2017届高考数学二轮复习第1部分专题四数列2递推数列及数列求和课件文

类型一

类型二
限时速解训练 综合提升训练

滚动训练

必考点二

递推数列及数列求和

[高考预测]——运筹帷幄 1.数列的求和问题与最值问题. 2.数列与归纳、递推、不等式的综合应用.

[速解必备]——决胜千里 1.常见两种递推关系的变形 q (1)递推关系形如 an+1=pan+q(p,q 为常数)可化为 an+1+ = p-1
? ? q ? q ? ? ? ? ? ? a + a + p? n p-1?(p≠1)的形式,利用 n p-1?是以 ? ? ? ? ? ?

p 为公比的等比数

列求解; pan 1 1 1 (2)递推关系形如 an+1= (p 为非零常数)可化为 -a =p的 an+p an+1 n 形式.

2.数列的单调性 对于数列{an},若 an+1>an,则{an}为递增数列 若 an+1<an,则{an}为递减数列 若 an+1=an,则{an}为常数列 3.等差数列{an}的通项公式 an 是关于 n 的一次函数 an=dn+(a1 -d)(d≠0)前 n 项和 Sn 是关于 n 的无常数项的二次函数 d? d 2 ? Sn=2n +?a1-2?n,(d≠0) ? ?

4.数列中不等式的放缩技巧 1 ? 1 1 1? ? 1 (1)k2< 2 =2?k-1-k+1? ?. k -1 ? ? 1 1 1 1 1 (2) k- <k2< -k. k+1 k-1 1 (3)2( n+1- n)< <2( n- n-1). n
? ? 1 ? ? ? 5.一般地,若{an}为等差数列,则求数列 a a ?的前 ? ? n n+1? ?

n 项和可尝

1 ? an+1-an 1 ? 1 d ?1 ? - 试此方法,事实上, = = =d· . ? ? a a + anan+1 danan+1 danan+1 n 1? ? n

[速解方略]——不拘一格 类型一 [例 1] 数列的递推关系

(1)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和, 且 a1=-1, an+1=SnSn+1,

则 Sn=________.

解析:基本法:∵an+1=SnSn+1, 且 an+1=Sn+1-Sn, ∴Sn+1-Sn=SnSn+1, 1 1 1 1 ∴S - =1,即 -S =-1. S S + + n n n 1 n 1 1 1 又S =a =-1, 1 1 ? ?1? ? ? ∴ S ?是首项为-1,公差为-1 的等差数列, ? n? ? ? 1 ∴ =-1+(n-1)×(-1)=-n. Sn 1 ∴Sn=-n.

Sn 速解法:由 Sn+1-Sn=Sn· Sn+1 得 Sn+1= . 1-Sn -1 S1 1 ∴S2= = 2 =-2, 1-S1 1 1 - - 2 3 S2 1 S3 1 S3= = 1=-3,S4= = 1=-4 1-S2 1-S3 1+2 1+3 1 ∴Sn=- . n
1 答案:-n

1 方略点评:基本法是转化为等差数列S 求通项.,速解法是简单归纳 n 法.

2 1 (2)若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ ,则{an}的通项公式是 an= 3 3 ________.

2 1 2 1 解析:基本法:由 Sn=3an+3得,当 n≥2 时,Sn-1=3an-1+3,两 2 1 式相减,整理得 an=-2an-1,又 n=1 时,S1=a1=3a1+3,∴a1 =1,∴{an}是首项为 1,公比为-2 的等比数列,故 an=(-2)n-1. 2 1 2 1 速解法:由 Sn=3an+3得 Sn-1+an=3an+3 ∴an=1-3Sn-1,由于 a1=1. ∴a2=1-3=-2,a3=1-3S2=1-3×(1-2)=4 猜想{an}为 a1=1,q=-2 的等比数列,an=(-2)n 1.


答案:(-2)n-1

方略点评:?1?基本法采用了递推关系,Sn-Sn-1=an,得出新的递 推关系,an=-2an-1?n≥2?,速解法经过简单的计算 a1,a2,a3,是 归纳猜想. ?2?已知 Sn 求 an 时应注意的问题 ①应重视分类讨论思想的应用,分 n=1 和 n≥2 两种情况讨论, 特别注意 an=Sn-Sn-1 中需 n≥2.

②由 Sn-Sn-1=an 推得 an,当 n=1 时,a1 也适合“an 式”,则需 统一“合写”. ③由 Sn-Sn-1=an 推得 an,当 n=1 时,a1 不适合“an 式”,则数 列的通项公式应分段表示?“分写”?,即
? ?S1?n=1?, an=? ? ? Sn-Sn-1?n≥2?.

1 1.数列{an}满足 an+1= ,a8=2,则 a1=__________. 1-an

解析:基本法:先求出数列的周期,再进一步求解首项. 1 ∵an+1= , 1-an 1 ∴an+1= = 1-an 1 1 1- 1-an-1 1-an-1 = 1-an-1-1

1-an-1 1 = =1- -an-1 an-1 1 =1- 1 1-an-2

=1-(1-an-2)=an-2, ∴周期 T=(n+1)-(n-2)=3. 1 1 ∴a8=a2=2,而 a2= =2,∴a1= . 2 1-a1 速解法:从 a8 开始,由递推公式逐次求出 a7、a6、a5 发现周期 1 1 a8= =2,∴a7=2 1-a7 1 1 a7= = ,a6=-1 1-a6 2

1 a6= =-1,a5=2 1-a5 1 ∴T=3,∴a7=a1=2.

