?
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S cos?

'

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(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ,它们所在平面所成锐二面角的为 ? ) 142 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S斜棱柱侧 和 V斜棱柱 ,它的直截面的周长和面积
'
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分别是 c1 和 S1 ,则① S斜棱柱侧 ? c1l ;② V斜棱柱 ? S1l

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143.作截面的依据 三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行 144.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截, 那么所得的截面与底面相似, 截面面积与底面面积的比 等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 (对应角相等, 对应边对应成比例的多边形是相似多边形, 相似多边形面积的比等于对应边的比的平方) ;相应小棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于顶点 到截面距离与棱锥高的立方比; 相应小棱锥的的侧面积与原棱锥的的侧面积的比等于顶点到截面 距离与棱锥高的平方比. 145 欧拉定理(欧拉公式) V ? F ? E ? 2 (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F) (1) E =各面多边形边数和的一半 特别地,若每个面的边数为 n 的多边形,则面数 F 与棱数
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E 的关系: E ?

1 nF ; 2 1 mV 2
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(2)若每个顶点引出的棱数为 m ,则顶点数 V 与棱数 E 的关系: E ? 146 球的半径是 R,则其体积 V ?
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4 ? R 3 ,其表面积 S ? 4? R2 . 3
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147 球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 (2)球与正方体的组合体 :正方体的内切球的直径是正方体的棱长 , 正方体的棱切球的直径是 正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长
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(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 的

6 6 a (正四面体高 a 12 3

1 3 6 6 ),外接球的半径为 a (正四面体高 a的 ) 4 4 4 3
148.柱体、锥体的体积

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1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高) 3 1 V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高) 3 149 分类计数原理(加法原理) : N ? m1 ? m2 ? ? mn
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150 分步计数原理(乘法原理) : N ? m1 ? m2 ?
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? mn n! m 151 排列数公式 :An = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) = ( n ,m ∈N*, 且 m ? n ). 规定 0! ? 1 (n ? m)! n m m m m?1 An 152 排列恒等式 :(1) An ;(2) An ? ? (n ? m ?1) An ?1 ; n?m m m?1 n n?1 n m m m?1 (3) An (5) An ? nAn ?1 ; (4) nA n ? A n?1 ? A n ; ?1 ? A n ? mA n (6) 1!? 2 ? 2!? 3 ? 3!? ? n ? n! ? (n ? 1)!? 1
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m 153 组合数公式:C n =
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A n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! = = ( n ∈N*,m ? N , 且m ? n ) 1? 2 ? ? ? m m! ? (n ? m)! A
m n m m
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m n?m m m?1 m 0 154 组合数的两个性质:(1) C n = Cn ;(2) C n + Cn = Cn ?1 规定 C n ? 1
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155 组合恒等式
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n ? m ? 1 m ?1 n m m Cn ;(2) Cn ? Cn ?1 ; m n?m n n m ?1 m n r (3) Cn ? Cn ?1 ; (4) ? C n = 2 ; m r ?0
(1) Cn ?
m

(5) Cr ? Cr ?1 ? Cr ?2 ? ? ? Cn ? Cn?1
r r r r
0 n 1 n 2 n r n n n

r ?1
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(6) C ? C ? C ? ? ? C ? ? ? C ? 2
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n
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1 3 5 0 2 4 (7) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ?2n?1

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(8) C ? 2C ? 3C ? ? ? nC ? n2
0 (9) C Cn ?C 1 n r m 2 n 3 n r ?1 1 m n 1 2 n n n

n?1
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0r r r C ? ? ? Cm Cn ? Cm ?n

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0 2 2 2 n 2 n (10) (Cn ) ? (C ) ? (Cn ) ? ? ? (Cn ) ? C2 n

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156 排列数与组合数的关系: A ? m ! ?C
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m n

m n

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157.单条件排列(以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列) (1)“在位”与“不在位”
m?1 m m ?1 1 m ?1 ①某 (特) 元必在某位有 An ②某 (特) 元不在某位有 An ? An ? An ?1 种; ?1(补集思想) ?1 An ?1
m 1 m ?1 (着眼位置) ? An ?1 ? A m ?1 A n ?1 (着眼元素)种
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(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)
k m? k ①定位紧贴: k (k ? m ? n) 个元在固定位的排列有 Ak An?k 种
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n ? k ?1 k ②浮动紧贴: n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 An ? k ?1 Ak 种

