2.1平面向量的实际背景及基本概念 课件(人教A版必修4)(1)


第二章

平面向量

2.1 平面向量的实际背景及基本概念

1. 了解向量的实际背景, 从位移、力等物理背景抽象出向量. 2. 理解向量的概念, 掌握向量的表示法, 了解生活中的向量. 3. 掌握并能判断相等向量和平行向量.

1. 概念 ( 1) 向量: 既有大小, 又有方向的量叫做向量, 如力, 位移等. ( 2) 数量: 只有大小, 没有方向的量称为数量, 如年龄、身高、长度、面积、体 积、质量等.

向量与数量的区别: 向量有方向, 而数量没有方向; 数量之间可以比较大小, 而向量之间不能比较大小.

( 3) 有向线段: 带有方向的线段叫做有向线段, 其方向是由起点指向终点. 以

??? ? A 为起点、B 为终点的有向线段记作 AB ( 如图所示) , 线段 AB 的长度也叫做有 ??? ? ??? ? 向线段 AB 的长度, 记作|AB | . 书写有向线段时, 起点写在终点的前面, 上面标上
箭头.

( 4) 有向线段的三个要素: 起点、方向、长度. 知道了有向线段的起点、方向、 长度, 它的终点就唯一确定. 【做一做 1】 下列量中是向量的是( ) . A. 长度 答案: C B. 身高 C. 速度 D. 面积

2. 向量的表示法 ( 1) 几何表示: 用有向线段表示, 此时有向线段的方向就是向量的方向, 向量

??? ? ??? ? 的大小就是向量的长度( 或称模) , 如向量 AB 的长度记作|AB | .
? ? ? 成带箭头的小写字母 a ,b ,c , ?. 还可以用表示向量的有向线段的起点和终点 ??? ? 字母表示, 如以 A 为起点, 以 B 为终点的向量记为 AB .
( 2) 字母表示: 通常在印刷时, 用黑体小写字母 a, b, c, ?表示向量, 书写时, 可写

【做一做 2】 已知向量 a 如图所示, 下列说法不正确的是(

) .

???? ? A. 也可以用 MN 表示
B. 方向是由 M 指向 N C. 起点是 M D. 终点是 M 答案: D

3. 有关概念 名称 零向量 单位 向量

定义 长度为 0 的向量叫做零向量 长度等于 1 个单位的向量, 叫做单 位向量 长度相等且方向相同的向量叫做 相等向量 说明 : 任意两个相等的非零向量 ,

记法 0

a= b

相等 向量

都可用同一条有向线段来表示, 并 且与有向线段的起点无关. 在平面 上, 两个长度相等且方向一致的有 向线段表示同一个向量 方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量 a≤b 0≤a

平行 向量

规定: 零向量与任何向量都平行 说明: 任一组平行向量都可以移动 到同一直线上 , 因此 , 平行向量也 叫共线向量

①共线向量所在的直线平行或重合. 如果两个向量所在的直线平行或重合, 则这两个向量是平行向量. ②在平面内, 相等的向量有无数多个, 它们的方向相同且长度相等. 相等向 量是共线向量, 而共线向量不一定是相等向量.

【做一做 3-1】 单位向量的长度等于( ) . A. 0 B. 1 C. 2 答案: B

D. 不确定

??? ? 【做一做 3-2】 如图所示, 在平行四边形 ABCD 中, 与 AB 共线的向量
有 .

??? ? ??? ? ??? ? 答案:BA ,DC ,CD

1. 向量和有向线段的区别与联系 剖析: 向量是规定了大小和方向的量, 有向线段是规定了起点和终点的线段. 它们的联系是, 向量可以用有向线段来表示, 这条有向线段的长度就是向量的长 度, 有向线段的方向就是向量的方向. 它们的区别是, 向量是可以自由移动的, 故 当用有向线段来表示向量时, 有向线段的起点是任意的. 而有向线段是不能自由 移动的, 有向线段平移后就不是原来的有向线段了. 有向线段仅仅是向量的直观 体现, 是向量的一种表现形式, 不能等同于向量; 有向线段有平行和共线之分, 而 向量的平行和共线是相同的, 是同一个概念.

2. 数学中的向量是自由向量 剖析: 根据相等向量的定义来分析, 两个非零向量只有当它们的模相等, 同 时方向相同时, 才能称它们相等. 任意两个相等的非零向量都可以用同一条有向 线段表示, 并且与有向线段的起点无关, 所以向量只有大小和方向两个要素, 是 自由向量. 例如, 五个人站成一排, 同时向前走一步( 假设每个人的步子都一样大) , 则每 个人都有一个位移, 这五个位移都相等, 是相等向量. 对于一个向量, 只要不改变 它的大小和方向, 是可以自由平行移动的. 因此在用有向线段表示向量时, 可以 自由选择起点, 所以任何一组平行向量都可以移到同一直线上.

题型一
【例 1】 下列说法正确的是( ) .

向量的有关概念

??? ? ??? ??? ? ? ??? ? A.AB ∥ CD 就是 AB 所在的直线平行于 CD 所在的直线
B. 长度相等的向量叫相等向量 C. 零向量的长度等于 0 D. 共线向量是在同一条直线上的向量

??? ? ??? ??? ? ? ??? ? 解析:AB ∥ CD 包含 AB 所在的直线与 CD 所在的直线平行和重合两种情况,
故 A 项错; 相等向量不仅要求长度相等, 还要求方向相同, 故 B 项错; 按定义, 零向 量的长度等于 0, 故 C 项正确; 共线向量可以是在一条直线上的向量, 也可以是所 在直线互相平行的向量, 故 D 项错. 答案: C

反思: (1)对向量有关概念的理解要全面、准确, 要注意相等向量、共线向量之间 的区别和联系. (2) 共线向量也就是平行向量, 其要求是几个非零向量的方向相同或相反, 向量所在的直线可以平行, 也可以重合, 其中“ 共线” 的含义不同于平面几何中 “ 共线” 的含义.

