www577776com:湖南省株洲市醴陵二中2014-2015学年高一(下)期末数学复习试卷

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湖南省株洲市醴陵二中 2014-2015 学年高一(下)期末数学复习 试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分. ) 1.直线 2y+2x﹣5=0 的倾斜角是( ) A. 45° B. 135° C. 120°

D. 150° )

2.空间直角坐标系中,点 A(﹣3,4,0)和点 B(2,﹣1,6)的距离是( A. B. C. 9 D. 3.圆 x +y ﹣4x=0 的圆心坐标和半径分别为( A. (0,2) ,2 B. (2,0) ,4
2 2

) C. (﹣2,0) ,2

D. (2,0) ,2

4.过点 M(﹣2,a)和 N(a,4)的直线的斜率为 1,则实数 a 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 1 或 4 D. 1 或 2 5. 一个几何体的三视图如图所示, 其中正视图是一个正三角形, 则该几何体的体积为 ( )

A. 1

B.

C.

D.

6.已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,有下列四个命题 ①α∥β?l⊥m ②α⊥β?l∥m ③l∥m?α⊥β ④l⊥m?α⊥β 其中正确的两个命题是( ) A. ①与② B. ③与④ C. ②与④ 7.直线 A. 1 截圆 x +y =4 得到的弦长为( B. C.
2 2 2 2

D. ①与③

) D. 2 ,则 a 等于( D. 0 )

8.过点 P(a,5)作圆(x+2) +(y﹣1) =4 的切线,切线长为 2 A. ﹣1 B. ﹣2 C. ﹣3

9.正六棱锥底面边长为 a,体积为 A. 30° B. 45°

a ,则侧棱与底面所成的角为( C. 60°

3

) D. 75°

10.设 Rt△ ABC 斜边 AB 上的高是 CD,AC=BC=2,沿高 CD 作折痕将之折成直二面角 A ﹣CD﹣B(如图)那么得到二面角 C﹣AB﹣D 的余弦值等于( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填在题中横线上) 11.设 a,b∈R,若直线 ax+y﹣b=0 与直线 x﹣3y+1=0 垂直,则实数 a= . 12.圆心为(1,1) ,且经过点(2,2)的圆的标准方程为 .

13.已知直线 ax+y+a+2=0 恒经过一个定点,则过这一定点和原点的直线方程 是 . 14.长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=1,E 为 CC1 的中点,则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为 . 15.用一张圆弧长等于 12π 分米,半径是 10 分米的扇形胶片制作一个圆锥体模型,这个圆 锥体的体积等于 立方分米.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.平行于直线 2x+5y﹣1=0 的直线 l 与坐标轴围成的三角形面积为 5,求直线 l 的方程. 17.已知△ ABC 的顶点坐标是 A(8,0) ,B(0,6) ,O(0,0) . (1)求△ ABC 外接圆 C 的方程. (2)过点 P(﹣1,5)作圆 C 的切线 l,求切线 l 的方程. 18.设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形,在此容器内注入水,并浸入半径为 r 的一 个实心球,使球与水面恰好相切,试求取出球后水面高为多少?

19.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=3,AB=5,BC=4,AA1=4, (Ⅰ)求证:AC⊥BC1; (Ⅱ)在 AB 上是否存在点 D 使得 AC1∥平面 CDB1.

20.如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,点 D 为线段 AB 上一点,且 AD= DB,点 C 为圆 O 上一点,且 BC= AC.点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D,PD=DB. (1)求证:PA⊥CD; (2)求二面角 C﹣PB﹣A 的余弦值.

21.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴正半轴上,直线 3x﹣4y+4=0 与圆相切. (1)求圆 C 的方程; (2)已知点 Q(0,3) ,动点 P 在所求圆 C 上,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程; (3) 过点 Q (0, ﹣3) 的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A (x1, y1) 、 B (x2, y2) , 且 x1x2+y1y2=3, 求△ ABC 的面积.

