0一轮复习课件 第0章 第8节 二项分布和正态分布_图文

考纲要求

考情分析

1.从考查内容看,高考对本 1.了解条件概率和两个事件 节的考查主要是求条件概 相互独立的概念,理解n次独 率、相互独立事件及n次独立 立重复试验的模型及二项分 重复试验的概率,且常与分 布,并能解决一些简单的实 布列、期望与方差结合在一 际问题. 起命题.另外,正态分布密 2.利用实际问题的直方图, 度曲线的特点及应用也是考 了解正态分布曲线的特点及 查的热点. 曲线所表示的意义. 2.从考查形式看,三种题型 都可能出现,属中档题.

一、条件概率及其性质
条件概率的定义 设 A、B 为两个事件,且 P(A)>0, 条件概率的性质 (1)0≤P(B|A)≤1

P?AB? 称 P(B|A) = 为在 事件A 发 (2)若 B、C 是两个互 P?A? 则 P(B∪C|A) 事件B 发生的 斥事件, 生的条件下, = P(B|A)+P(C|A) 条件概率.

二、相互独立事件 设 A,B 为两个事件,若 P(AB)= 事件 A 与事件 B 相互独立. 1.如果 A,B 相互独立,则 P(B|A)=P(B). 2.如果 A,B 相互独立,则 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也 都相互独立.
P(A)P(B)

,则称

1.“独立事件”与“互斥事件”有何不同?

提示: 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生,两事件
相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影 响.两事件相互独立不一定互斥.

三、二项分布

1.一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重
复 试 验 , 即 若 用 Ai(i = 1,2 , … , n) 表 示 第 i 次 试 验 结 果 , 则 P(A1)P(A2)…P(An) P(A A A …A )=______________________
1 2 3 n

2.一般地,在n次独立重复试验中,用 X表示事件 A发生的 次 数 , 设 每 次 试 验 中 事 件 A 发 生 的 概 率 为 p , 则 P(X = k) = Cpk(1-p)n-k ___________________ , k = 0,1,2 , …n ,此时称随机变量服从二 X~B(n,p) 项分布,记作________________ 并称p为 成功概率 .

四、正态分布 ?x-μ? 1 1.正态曲线函数 φμ,σ(x)= e- ,x∈(-∞, 2σ2 2πσ +∞),其中实数 μ,σ(σ>0)为参数,我们称 φμ,σ(x)的图象为 正态分布密度曲线,简称
2

正态曲线

.(如图所示)

2.正态分布 (1)一般地,如果对于任何实数 a,b(a<b),随机变量 X 满足

正态分布 P(a<X≤b)=∫b aφμ,σ(x)dx,则称随机变量 X 服从
记作 X~N(μ,σ2). (2)常用数据. P(μ-σ<X≤μ+σ)=



0.6826

. . .

P(μ-2σ<X≤μ+2σ)= 0.9544 0.9974 P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=

(3)应用正态总体几乎总取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内,而
区间以外取值的概率只有 0.0026 . 通常认为这种情况在第一次 试验中几乎不可能发生.在实际应用中,通常认为服从于正态 分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称 之为 原则. 3σ

3.正态分布密度曲线的性质 (1)曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交; (2)曲线关于直线 x=μ 对称; 1 (3)曲线在 x=μ 处达到峰值 ; σ 2π (4)曲线与 x 轴之间的面积为 1;

(5) 当 σ 一定时,曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移,如图甲所

示;
(6) 当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定, σ 越小,曲线越“痩 高”,表示总体的分布越集中; σ越大,曲线越“矮胖”,表示 总体的分布越分散,如图乙所示.

2.参数μ,σ2在正态分布中的实际意义是什么?

提示:μ是正态分布的期望,σ2是正态分布的方差.

1 1. 小王通过英语听力测试的概率是3, 他连续测试 3 次, 那么其中恰有 1 次获得通过的概率是( 4 A. 9 4 C.27 2 B. 9 2 D.27 )

解析:所求概率

1 3-1 4 1 1 1 ? ? · ?1- ? P=C3· = .
?3? ?

