等比数列及其通项公式_图文

等比数列及其通项公式

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一位数学家曾经说过: 你如果能将一张报纸对折 38次,我就能顺着它在今晚爬 上月球,将一张报纸对折会有 那么大的高度吗?

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某种细胞分裂情况如图所示

细胞分裂个数可以组成以下数列:1,2,4,8,16,……

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古人云:一尺之棰,日取其半,万 世不竭
如果把”一尺之棰”看作单位”1”,那么 得到的数列是:

1,1/2,1/41,1/8,1/16,……

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一种计算机病毒可以查找计算机中的地 址簿,通过邮件进行传播.如果把病毒制 造者发送病毒称为第一轮,邮件接收者发 送病毒称为第二轮,依此类推.假设每一 轮每一台计算机都感染20台计算机,那 么在不重复的情况下,这种病毒每一轮感 染的计算机数构成的数列是:
1,20,202,203,…;

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观察这几个数列中后项与前项有什么关系:

1,2,4,8, …; 1,1/2,1/4,1/8,…;

2

1/2
20

1,20,202,203,…;

从第2项起,每一项与它前一项的比等于一个 常数。
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等比数列:一般地,如果一个数列从第 2项起,每一项与它的前一项的比等于 同一个常数(指与n无关的数),那么 这个数列就叫作等比数列。 这个常数叫做等比数列的公比,公比通 常用字母q表示(q≠0)。

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判定下列数列是否可能是等比数列?
(1)1,2,,8,32,128,… (2) -1,-5,-25,-125,…

不是 是
是 是 不是

(3)

2,2,2,2,…

(4) 1,-0.5,0.25,-0.125,…

(5) 1,2,1,2,1,2…

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注意:
1、q≠0 2、存在既是等差数列又是等比数列的数列?
非零的常数列

3、等比中项:如果在a与b中间插入一个数G ,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的 等比中项。任何两个数都有等差中项,有且只 有一个,而只有同号的两个数才有等比中项, 而且有两个,且互为相反数。

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递推法
类比等差数列的推导过程,设等比数列{an}首 项为a1,公比为q,根据等比数列的定义,我们 有: a2=a1q, a3=a2q=a1q2, … 即an=a1qn-1

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连乘法
根据等比数列的定义,我们还可以写出

进而有

即an=a1qn-1

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课堂练习

已知四个数,前三个数成等比数列,它们的和 19,后三个数成等差数列,它们的和12,求 这四个数。

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课堂小结

一个定义:

一个公式:,an=a1qn-1 (n∈N,q≠0)

两种方法:不完全归纳法、叠乘法。

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作业
课本p53习题2.4, 1、2、7、8


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