湖南省株洲市醴陵二中 2014-2015 学年高一(下)期末数学复习 试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分. ) 1.直线 2y+2x﹣5=0 的倾斜角是( ) A. 45° B. 135° C. 120°

D. 150°

考点:直线的倾斜角. 专题:直线与圆. 分析:由直线方程求出斜率,再由斜率公式求出直线的倾斜角. 解答: 解:由题意知,直线方程是:2y+2x﹣5=0, ∴直线 2y+2x﹣5=0 的斜率 k=﹣1, 由 k=tanα 得,则直线的倾斜角是 135°, 故选:B. 点评:本题考查由直线方程求出直线的斜率、倾斜角,以及斜率公式,属于基础题. 2.空间直角坐标系中,点 A(﹣3,4,0)和点 B(2,﹣1,6)的距离是( A. B. C. 9 D. )

考点:空间两点间的距离公式. 专题:计算题. 分析:根据题目中所给的两个点的坐标, 把点的坐标代入求两点之间的距离的公式, 进行式 子的加减和平方运算,得到结果. 解答: 解:∵A(﹣3,4,0) ,B(2,﹣1,6) ∴代入两点间的距离公式可得:|AB|= =

故选 D. 点评:本题考查两点之间的距离公式的应用, 这种问题一般不会单独出现, 要和其他的知识 点结合在一起考查,本题是一个基础题. 3.圆 x +y ﹣4x=0 的圆心坐标和半径分别为( A. (0,2) ,2 B. (2,0) ,4
2 2

) C. (﹣2,0) ,2

D. (2,0) ,2

考点:圆的标准方程. 专题:计算题. 分析:把圆的方程利用配方法化为标准方程后,即可得到圆心与半径. 2 2 2 2 解答: 解:把圆 x +y ﹣4x=0 的方程化为标准方程得: (x﹣2) +y =4, 所以圆心坐标为(2,0) ,半径为 =2 故选 D 点评:此题比较简单,要求学生会把圆的一般方程化为标准方程.

4.过点 M(﹣2,a)和 N(a,4)的直线的斜率为 1,则实数 a 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 1 或 4 D. 1 或 2 考点:直线的斜率. 专题:计算题. 分析:利用直线的斜率公式可得 ,解方程求得 a 的值.

解答: 解:由于过点 M(﹣2,a)和 N(a,4)的直线的斜率为 1, ∴ ∴a=1 故选:A. 点评:本题考查直线的斜率公式的应用,是一道基础题. 5. 一个几何体的三视图如图所示, 其中正视图是一个正三角形, 则该几何体的体积为 ( )

A. 1

B.

C.

D.

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:由三视图可知:该几何体是一个三棱锥,侧面 PAB⊥底面 ABC,PAB 为边长是 2 的 正三角形,O 为 AB 的中档,OC⊥AB,OC=1.利用三棱锥的体积计算公式即可得出. 解答: 解:由三视图可知:该几何体是一个三棱锥,侧面 PAB⊥底面 ABC,PAB 为边长 是 2 的正三角形,O 为 AB 的中档,OC⊥AB,OC=1. ∴该几何体的体积 V= 故选:D. = .

点评:本题考查了三棱锥的三视图及其体积计算公式,属于基础题. 6.已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,有下列四个命题 ①α∥β?l⊥m ②α⊥β?l∥m ③l∥m?α⊥β ④l⊥m?α⊥β 其中正确的两个命题是( ) A. ①与② B. ③与④ C. ②与④ D. ①与③

考点:命题的真假判断与应用. 专题:常规题型;空间位置关系与距离. 分析:空间中线面位置关系的推理证明. 解答: ①因为 α∥β 且 l⊥平面 α,所以 l⊥平面 β,又因为直线 m?平面 β,所以 l⊥m; ②α⊥β?l∥m 错误; ③因为 l∥m,直线 l⊥平面 α,所以直线 m⊥平面 α,又因为直线 m?平面 β,所以 α⊥β; ④l⊥m?α⊥β 错误. 故选 D. 点评:空间中线面位置关系的推理证明,属于基础题. 7.直线 A. 1 截圆 x +y =4 得到的弦长为( B. C.
2 2

) D. 2

考点:直线与圆相交的性质. 专题:计算题. 分析:先求出圆心和半径,求出圆心(0,0)到直线的距离为 d,利用弦长公式求出弦长. 解答: 解:圆的半径为 2,圆心(0,0)到直线的距离为 d= ∴弦长为 2 =2 =2 , =1,