题型二

在图形中找出相等或共线向量

【例 2】 如图, 四边形 ABCD 与 ABEC 都是平行四边形.

??? ? ( 1) 写出与向量 AB 共线的向量; ??? ? ( 2) 写出与向量 AB 相等的向量.
分析: 寻找相等向量时, 需要考虑线段的长度和方向; 寻找共线向量时, 只需要考 虑线段的方向, 不需要考虑线段的长度.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 解: ( 1) 与向量 AB 共线的向量是 BA ,DE ,ED ,DC ,CD ,CE ,EC ; ??? ? ??? ? ??? ? ( 2) 与向量 AB 相等的向量是 CE 和 DC .

??? ? ??? ? 反思: 在图形中找出与 AB 共线的向量时, 首先是 BA , 再就是判断其他向量 m ??? ? ??? ? 是否与 AB 共线, 若 m 所在的直线与直线 AB 平行或重合, 则 m∥ AB , 否则它们 ??? ? ??? ? ??? ? 不共线. 在所有与 AB 共线的向量中, 与 AB 方向相同且长度相等的向量与 AB
相等.

题型三

画出实际问题中的向量

【例 3】 一辆汽车从点 A 出发向西行驶了 100 千米到达点 B, 然后又改变方向 向西偏北 50° 行驶了 200 千米到达点 C, 最后又改变方向, 向东行驶了 100 千米到 达点 D.

??? ? ??? ? ??? ? ( 1) 作出向量 AB ,BC ,CD ; ???? ( 2) 求|AD | .
分析: 先根据行驶方向和距离作出向量, 再求解.

解: ( 1) 如图所示.

??? ? ??? ??? ? ??? ? ? ( 2) 由题意, 易知 AB 与 CD 方向相反, 故 AB 与 CD 共线. ??? ? ??? ? 又|AB | =|CD | ,
∴ 在四边形 ABCD 中, ABCD. ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形,

???? ??? ? ∴ |AD | =|BC | = 200 千米.

反思: 在实际问题中准确画出向量的方法是先确定向量的起点, 再确定向量的方 向, 然后根据向量的大小确定向量的终点.

题型四

易错辨析

易错点 混淆向量的有关概念而致错 【例 4】 判断下列各命题的真假: ( 1) 向量 a 与向量 b 平行, 则 a 与 b 的方向相同或相反; ( 2) 两个有共同起点而且相等的向量, 其终点必相同; ( 3) 两个有共同终点的向量, 一定是共线向量; ??? ? ??? ? ( 4) 向量 AB 与向量 CD 是共线向量, 则点 A, B, C, D 必在同一条直线上; ( 5) 有向线段就是向量, 向量就是有向线段. 其中假命题的个数是( ) . A. 2 B. 3

C. 4

D. 5

错解: A或B或D 错因分析: 本题易发生的错误是忽略零向量而判断( 1) 为正确; 不理解共线向量 而判断( 3) 为正确; 混淆向量共线与平面几何里两直线平行而判断( 4) 正确; 混淆 向量与有向线段概念而判断( 5) 正确.

正解: ( 1) 假命题. 若 a 与 b 中有一个为零向量时, 其方向是不确定的. ( 2) 真命题. ( 3) 假命题. 终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反. ( 4) 假命题. 共线向量所在的直线可以重合, 也可以平行. ( 5) 假命题. 向量是用有向线段来表示的, 但并不是有向线段. 答案: C 反思: 对向量有关概念的理解要严谨、准确, 要特别注意向量不同于数量, 它既有 大小又有方向, 且方向不能比较大小, 因此“ 大于” “ 小于” 对向量来说没有意义, 而向量的模可以比较大小. 零向量是比较特殊的向量, 解题时一定要看清是“ 零 向量” 还是“ 非零向量” .

1 已知非零向量 a, b 满足 a≤b, 则下列说法错误的是( A. a=b B. 它们方向相同或相反 C. 所在直线平行或重合 D. 都与零向量共线 答案: A

) .

2 下列说法正确的个数为(

) .

①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量; ②零向量没有方向; ③向量的模一定是正数; ④非零向量的单位向量是唯一的. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析: ①错误. 只有速度、位移是向量; ②错误. 零向量有方向, 它的方向是任意的; ③错误. | 0| = 0; ④错误. 非零向量 a 的单位向量有两个: 一个与 a 同向, 一个与 a 反向. 答案: A

???? 3 如图, 在正方形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O, 则图中与 OA 相等的向量是
( ) .

??? ? ???? A.OC B.OD ??? ? ??? ? C.OB D.CO ???? ??? ? ???? ??? ? 解析:OA 与 CO 方向相同且长度相等, 则 OA = CO .
答案: D

4 如图, 四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形.

??? ? ( 1) 写出与 AE 共线的向量; ??? ? ( 2) 写出与 AE 相等的向量. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 解: ( 1) 与 AE 共线的向量有 EA 、 BD 和 DB . ??? ? ??? ? ( 2) 与 AE 相等的向量是 BD .

5 一个人从点 A 出发沿东北方向走了 100 m 到达点 B, 然后改变方向, 沿南 偏东 15° 方向又走了 100 m 到达点 C.

??? ? ??? ? ??? ? ( 1) 画出 AB ,BC ,CA .
解: ( 1) 如图所示.

??? ? ( 2) 求|CA | .

??? ? ??? ? ( 2) |AB | = 100 m, |BC | = 100 m, ∠ABC= 45° + 15° = 60° , 则△ABC 为正三角形.

??? ? 故|CA | = 100 m.


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