? ? ?

?

3?

9

答案:A

1 2.已知随机变量 X~B(6, ),则 P(X=2)等于( 3 13 A.16 13 C. 243 4 B.243

)

80 D. 243 ?1? ?2? 16 80 2 2 4 ? ? ? ? 解析:P(X=2)=C6× 3 × 3 =15× 36 =243. ? ? ? ?

答案:D

3.若随机变量 ξ~N(2,100),若 ξ 落在区间(-∞,k)和 (k,+∞)内的概率是相等的,则 k 等于( A.2 C. 2 B.10 D.可以是任意实数 )

解析:由条件知x=k为正态密度曲线的对称轴,故k=2.

答案:A

4.在10个球中有 6 个红球和 4 个白球 ( 各不相同 ) ,不放回地

依次摸出2个球,在第1次摸出红球的条件下,第2次摸出红球的
概率为________.
解析:第 1 次摸出红球后,还有 9 个球;其中 5 个红球 5 和 4 个白球,故第 2 次也摸出红球的概率为 . 9

5 答案:9

5.甲、乙两个袋子中装有红、白两种颜色的小球,这些小

球除颜色外完全相同,其中甲袋装有 4 个红球、 2 个白球,乙袋
装有1个红球,5个白球,现分别从甲、乙两袋中各抽取1个球, 则取出的两个球都是红球的概率为________.

4 2 解析:从甲袋中取出红球的概率为6=3,从乙袋中取出 1 2 1 1 红球的概率为6,所以所求事件的概率为3×6=9.
1 答案:9

【考向探寻】 1.条件概率计算公式的应用 2.求相互独立事件同时发生的概率.

【典例剖析】

(1)(2013· 莆田模拟)甲罐中有5个红球,2个白球和3
个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随 机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是 红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示 由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是

________(写出所有正确结论的编号).

2 5 ①P(B)= ; ②P(B|A1)= ; ③事件 B 与事件 A1 相 5 11 互独立; ④A1,A2,A3 是两两互斥的事件; ⑤P(B)的值

不能确定,因为它与 A1,A2,A3 中哪一个发生有关. (2)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球, 1 1 命中率分别为2与 p,且乙投球 2 次均未命中的概率为16.

①求乙投球的命中率p; ②求甲投球2次,至少命中1次的概率; ③若甲、乙两人各投球2次,求两人共命中2次的概率.

题号 (1) (2)

分 析 根据概率的相关知识逐一判断 ①由乙投两次均未命中的概率可得P的方程. ②直接法或间接法求解. ③分各有一人进两次和每人各进一次3种情况 求解.

1 1 1 C1 C C C 9 5 5 5 4 (1)解析:对于①,P(B)=C1 ×C1 +C1 ×C1 =22;对于 10 11 10 11

C1 5 1 9 5 ②,P(B|A1)=C1 =11;对于③,由 P(A1)=2,P(B)=22, 11 5 P(A1· B)=22,故 P(A1· B)≠P(A1)· P(B),因此事件 B 与事 件 A1 不是相互独立事件;对于④,从甲罐中只取一球,故取 出红球就不可能是他颜色的球,故两两互斥;对于⑤,由① 可算得.故②④正确.
答案:②④

(2)解:①法 1:设“甲投球一次命中”为事件 A,“乙 投球一次命中”为事件 B. 1 由题意得(1-P(B)) =(1-p) =16,
2 2

3 5 3 解得 p=4或 p=4(舍去),所以乙投球的命中率为4. 法 2:设“甲投球一次命中”为事件 A,“乙投球一次 命中”为事件 B.