故选 B. 点评:本题考查直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式,使用弦长公式求弦长. 8.过点 P(a,5)作圆(x+2) +(y﹣1) =4 的切线,切线长为 2 A. ﹣1 B. ﹣2 C. ﹣3
2 2

,则 a 等于( D. 0



考点:圆的切线方程. 专题:直线与圆. 分析:算出圆心为 C(﹣2,1) 、半径 r=2,根据两点间的距离公式,算出圆心到点 P 的距 离|CP|.再由切线的性质利用勾股定理加以计算,可得 a 的值. 2 2 解答: 解:∵(x+2) +(y﹣1) =4 的圆心为 C(﹣2,1) 、半径 r=2, ∴点 P(a,5)到圆心的距离为|CP|= ∵过切点的半径与切线垂直, = .

∴根据勾股定理,得切线长为

=



解得:a=﹣2 故选:B. 点评:本题考查求圆的经过点 P 的切线长.着重考查了圆的标准方程、两点间的距离公式、 切线的性质与勾股定理等知识,属于中档题.
3

9.正六棱锥底面边长为 a,体积为 A. 30° B. 45°

a ,则侧棱与底面所成的角为( C. 60°

) D. 75°

考点:直线与平面所成的角. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:根据正六棱锥底面边长为 a,体积为 成的角. 解答: 解:∵正六棱锥的底面边长为 a, ∴S 底面积=6? ∵体积为 a,
3

a ,确定侧棱及高的长,即可求侧棱与底面所

3

=

∴棱锥的高 h=a ∴侧棱长为 a ∴侧棱与底面所成的角为 45° 故选 B. 点评:本题考查棱锥的体积,其中根据已知条件计算出棱锥的底面积和高是解答本题的关 键. 10.设 Rt△ ABC 斜边 AB 上的高是 CD,AC=BC=2,沿高 CD 作折痕将之折成直二面角 A ﹣CD﹣B(如图)那么得到二面角 C﹣AB﹣D 的余弦值等于( )

A.

B.

C.

D.

考点:二面角的平面角及求法. 专题:计算题. 分析: 利用直角三角形的勾股定理求出 AD, BD, CD 的长度, 取 AB 的中点 E, 连接 CE, DE,判断出∠CED 为二面角 C﹣AB﹣D 的平面角

,然后通过解直角三角形求出二面角的大小. 解答: 解:因为 Rt△ ABC 斜边 AB 上的高是 CD,AC=BC=2, 所以 CD⊥AD,CD⊥BD,AD=BD= ,CD= 所以 CD⊥平面 ABD 取 AB 的中点 E,连接 CE,DE, 因为 AC=BC=2,所以 CE⊥AB,DE⊥AB

所以∠CED 为二面角 C﹣AB﹣D 的平面角 在△ ADB 中,DE= 在 Rt△ CDE 中,cos∠CED= 故选 B. 点评:本题考查求二面角的大小,一般先找出平面角,再证明,再解三角形,属于中档题. 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填在题中横线上) 11.设 a,b∈R,若直线 ax+y﹣b=0 与直线 x﹣3y+1=0 垂直,则实数 a= 3 . 考点:直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题:计算题. 分析:由给出的直线的一般方程求出两条直线的斜率, 因为两条直线互相垂直, 所以斜率之 积等于﹣1,列式后可以求得实数 a 的值. 解答: 解:直线 ax+y﹣b=0 的斜率为 k1=﹣a,直线 x﹣3y+1=0 的斜率为 因为直线 ax+y﹣b=0 与直线 x﹣3y+1=0 垂直,所以 k1?k2=﹣1, 即 ,解得:a=3. . ,CE=

故答案为 3. 点评:本题考查了直线的一般式方程与直线垂直的关系, 解答此类问题时, 如果不需要讨论, 可以求出两直线的斜率,利用斜率之积等于﹣1 解决,若 y 的系数含有字母,可直接利用两 直线 A1x+B1y+C1=0 与 A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件为 A1A2+B1B2=0 解决.此题是基础 题. 12.圆心为(1,1) ,且经过点(2,2)的圆的标准方程为 (x﹣1) +(y﹣1) =2 . 考点:圆的标准方程. 专题:计算题;直线与圆. 分析:设出圆的标准方程,代入点的坐标,求出半径,求出圆的标准方程.
2 2

解答: 解:设圆的标准方程为(x﹣1) +(y﹣1) =R , 2 2 2 由圆经过点(2,2)得 R =2,从而所求方程为(x﹣1) +(y﹣1) =2, 2 2 故答案为: (x﹣1) +(y﹣1) =2. 点评:本题主要考查圆的标准方程,利用了待定系数法,关键是确定圆的半径. 13.已知直线 ax+y+a+2=0 恒经过一个定点,则过这一定点和原点的直线方程是 y=2x .