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注:此类问题常用捆绑法; ③插空:两组元素分别有 k、h 个( k ? h ? 1 ) ,把它们合在一起来作全排列,k 个的一组互
h k 不能挨近的所有排列数有 Ah Ah ?1 种
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(3)两组元素各相同的插空 m 个大球 n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法? 当 n ? m ? 1 时,无解;当 n ? m ? 1 时,有
n Am n ?1 ? Cm ?1 种排法 n An
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n (4)两组相同元素的排列:两组元素有 m 个和 n 个,各组元素分别相同的排列数为 Cm ?n

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158.分配问题 (1)(平均分组有归属问题)将相异的 mn 个物件等分给 m 个人,各得 n 件,其分配方法数 共有 N ? C mn ? C mn ?n ? C mn ?2 n ? ? ? C 2 n ? C n ?
n n n n n

(m n)! (n!) m

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(2)(平均分组无归属问题)将相异的 mn 个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆,其分配方 法数共有
n n n n n Cmn ? Cmn (mn)! ? n ? Cmn ? 2 n ... ? C2 n ? Cn ? m! m!(n!)m (3)(非平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 + +n m ) 个物体分给 m 个人,物件必须 被分完,分别得到 n1 , n2 ,…, nm 件,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数彼此不相等,则其分配方

N?

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nm n1 n2 法数共有 N ? C p ? Cp Cn ? m!? ? n1 ... m

p!m! n1!n2!...nm!

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(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +
nm n1 n2 Cp ? Cp Cn ? m! ? n1 ... m

+n m ) 个物体分给 m 个人,物件

必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,…, nm 件,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数中分别有 a、b、c、… 个相等,则其分配方法数有 N ?

a!b!c!...

?

p !m ! n1 !n2 !...nm !(a !b !c !...)

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第 23 页(共 29 页)

(5) (非平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +

+n m ) 个物体分为任意的 n1 ,n2 ,…,

nm 件 无 记 号 的 m 堆 , 且 n1 , n2 , … , nm 这 m 个 数 彼 此 不 相 等 , 则 其 分 配 方 法 数 有 p! N? n1!n2! . .n .m! ( 6 ) ( 非完全平均分组无归属问题 ) 将相异的 P(P=n1 +n2 + +n m ) 个物体分为任意的 n1 , n2 ,…, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数中分别有 a、b、c、…个相等,则 p! 其分配方法数有 N ? n1!n2!...nm!(a!b!c!...) (7)(限定分组有归属问题)将相异的 p ( p ? n1 +n2 + +nm )个物体分给甲、乙、丙,…… 等 m 个人, 物体必须被分完, 如果指定甲得 n1 件, 乙得 n2 件, 丙得 n3 件, …时, 则无论 n1 , …, n2 , nm 等 m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有 p! nm n1 n2 N ? Cp ? Cp Cn ? ? n1 ... m n1!n2!...nm!
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159.“错位问题”及其推广 ①信 2 封信与 2 个信封全部错位有 1 种排法; ②信 3 封信与 3 个信封全部错位有 2 种排法; ③信 4 封信与 4 个信封全部错位有 9 种排法; ④信 5 封信与 5 个信封全部错位有 44 种排法; 贝努利装错笺问题:信 n 封信与 n 个信封全部错位的组合数为

f (n) ? n ![

1 1 1 ? ? ? 2! 3! 4!

? (?1) n

1 ] n!

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推广: n 个元素与 n 个位置,其中至少有 m 个元素错位的不同组合总数为
1 2 3 4 f (n, m) ? n !? Cm ( n ? 1)!? Cm ( n ? 2)!? Cm ( n ? 3)!? Cm ( n ? 4)!

?

p ? (?1) p Cm ( n ? p )!?

m ? (?1) m Cm ( n ? m)!

1 2 3 4 p Cm Cm Cm Cm p Cm ? ? ? ? ? ( ? 1) ? 1 2 2 4 An An An An Anp 160.不定方程 x1 +x2 + +xn ? m 的解的个数

? n![1 ?

? (?1)m

m Cm ] m An

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(1)方程 x1 +x2 + (2) 方程 x1 +x2 + (3) 方程 x1 +x2 +
n?1

n?1 个 +xn ? m ( n, m ? N ? )的正整数解有 Cm ?1

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1 个 +xn ? m ( n, m ? N ? )的非负整数解有 Cnn?? m?1

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+xn ? m( n, m ? N ? )满足条件 xi ? k ( k ? N ? , 2 ? i ? n ? 1 )的非负
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整数解有 Cm?1?( n?2)( k ?1) 个
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161 二项式定理 (a ? b) ? Cn a ? Cn a
n 0 n 1

n?1

2 n ?2 2 r n ?r r n n b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ;
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二项展开式的通项公式 Tr ?1 ? Cn a
r

n ?r

1, 2?,n) b r (r ? 0,
n

f ( x) ? (ax ? b) ? a0 ? a1x ? a2 x ?
n 2

? an x 的展开式的系数关系:
? (?1)n an ? f (?1) ; a0 ? f (0)
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a0 ? a1 ? a2 ?