由题意得 1 P( B )P( B )=16, 1 1 于是 P( B )= 或 P( B )=- (舍去), 4 4 3 故 P=1-P( B )= . 4 3 所以乙投球的命中率为 . 4

1 1 ②方法 1:由题设和①知,P(A)=2,P( A )=2. 3 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 1-P( A · A )=4. 1 1 方法 2:由题设和①知,P(A)= ,P( A )= . 2 2 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 3 1 C2P(A)P( A )+P(A)P(A)= . 4

1 1 3 ③由题设及①知,P(A)=2,P( A )=2,P(B)=4,P( B ) 1 =4. 甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次有三种情况:甲、 乙两人各中一次; 甲中 2 次, 乙 2 次均不中; 甲 2 次均不中, 乙中 2 次.概率分别为
1 P1=C1 P ( A ) P ( A )C 2 2P(B)P( B )=

3 16,

1 P2=P(A· A)P( B · B )= , 64 9 P3=P( A · A )P(B· B)=64. 3 所以甲、乙两人各投球 2 次且共命中 2 次的概率为16+ 1 9 11 + = . 64 64 32

条件概率的求法 P?AB? (1)利用定义, 分别求 P(A)和 P(AB), 根据 P(B|A)= P?A? 求解. (2)利用古典概型概率公式求解, 即先求事件 A 包含的基 本事件数 n(A), 再求在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的 n?AB? 基本事件数,即 n(AB),利用 P(B|A)= 求解. n?A?

1.(1)在等可能事件的问题中,求条件概率第二种方法更易理
解. (2) 题目条件中若出现“在 …… 的条件下 …… 发生的概率” 时,一般为条件概率. 2.求相互独立事件同时发生的概率的方法:

(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
(2) 正面计算较繁或难以入手时,可从其对立事件入手计 算.

【活学活用】 1.甲射击命中目标的概率为 0.75,乙射击命中目标的 2 概率为3,当两人同时射击同一目标时,该目标被击中的概 率为( 1 A.2 11 C. 12 ) B.1 5 D. 6

3 1 1 2 3 2 11 解析:P=4×3+4×3+4×3=12.
答案:C

2.设 A、B 为两个事件,若事件 A 和 B 同时发生的概 3 1 率为 ,在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率为 , 10 2 则事件 A 发生的概率为______.

3 1 解析:由条件知 P(AB)= ,P(B|A)= . 10 2 3 P?AB? 10 1 ∴P(B|A)= = = P?A? P?A? 2 3 3 ∴P(A)=10×2=5.

3 答案:5

【考向探寻】 1.独立重复试验概率计算公式的应用. 2.二项分布的有关运算. 【典例剖析】 5 (1)设 X~B(2,p),Y~B(4,p),已知 P(X≥1)=9, 则 P(Y≥1)=______

(2)(12分)(2012· 天津高考 )现有4个人去参加某娱乐活动,该
活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约 定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游 戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去 参加乙游戏.

①求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率; ②求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人 数的概率; ③用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记

ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ).

5 (1)由 P(x≥1)= 求得 P,然后根据二项分布的概率公式 9 求解. (2)①运用 n 次独立重复试验概率公式求解; ②运用互斥 事件概率公式求解. ③先确定 ξ 的所有可能取值, 再求概率, 列表,最后求 E(ξ).

(1)∵X~B(2,p) 5 0 2 2 ∴P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C2(1-p) =2p-p = 9 即 9p2-18P+5=0 1 5 解得 p= 或 p= (舍去). 3 3 1 又 X~B(4,3) 16 65 0 2 4 ∴P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-C4( ) =1- = 3 81 81

65 答案:81

(2)由题意知, 这 4 个人中每个人去参加甲游戏的概率为 1 2 3,去参加乙游戏的概率为3. 设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i= 0,1,2,3,4). 则
i 1 i 2 4-i P(Ai)=C4? ? ? ? .…………………………………2

? ?? ? ?3? ?3?



①这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率
2 1 2 2 2 P(A2)=C4? ? ? ? =

? ? ? ? ?3? ?3?

8 .………………………………4 分 27

②设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游 戏的人数”为事件 B,则 B=A3∪A4.由于 A3 与 A4 互斥,故 2 1 3 1 3 3 1 4 ? ? ? ? P(B)=P(A3)+P(A4)=C4 × +C4 = .
?3? ? ? ? ? ?3?