2

2

2

考点:恒过定点的直线. 专题:计算题;直线与圆. 分析:由直线 ax+y+a+2=0,可得 a(x+1)+(y+2)=0,从而可得定点坐标,进而可求直线 方程. 解答: 解:由直线 ax+y+a+2=0,可得 a(x+1)+(y+2)=0 令 ,可得 x=﹣1,y=﹣2

∴直线 ax+y+a+2=0 恒经过一个定点(﹣1,﹣2) , ∴过这一定点和原点的直线方程是 ,即 y=2x

故答案为:y=2x. 点评:本题考查直线恒过定点,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 14.长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=1,E 为 CC1 的中点,则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为 .

考点:异面直线及其所成的角. 专题:计算题. 分析:先建立适当的空间直角坐标系,规定棱长,再求出 BC1 与 AE 直线所在的向量坐标, 然后根据向量的夹角公式求出夹角的余弦值即可. 解答: 解:建立坐标系如图, 则 A(1,0,0) ,E(0,2,1) ,B(1,2,0) ,C1(0,2,2) , =(﹣1,0,2) , =(﹣1,2,1) ,

cos<

>=

=



故答案为

点评:本小题主要考查异面直线所成的角,以及空间向量,考查空间想象能力、运算能力和 推理论证能力,属于基础题. 15.用一张圆弧长等于 12π 分米,半径是 10 分米的扇形胶片制作一个圆锥体模型,这个圆 锥体的体积等于 96π 立方分米. 考点:棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:计算题. 分析:由已知中用一张圆弧长等于 12π 分米,半径是 10 分米的扇形胶片制作一个圆锥体模 型,我们易求也圆锥的底面半径为及高,代入圆锥体积公式,即可得到答案. 解答: 解:∵扇形胶片的圆弧长等于 12π 分米,半径是 10 分米 则圆锥体的底面周长为 12π 分米,母线长是 10 分米 令圆锥的底面半径为 R,高为 H 则 2×π×R=12π 即 R=6 H= 故 V= =8 =96π

故答案为:96π 点评:本题考查的知识点是圆锥的体积公式, 其中根据已知计算圆锥的底面半径为及高, 是 解答本题的关键. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.平行于直线 2x+5y﹣1=0 的直线 l 与坐标轴围成的三角形面积为 5,求直线 l 的方程. 考点:直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题:直线与圆. 分析:设直线 l 的方程为 2x+5y=a(a≠0) ,则直线 l 与两坐标轴的交点 坐标,代入三角形的 面积公式进行运算,求出参数 a. 解答: 解析:设直线 l 的方程为 2x+5y=a(a≠0) ,则直线 l 与两坐标轴的交点分别为( 0) , (0, ) , ∴ ×| |?| |=5,解得 a=±10, ∴直线 l 的方程为 2x+5y=±10. 点评:本题考查用待定系数法求直线的方程, 两直线平行的性质, 以及利用直线的截距求三 角形的面积. 17.已知△ ABC 的顶点坐标是 A(8,0) ,B(0,6) ,O(0,0) . (1)求△ ABC 外接圆 C 的方程. (2)过点 P(﹣1,5)作圆 C 的切线 l,求切线 l 的方程. ,

考点:圆的一般方程;圆的切线方程. 专题:直线与圆. 分析: (1)依题意,易知 ABC 外接圆 C 的直径为|AB|= =10,圆心为(4,3) ,

从而可得△ ABC 外接圆 C 的方程. (2)分直线 l 的斜率不存在与直线 l 的斜率存在时,设为 k 两种情况讨论,分别利用圆心到 直线的距离等于半径去解决问题即可. 解答: 解: (1)∵△ABC 的顶点坐标是 A(8,0) ,B(0,6) ,O(0,0) , ∴△ABC 外接圆 C 的直径为|AB|=
2

