2016年秋新课标人教A版高中选修2-1:《2.3.1双曲线及其标准方程》课件_图文

2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程 悲伤的双曲线 如果我是双曲线,你就是那渐近线 如果我是反比例函数,你就是那坐标轴 虽然我们有缘,能够生在同一个平面 然而我们又无缘,漫漫长路无交点 为何看不见,等式成立要条件 难道正如书上说的,无限接近不能达到 为何看不见,明月也有阴晴圆缺 此事古难全,但愿千里共婵娟 麦克唐奈天文馆 生活中的双曲线 法拉利主题公园 巴西利亚大教堂 1.记住双曲线的定义,会推导双曲线的标准 方程.(重点) 2.会用待定系数法确定双曲线的方程.(难点) 探究点1 双曲线的定义 问题1:椭圆的定义? 平面内与两个定点F1,F2的距 Y M ? x, y ? F1 ?? c, 0 ? O F2 ? c, 0 ? X 离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 问题2:如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距 离之差”,那么点的轨迹是怎样的曲线? 即“平面内与两个定点F1,F2的距离的差等于非零常 数的点的轨迹 ”是什么? 看图分析动点M满足的条件: ①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F| =2a. ②如图(B), |MF2|-|MF1|=2a, 即|MF1|-|MF2|=-2a. 由①②可得: ||MF1|-|MF2||=2a(非零常数). 图 上面两条曲线合起来叫做 双曲线,每一条叫做双曲线 的一支. 图 双曲线定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于 非零常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1,F2——双曲线的焦点; ②|F1F2|=2c——双曲线的焦距. F1 M o F2 ||MF1|-|MF2||=2a ( 0<2a<2c) (1)2a<2c; 注意 (2)2a>0. 【举一反三】 1.定义中为什么要强调差的绝对值? 若不加绝对值,则曲线为双曲线的一支. 2.定义中的常数2a可否为0,2a=2c,2a>2c? 不能.若为0,曲线就是F1F2的垂直平分线了; 若为2a=2c,曲线应为两条射线; 若为2a>2c,这样的曲线不存在. 探究点2 双曲线的标准方程 1. 建系. 如图建立直角坐标系xOy,使 y M x轴经过两焦点F1,F2,y轴为线 段F1F2的垂直平分线. 2. 设点. F1 O F2 x 设M(x , y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距 为2c(c>0),则F1(-c,0),F2(c,0),又设点M与F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数2a. 3.列式 由定义可知,双曲线就是集合: P= {M |||MF1 | - | MF2|| = 2a }, 即 ( x ? c )2 ? y 2 ? ( x ? c )2 ? y 2 ? ? 2a . 2 4.化简 代数式化简得:(c 2 ? a 2 ) x 2 ? a 2 y ? a 2(c 2 ? a 2 ), 两 边 同 除 以 a 2 ( c 2 ? a 2 ), 得 x2 y2 ? 2 ? 1. 2 2 a c ?a 由双曲线的定义知,2c>2a>0,即c>a,故c2-a2>0, 令c2-a2=b2,其中b>0,代入上式,得: x2 y2 ? 2 ? 1( a ? 0 , b ? 0 ). 2 a b 上面方程是双曲线的方程,我们把它叫做双曲 线的标准方程.它表示焦点在x轴上,焦点分别是 F1(-c,0),F2(c,0)的双曲线,这里c2=a2+b2. 想一想:焦点在y轴上的双曲线的标准方程应该是 什么?我们应该如何求解? y x ? 2 ?( 1 a ? 0 , b ? 0 ). 2 a b 2 2 【提升总结】 椭 定义 圆 双曲线 ||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2| |MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2| 方程 x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 2 a b y2 x2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 2 a b F(±c,0) F(0,±c) x2 y2 ? 2 ? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 2 a b y2 x2 ? 2 ? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 2 a b F(±c,0) F(0,±c) a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2 焦点 a,b,c的 a>b>0,a2=b2+c2 关系 例 1 已知双曲线两个焦点 F1 ( ?5, 0) , F2 (5, 0) ,双曲线 F2距离差的绝对值等于 6, 求双曲线 上一点 P 到 F , 1 的标准方程. 解:因为双曲线的焦点在x轴上,所以设它的标准 方程为 x2 y2 ? 2 ? 1( a ? 0 , b ? 0 ). 2 a b 因为2a=6,2c=10,所以a=3,c=5,所以 b 2 ? 5 2 ? 3 2 ? 1 6 . 2 2 x y 因此,双曲线的标准方程为 ? ? 1. 9 16 例2 已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比 在B地晚2 s,且声速为340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方 程. 分析:首先根据题意,判断轨迹的形状.由声速及A,B 两处听到爆炸声的时间差,可知A,B两处与爆炸点的 距离的差为定值. 这样,爆炸点在以A,B为焦点的 双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处远,所以爆炸点 应在靠近B处的双曲线的一支上. 解: 如图所示,建立直角坐标系xOy,使A,B两点在x 轴上,并且坐标原点O与线段AB的中点重合. 设爆炸点P的坐标为(x,y),则 PA ? PB ? 340 ? 2 ? 680, y A P B 即 2a=680,a=340. 又 AB ? 800, 所以 2c=800,c=400, b2 ? c 2 ? a 2 ? 44 400, o x 因 为 PA ? PB ? 340

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