? an ? f (1) ; a0 ? a1 ? a2 ?

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162 等可能性事件的概率: P ( A) ?
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m n

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163 互斥事件 A,B 分别发生的概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B). 164 n 个互斥事件分别发生的概率的和: P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
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165 独立事件 A,B 同时发生的概率:P(A· B)= P(A)· P(B) 166 n 个独立事件同时发生的概率: P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An).
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k k n ?k 167 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率: P . n (k ) ? Cn P (1 ? P)
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168 离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) P ) ;(2) P ?1 i ? 0(i ? 1, 2, 1?P 2 ?
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169 数学期望: E? ? x1P 1 ? x2 P 2 ?
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? xn Pn ?

170 数学期望的性质 (1) E (a? ? b) ? aE (? ) ? b
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(2)若 ? ~ B(n, p) ,则 E? ? np

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(3) 若 ? 服从几何分布,且 P(? ? k ) ? g (k , p) ? qk ?1 p ,则 E? ? 171 方差: D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ?
2 2
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1 p
2

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? ? xn ? E? ? ? pn ?

172 标准差: ?? =
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D?

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173 方差的性质
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(1) D ? a? ? b? ? a2 D? ; (2)若 ? ~ B(n, p) ,则 D? ? np(1 ? p)
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(3) 若 ? 服从几何分布,且 P(? ? k ) ? g (k , p) ? qk ?1 p ,则 D? ?
2 174 方差与期望的关系: D? ? E? ? ? E? ?
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q p2

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2
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175 正态分布密度函数: f ? x ? ?
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式中的实数 μ, ? ( ? >0)是参数,分别表示个体的平均数与标准差 176 标准正态分布密度函数: f ? x ? ?
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? 1 e 2? 6

? x ? ? ?2
262

, x ? ? ??, ?? ? ,
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1 e 2? 6

x ? 2

2

, x ? ? ??, ?? ?
? x?? ? ? ? ? ?
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177 对于 N (?, ? ) ,取值小于 x 的概率: F ? x ? ? ? ?
2
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P?x1 ? x0 ? x2 ? ? P?x ? x2 ? ? P?x ? x1 ?

? x ?? ? ? x1 ? ? ? ? F ? x2 ? ? F ? x1 ? ? ? ? 2 ? ??? ? ? ? ? ? ? ?
178 回归直线方程
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n n ? x ? x y ? y xi yi ? nx y ? ?? ? ? ? i i ? i ?1 i ?1 ?b ? ? n n 2 y ? a ? bx ,其中 ? xi 2 ? nx 2 ? xi ? x ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? a ? y ? bx ?

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179 相关系数 : r ?
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? ? xi ? x ?? yi ? y ?
i ?1

n

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i
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n

n

?
2

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i
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n

(? xi ? nx )(? yi ? ny )
2 2 2 2 i ?1 i ?1
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n

n

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小 180 特殊数列的极限

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?0 ? (1) lim q ? ?1 n ?? ?不存在 ?
n

| q |? 1 q ?1 | q |? 1或q ? ?1
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?0 ? ak n ? ak ?1n ? ? a0 ? at (2) lim ?? n ?? b n t ? b n t ?1 ? ? b0 t t ?1 ? bk ?不存在 ?
k k ?1

(k ? t ) (k ? t ) (k ? t )
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a1 n ?1 ( S 无穷等比数列 a1q ? ( | q |? 1 )的和) n ?? 1? q 1? q 181 函数的极限定理: lim f ( x) ? a ? lim? f ( x) ? lim? f ( x) ? a
(3) S ? lim
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a1 1 ? q n

?

??

?

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x ? x0

x ? x0

x ? x0

182 函数的夹逼性定理 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x) ? f ( x) ? h( x) ;(2) lim g ( x) ? a, lim h( x) ? a (常数),
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x ? x0

x ? x0

则 lim f ( x) ? a (本定理对于单侧极限和 x ? ? 的情况仍然成立 )
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x ? x0

183 几个常用极限
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(1) lim
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1 1 1 ? 0 , lim a n ? 0 ( | a |? 1 ) ; (2) lim x ? x0 , lim ? n ?? n ?? n x ? x0 x ? x0 x x0
x

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184 两个重要的极限

sin x ? 1? ? 1; (1) lim (2) lim ?1 ? ? ? e (e=2 718281845…) x ?0 x ?? x ? x?
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185 函数极限的四则运算法则 若 lim f ( x) ? a , lim g ( x ) ? b ,则
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x ? x0

x ? x0

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(1) lim ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? a ? b ;(2) lim ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? a ? b ; (3) lim
x ? x0
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x ? x0

x ? x0

f ? x? a ? ?b ? 0? g ? x? b

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186 数列极限的四则运算法则 若 lim an ? a, lim bn ? b ,则
n ?? n ??