=10,圆心为(4,3) ,
2

∴△ABC 外接圆 C 的方程为: (x﹣4) +(y﹣3) =25; (2)当直线 l 的斜率不存在时,x=﹣1,圆心(4,3)到直线 x=﹣1 的距离为 4﹣(﹣1) =5,故直线 x=﹣1 为该圆的一条切线; 当直线 l 的斜率存在时,设为 k,则过点 P(﹣1,5)的 l 的方程为 y﹣5=k(x+1) , 即 kx﹣y+k+5=0, 依题意,圆心(4,3)到直线 l 的距离 d= = =5,

解得:k=



∴l 的方程为:21x﹣20y+121=0, 综上所述,过点 P(﹣1,5)作圆 C 的切线 l 的方程为:x=﹣1 或 21x﹣20y+121=0. 点评:本题考查圆的一般方程与圆的切线方程的求法, 利用圆心到直线的距离等于半径是求 切线斜率(存在时)的关键,考查转化思想. 18.设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形,在此容器内注入水,并浸入半径为 r 的一 个实心球,使球与水面恰好相切,试求取出球后水面高为多少?

考点:组合几何体的面积、体积问题. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:由题意求出球的体积,求出圆锥的体积,设出水的高度,求出水的圆锥的体积,利用 V 水+V 球=V 容器,求出圆锥内水平面高. 解答: 解:如图.在容器内注入水,并放入一个半径为 r 的铁球,这时水面记为 AB, 将球从圆锥内取出后,这时水面记为 EF. 三角形 PAB 为轴截面,是正三角形, 三角形 PEF 也是正三角形,圆 O 是正三角形 PAB 的内切圆.

由题意可知,DO=CO=r,AO=2r=OP,AC= ∴V 球= ,VPC= h =

r
3

=3πr

又设 HP=h,则 EH= ∴V 水= ∵V 水+V 球=VPC 即 ∴h= 即圆锥内的水深是 +

=3πr ,

3



点评:本小题主要考查球的体积和表面积、旋转体(圆柱、圆锥、圆台)等基础知识,考查 运算求解能力,考查转化思想.属于基础题. 19.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=3,AB=5,BC=4,AA1=4, (Ⅰ)求证:AC⊥BC1; (Ⅱ)在 AB 上是否存在点 D 使得 AC1∥平面 CDB1.

考点:直线与平面平行的性质;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题:证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)根据直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直,再利用直线与平面垂直的性 质即可证明 AC⊥BC1. (2)利用三角形中位线的性质证明线线平行,再根据直线与平面平行的判定定理即可证明 AC1∥平面 CDB1. 解答: 证明: (1)在△ ABC 中,AC=3,BC=4,AB=5, 2 2 2 所以 AB =AC +BC ,故 AC⊥BC.

因为 C1C⊥平面 ABC,AC?平面 ABC,所以 AC⊥C1C. 又 C1C?平面 BB1C1C,BC?平面 BB1C1C,且 C1C∩BC=C, 所以 AC⊥平面 BB1C1C. 又 BC1?平面 BB1C1C,所以 AC⊥BC1. (2)存在点 D 是 AB 的中点,使得 AC1∥平面 CDB1. 证明:设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE, 因为 E 为正方形 CBB1C1 对角线的交点, 所以 E 为 C1B 的中点. 又 D 是 AB 的中点, 所以 DE 为△ ABC1 的中位线, 故 DE∥AC1. 因为 AC1?平面 CDB1,DE?平面 CDB1,所以 AC1∥平面 CDB1.

点评:本题考查直线与平面平行的判定定理以及直线与平面垂直的判定定理的应用. 属于中 档题.

20.如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,点 D 为线段 AB 上一点,且 AD= DB,点 C 为圆 O 上一点,且 BC= AC.点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D,PD=DB. (1)求证:PA⊥CD; (2)求二面角 C﹣PB﹣A 的余弦值.

考点:二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)先利用平面几何知识与线面垂直的性质证线线垂直,由线线垂直?线面垂直, 再由线面垂直?线线垂直; (2)通过作出二面角的平面角,证明符合定义,再在三角形中求解.