1 答案:2

2.数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=3,an=2Sn-1+3n(n≥2),则 该数列的通项公式为 an=________.

解析:∵an=2Sn-1+3n,∴an-1=2Sn-2+3n 1(n≥3),两式相减得:


an-an-1=2an-1+2×3

n-1

,即 an=3an-1+2×3
2

n -1

an an-1 2 ,∴3n= n-1+3 3

a2 5 a1 2 5 a2 a1 (n≥3),又 a2=2S1+3 =2a1+3 =15, 2= , + = ,即 2= 3 3 3 3 3 3 3
2

? 2 2 an ?an? ? ? ? +3,∴数列 3n 是以 1 为首项,3为公差的等差数列,∴3n=1+(n ? ? ? ?

2 -1)× ,∴an=(2n+1)3n-1. 3

答案:(2n+1)3n-1

类型二 数列求和 [例 2] (1)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则 100 项和为( A ) 99 B. 101 101 D.100

? ? 1 ? ? ? 数列 a a ?的前 ? ? n n+1? ?

100 A. 101 99 C.100

5×?a1+a5? 解析:基本法:由 S5= 得 a1=1, 2 又∵a5=a1+4d,∴d=1,∴an=1+(n-1)×1=n. 1 1 1 ∴ =n- an· an+1 n+1 1 1 1 1 1 1 100 ∴T100=1-2+2-3+?+100-101=101. 速解法:由 S5=5a3 及 S5=15,得 a3=3

a5-a3 1 1 1 1 ∴d= =1,a1=1,∴an=n, = = - ,所 5-3 anan+1 n?n+1? n n+1
? ? 1 ? ? 1 1 1 1 1 ? ? 以数列 a a 的前 100 项和 T100=1-2+2-3+?+100-101=1 ? ? + ? n n 1?

1 100 -101=101,故选 A.

答案:A

方略点评: 本题考查的裂项求和, 基本法是利用 Sn 和 an 公式求 an. 速解法是利用性质 a1+a5=2a3 及 a5-a3=2d,求 an.

(2)数列{an}满足 an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前 60 项的和为 ________.

解析:基本法:当 n=2k 时,a2k+1+a2k=4k-1, 当 n=2k-1 时,a2k-a2k-1=4k-3, ∴a2k+1+a2k-1=2,∴a2k+3+a2k+1=2, ∴a2k-1=a2k+3, ∴a1=a5=?=a61. ∴a1+a2+a3+?+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+?+(a60+a61)=3+7 30×?3+119? +11+?+(2×60-1)= =30×61=1 830. 2

速解法:由 an+1+(-1)nan=2n-1 得 a2-a1=1 ①a3+a2=3 ②a4-a3=5 ③ a5+a4=7 ④?
58 a59+a58=2×58-1 ○ 59 a61+a60=2×60-1 ○ 60 a60-a59=2×59-1 ○

②-①得 a3+a1=2,④-③得 a5+a3=2, ∴a1=a5=?=a61
60 得 ∴②+④+⑥+?+○

(a2+a3)+(a4+a5)+?+(a58+a59)+(a60+a61) 30×29 =3+7+?(2×60-1)=3×30+ 2 ×4=1 830.

答案:1 830

方略点评:?1?基本法是针对 n 的奇偶性探求数列{an}的周期性.速 解法是探讨特殊的前几项得到求和规律. ?2?数列求和首先明确通项特征才能选用求和方法.

1.(2016· 山东青岛模拟)数列{an}的通项公式是 an= 若前 n 项和为 10,则项数 n 为( A ) A.120 C.11 B.99 D.121

, n+ n+1

1

解析:an=

1 n+ n+1

n+1- n = ? n+1+ n?? n+1- n? = n+1- n, 所以 a1+a2+?+an=( 2-1)+( 3- 2)+?+( n+1- n)= n+1-1=10. 即 n+1=11,所以 n+1=121,n=120.

答案:A

2.(2016· 江西八所重点中学联考)在数列{an}中,已知 a1=1,an+1 +(-1)nan=cos(n+1)π,记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 S2 ________.
019=

解析:∵an+1+(-1)nan=cos(n+1)π=(-1)n 1,∴当 n=2k 时,a2k
+ +1

+a2k=-1,k∈N*,∴S2

019=a1+(a2+a3)+?+(a2 018+a2 019)

=1+(-1)×1 009=- 1008.

答案:-1 008

[终极提升]——登高博见 选择题、填空题的解法——归纳法

方法 诠释

根据某类事物的部分对象具有某种性质,推出

这类事物的全部对象都具有这种性质的推理方
法叫归纳法.

方法 由部分到整体,由特殊到一般,在数列中由a1,
特征 a2,a3?想象an由S1,S2,S3?想象Sn.


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