(1) lim ? an ? bn ? ? a ? b ;(2) lim ? an ? bn ? ? a ? b ;(3) lim
n ?? n ??

n ??

(4) lim ? c ? an ? ? lim c ? lim an ? c ? a ( c 是常数)
n ?? n ?? n ??

an a ? ?b ? 0? bn b

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187 f ( x) 在 x0 处的导数(或变化率或微商)
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f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?s s (t ? ?t ) ? s (t ) ? lim 188 瞬时速度: ? ? s?(t ) ? lim ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t ?v v(t ? ?t ) ? v(t ) ? lim 189 瞬时加速度: a ? v?(t ) ? lim ?t ? 0 ?t ?t ? 0 ?t dy df ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ? lim ? lim 190 f ( x) 在 ( a, b) 的导数: f ?( x) ? y ? ? ? x ? 0 ? x ? 0 dx dx ?x ?x 191 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) , f ?( x0 ) ? y?
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x ? x0

? lim

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相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) 192 几种常见函数的导数
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(1) C ? ? 0 (C 为常数) (2) ( xn )? ? nxn?1 (n ? Q) (3) (sin x)? ? cos x
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(4) (cosx)? ? ? sin x
x x x

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(5) (ln x )? ?
x
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1 1 ; (log a x)? ? log a e x x

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(6) (e )? ? e ; (a )? ? a ln a 193 导数的运算法则
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' ' ' ' ' ' (1) (u ? v) ? u ? v (2) (uv) ? u v ? uv (3) ( ) ?
'
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u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) v2

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194 复合函数的求导法则
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设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 u x? ? ? ?( x ) , 函数 y ? f (u ) 在点 x 处的对应点 U 处有导数

? ? yu? ? f ?(u ) , 则 复 合 函 数 y ? f (? ( x)) 在 点 x 处 有 导 数 , 且 y? x ? yu ? ux , 或 写 作 f x?(? ( x)) ? f ?(u)??( x)
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195 常用的近似计算公式(当 x 充分小时)
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1 n 1 1 x ; 1 ? x ? 1 ? x ;(2) (1 ? x)? ? 1 ? ? x(? ? R) ; ?1? x; 2 n 1? x x (3) e ? 1 ? x ;(4) ln (1 ? x) ? x ;(5) sin x ? x ( x 为弧度) ;
(1) 1 ? x ? 1 ?
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(6) tan x ? x ( x 为弧度) ;(7) arctan x ? x ( x 为弧度) 196 判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法
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当函数 f ( x) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值 197 复数的相等: a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d ( a, b, c, d ? R )
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198 复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = a 2 ? b2 199 复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ;
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(2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; (4) (a ? bi ) ? (c ? di ) ?
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ac ? bd bc ? ad ? i (c ? di ? 0) c2 ? d 2 c2 ? d 2

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200 复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z2 , z3 ? C ,有 交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1
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结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 )

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分配律: z1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 201 复平面上的两点间的距离公式
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d ?| z1 ? z2 |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i )
202 向量的垂直
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非零复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ2 ,则

OZ1 ? OZ2 ? z1 ? z2 的实部为零 ?
(λ 为非零实数) 203 实系数一元二次方程的解
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z2 为纯虚数 ? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 z1

? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 ? | z1 ? z2 |?| z1 ? z2 | ? ac ? bd ? 0 ? z1 ? ?iz2
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实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ,
2

?b ? b2 ? 4ac ; 2a b 2 ②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ; 2a 2 ③若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭复数
①若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ?
2

根x?

?b ? ?(b2 ? 4ac)i 2 (b ? 4ac ? 0) 2a
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204 三角形的内角平分线性质:在 ?ABC 中, ? A 的平分线交边 BC 于 D,则
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BD BA ? DC AC

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(三角形的外角平分线也有同样的性质) 205 数学归纳法是一种用于证明与自然数 n 有关的命题的正确性的证明方法. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤: (1)证明:当 n 取第一个值 n0 结论正确; (2)假设当 n=k(k∈N*,且 k≥n0)时结论正确,证明当 n=k+1 时结论也正确 由(1),(2)可知,命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确 206.空间中经过不共线三个点的平面 ? 的方程形式为: Ax ? By ? Cz ? D ? 0 ,
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其一个法向量为: n ? ( A, B, C )

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