3

9

所以这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏 1 的人数的概率为9.……………………………………6 分 ③由题意知 ξ 的所有可能取值为 0,2,4.…………7 分 由于 A1 与 A3 互斥,A0 与 A4 互斥,故 8 P(ξ=0)=P(A2)=27, 40 P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)= , 81

17 P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=81.………………………10 分 所以 ξ 的分布列是 ξ P 0 8 27 2 40 81 4 17 81

……………………………………………………11 分 8 40 17 148 ∴E(ξ)=0×27+2×81+4×81= 81 .…………12 分

(1) 二项分布是一种重要的概率分布,其应用非常广泛,也
是高考考查的重点.把握二项分布关键是理解好独立重复试验 及问题中要研究的随机变量是什么. (2) 判断随机变量是否服从二项分布的依据:①在每次试验 中,试验的结果只有两种,即发生与不发生;②在每次试验

中,事件发生的概率都相同.若满足以上两点,则以在n次独立
重复试验中以事件发生的次数作为随机变量,那么该随机变量 服从二项分布.

【活学活用】 3.甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队 3 人,每人回答 一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队 2 2 中每人答对的概率均为3,乙队中 3 人答对的概率分别为3, 2 1 3,2,且各人回答正确与否相互之间没有影响.用 ξ 表示甲 队的总得分.

(1)求随机变量ξ的分布列;

(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用
B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB). 解析:(1)由题意知,ξ 的可能取值为 0,1,2,3,



23 0 ? P(ξ=0)=C3× 1- ? =
?

?

?

3?
?

1 , 27

22 2 2 1 ? P(ξ=1)=C3× × 1- ? = , 3
?

?

3?

9

22 2 4 2 ? ? ? P(ξ=2)=C3× × 1- ?= ,
?3? ?

? ?

?

?

3?

9

23 3 ? P(ξ=3)=C3× ? =
?3?

? ?

8 27.

所以 ξ 的分布列为
ξ 0 1 2 3 1 2 4 8 P 27 9 9 27

(2)用 C 表示“甲得 2 分乙得 1 分”这一事件,用 D 表 示“甲得 3 分乙得 0 分”这一事件,所以 AB=C∪D,且 C、 D 互斥, 又 22 2 2 1 1 1 2 P(C)=C3×? ? ×?1- ?×? × × + ×
?3? ? ? ? ? ? ?

3?

?3

3 2 3

2 1 1 1 1? 10 ?= 4 , × + × × 3 2 3 3 2? 3 23 1 1 1 4 3 P(D)=C3×? ? ×? × × ?= 5,
?3? ?3 ? ? ? ?

3 2?

3

由互斥事件的概率加法公式得 10 4 34 34 P(AB)=P(C)+P(D)= 4 + 5= 5 = . 3 3 3 243

【考向探寻】 1.正态曲线性质的应用. 2.利用正态曲线的对称性求概率. 【典例剖析】
2 (1)(2013· 合肥模拟)设两个正态分布 N1(μ1, σ1 )(σ1>0)

和 N2(μ2,σ2 2)(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有

A.μ1<μ2,σ1<σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2

B.μ1<μ2,σ1>σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2

(2) 已 知 随 机 变 量 ξ 服 从 正 态 分 布 N(0 , σ2) . 若 P(ξ>2) = 0.023,则P(-2≤ξ≤2)的值为

A.0.477
C.0.954

B.0.628
D.0.977

(1)根据正态密度曲线的特点及μ,σ的含义判断. (2)利用正态密度曲线的对称性求概率.

解析: (1)由对称轴知 μ1<μ2, 由正态曲线的“高矮胖痩”
2 2 知 σ1 <σ2 ,即 σ1<σ2.

答案:A

(2)∵μ=0,则P(ξ>2)=P(ξ<-2)=0.023, ∴P(-2≤ξ≤2)=1-2×0.023=0.954.

答案:C

(1) 正态曲线的应用及需要注意的问题,结合实例、图象, 理解正态曲线的性质,并会运用性质去解决简单的问题,要特 别注意正态曲线的对称性,以及当 μ 一定时,曲线的形态与 σ 大

小的关系.
(2) 对于有关正态分布的计算问题,要记住当正态总体取值 在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内的概率 值,将所给问题转化到上述区间内解决,同时要注意对称性的 运用和数形结合思想的应用.