解答: 解析: (1)连接 OC,由 AD= BD 知,点 D 为 AO 的中点, 又∵AB 为圆的直径,∴AC⊥BC, ∵ AC=BC,∴∠CAB=60°, ∴△ACO 为等边三角形,∴CD⊥AO. ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D, ∴PD⊥平面 ABC,又 CD?平面 ABC, ∴PD⊥CD,PD∩AO=D, ∴CD⊥平面 PAB,PA?平面 PAB, ∴PA⊥CD. (2)过点 D 作 DE⊥PB,垂足为 E,连接 CE, 由(1)知 CD⊥平面 PAB,又 PB?平面 PAB, ∴CD⊥PB,又 DE∩CD=D, ∴PB⊥平面 CDE,又 CE?平面 CDE, ∴CE⊥PB, ∴∠DEC 为二面角 C﹣PB﹣A 的平面角. 由(1)可知 CD= ,PD=BD=3, ∴PB=3 ,则 DE= = = , , .

∴在 Rt△ CDE 中,tan∠DEC= ∴cos∠DEC=

,即二面角 C﹣PB﹣A 的余弦值为

点评: 本题考查线线垂直的判定、 二面角的平面角及求法. 二面角的求法: 法 1、 作角 (根 据定义作二面角的平面角)﹣﹣证角(符合定义)﹣﹣求角(解三角形) ; 法 2、空间向量法,求得两平面的法向量,再利用向量的数量积公式求夹角的余弦值.

21.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴正半轴上,直线 3x﹣4y+4=0 与圆相切. (1)求圆 C 的方程; (2)已知点 Q(0,3) ,动点 P 在所求圆 C 上,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程; (3) 过点 Q (0, ﹣3) 的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A (x1, y1) 、 B (x2, y2) , 且 x1x2+y1y2=3, 求△ ABC 的面积. 考点:直线和圆的方程的应用. 专题:直线与圆. 分析: (1)设圆心为 C(a,0) , (a>0) ,可得圆 C 的方程的方程.再根据圆心到直线的 距离等于半径求得 a 的值,可得圆 C 的方程. (2)设 M(x,y) ,P(a,b) ,由题意,M 是 PQ 的中点,所以 2x=a,2y=3+b,了代入法 求 M 的轨迹; (3)依题意:设直线 l 的方程为:y=kx﹣3,代入圆的方程化简,利用根与系数的关系表示 x1+x2,x1x2,再由 x1x2+y1y2=3,求得 k 的值,可得∴直线 l 的方程.求得圆心 C 到 l 的距 离 d、以及|AB|的值,再由三角形面积公式可得. 解答: 解: (1)设圆心为 C(a,0) , (a>0) ,则圆 C 的方程为(x﹣a) +y =4. 因为圆 C 与 3x﹣4y+4=0 相切,所以
2 2 2 2

=2,解得:a=2 或 a=﹣

(舍) ,

所以圆 C 的方程为: (x﹣2) +y =4.…(4 分) (2)设 M(x,y) ,P(a,b) ,由题意,M 是 PQ 的中点,所以 2x=a,2y=3+b, 所以 a=2x,b=2y﹣3,即 P(2x,2y﹣3)在圆 C 上, 2 2 所以: (2x﹣2) +(2y﹣3) =4 为 M 的轨迹方程; (3)依题意:设直线 l 的方程为:y=kx﹣3, 由 得(1+k )x ﹣(4+6k)x+9=0,
2 2

∵l 与圆 C 相交于不同两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ∴△=(4+6k )﹣4(1+k )×9>0,且 x1+x2=
2 2

,x1x2=



∴y1y2=(kx1﹣3) (kx2﹣3)=k2?x1x2﹣3k(x1x2)+9= 又∵x1x2+y1y2=3, ∴ +
2



+9,



+9=3,

整理得:k +4k﹣5=0 解得 k=1 或 k=﹣5(舍) . ∴直线 l 的方程为:y=x﹣3.…(8 分) 圆心 C 到 l 的距离 d= = ,在△ ABC 中,∵|AB|=2 = , = ,

原点 O 到直线 l 的距离,即△ AOB 底边 AB 边上的高 h=

∴S△ AOB= |AB|?h= ?

?

=

.…(12

点评:本题主要考查直线和圆相交的性质,求圆的标准方程,代入法求轨迹方程、一元二次 方程根与系数的关系,属于中档题.


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