【活学活用】 4 . (1) 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2 , σ2) , P(ξ≤4) = 0.84,则P(ξ≤0)=( A.0.16 ) B.0.32

C.0.68
0.84=0.16. 答案:A

D.0.84

解析: ∵P(ξ≤4) = 0.84 , μ = 2 , ∴P(ξ≤0) = P(ξ≥4) = 1 -

(2)设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X≤0)=______;P(- 2<X<2)=______.
1 解析:由 X~N(0,1),知 μ=0,σ=1,故 P(X≤0)= , 2 P(-2<X<2)=P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9544.

1 答案:2,0.9544

某课程考核分理论与实验两部分进行,每部分考 核成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考核都是“合格” 则该课程考核“合格”,甲、乙、丙三人在理论考核中合格的

概 率 分 别 为 0.9 , 0.8,0.7 ; 在 实 验 考 核 中 合 格 的 概 率 分 别 为
0.8,0.7,0.9,所有考核是否合格相互之间没有影响. (1) 求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概 率; (2)求这三人该课程考核都合格的概率.(结果保留三位小数)

记“甲理论考核合格”为事件 A1; “乙理论考核合格” 为事件 A2;“丙理论考核合格”为事件 A3;记 Ai 为 Ai 的对 立事件,i=1,2,3;记“甲实验考核合格”为事件 B1;“乙 实验考核合格”为事件 B2;“丙实验考核合格”为事件 B3. (1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件 C, P(C)=P(A1A2 A3 +A1 A2 A3+ A1 A2A3) =P(A1A2 A3 )+P(A1 A2 A3)+P( A1 A2A3)

=0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7=0.504 (2)记“三人该课程考核都合格”为事件 D, P(D)=P[(A1· B1)+(A2· B2)+(A3· B3)] =P(A1· B1)+P(A2· B2)+P(A3· B3) =0.9×0.8+0.8×0.7+0.7×0.9=1.91 所以,这三人该课程考核都合格的概率约为 1.91.

本题的错误在于,(1) 中漏掉了甲、乙、丙理论考试都合格 的情形,导致分类遗漏; (2) 中混淆了独立事件与对立事件的概

念,导致所求概率大于1的错误结果.

解:记“甲理论考核合格”为事件 A1;“乙理论考核合 格”为事件 A2;“丙理论考核合格”为事件 A3;记 Ai 为 Ai 的对立事件,i=1,2,3;记“甲实验考核合格”为事件 B1; “乙实验考核合格”为事件 B2; “丙实验考核合格”为事件 B3. (1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件 C, P(C)=P(A1A2 A3 +A1 A2 A3+ A1 A2A3+A1A2A3)

=P(A1A2 A3 )+P(A1 A2 A3)+P( A1 A2A3)+P(A1A2A3) = 0.9×0.8×0.3 + 0.9×0.2×0.7 + 0.1×0.8×0.7 + 0.9×0.8×0.7=0.902. (2)记“三人该课程考核都合格”为事件 D, P(D)=P[(A1· B1)· (A2· B2)· (A3· B3)] =P(A1· B1)· P(A2· B2)· P(A3· B3)

=0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9 =0.254 016

≈0.254.
所以,这三人该课程考核都合格的概率约为0.254.

事件的互斥性、相互独立性是概率中两个重要的概念,可 以说考生对这两个概念的理解程度决定着考生对概率的掌握程 度,解决概率综合解答题,首先要把一个 “ 大的随机事件 ” 拆

成若干个 “ 小的互斥的随机事件的和 ” ,再把每个 “ 小的随机
事件 ” 分成若干个相互独立事件的乘积,解题时要做到分类时 “ 不重不漏 ” ,分步时 “ 过程完整 ” ,同时,在分拆过程中要 明确互斥事件和相互独立事件的概念,认真仔细,不然就会发 生错误.

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