人教版2017高中数学选修四2.1.3参数方程和普通方程的互化PPT课件

人教版2017高中数学 —PPT课件— 1 回顾-参数方程的概念 一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标x, y都是某个变数t的函数 ? x ? f (t ), ? (2) y ? g ( t ). ? 并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数. 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。 【关于参数几点说明】参数是联系变数x,y的桥梁, 1.参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明显 意义。 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围 例2:如下图,圆O的半径为2,P是圆上的动 点,Q(6,0)是x轴上的定点,M是PQ的中点.当P 在圆上作匀速圆周运动时,求点M的轨迹的参 y 数方程. 点M的轨迹 是什么呢? P o θ M Q(6,0) x ? x ? cos? ? 3, 由参数方程 ? (? 为参数)直接判断点M 的轨迹的 ? y ? sin ? 曲线类型并不容易,但如果将参数方程转化为熟悉的普通 方程,则比较简单。 2.1.3 参数方程和普通方程的互化 由参数方程得: ?cos? ? x ? 3 2 2 2 2 ,sin ? ? cos ? ? ( x ? 3) ? y ?1 ? ?sin ? ? y 所以点M 的轨迹是圆心在(3,0),半径为1的圆。 参数 方程 消去参数 代入参数关系 普通 方程 例1、把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各 表示什么曲线? y ? ?x= t ? 1 (1)? (t为参数) ? ? y ? 1? 2 t (1,1) o x 步骤:先消掉参数, 再写出定义域。 解:( 1 )由x ? t ? 1 ? 1有 t ? x ? 1 代入y ? 1 ? 2 t , 得到y ? ?2 x ? 3 又x ? t ? 1 ? 1, 所以与参数方程等价的 普通方程是y ? ?2 x ? 3( x ? 1) 代入(消参数)法 这是以(1,1)为端点的一条射线 (包括端点) 例1、把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各 表示什么曲线? ?x= sin ? ? cos? (2)? (? 为参数). ? y ? 1 ? sin 2? 恒等式(消参数)法 (2)把x ? sin ? ? cos?平方后减去y ? 1 ? sin 2? 得到x ? y, 又x ? sin ? ? cos? ? 2 sin(? ? ), 4 y 所以x ? [? 2 , 2 ], 2 ? 所以与参数方程等价的 普通方程为 x 2 ? y, x ? [? 2 , 2 ]. 这是抛物线的一部分。 ? 2 o 2 x 说明:把参数方程化为普通方程,常用方法有: (1)代入(消参数)法 (2)加减(消参数)法 (3)借用代数或三角恒等式(消参数)法 常见的代数恒等式: 1 2 1 2 在消参过程中注意变 (1)( t ? ) ? ( t ? ) ? 4 t t 量x、y取值范围的 t 2 ? a2 2 2at 2 一致性,必须根据参 (2)( 2 ) ? ( ) ? 1 t ? a2 t 2 ? a2 数的取值范围,确定 2 2 f(t)和g(t)值域得x、y t ?a 2 2at 2 (3)( 2 ) ?( 2 ) ?1 2 2 的取值范围。 t ?a t ?a 练习: 1、曲线y=x2的一种参数方程是( ). 2 ? ?x ? t A、 ? 4 y ? t ? ? 分析: 在y=x2中,x∈R, y≥0, 在A、B、C中,x,y的范围都 发生了变化,因而与 y=x2不等价; 而在D中, ? x ? sin t B、 ? 2 ? y ? sin t ?x ? t ? C、 ? ? ?y ? t ?x ? t D、 ? 2 ?y ? t x,y范围与y=x2中x,y的范围相同, ? ?x ? t 且以 ? 2 ? ?y ? t 代入y=x2后满足该方程,从而D是曲线y=x2的一种参数方程. 注意: 在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y 的取值范围保持一致。否则,互化就是不等价的. 2、若曲线 { 轨迹是 x ? 1 ? cos2? y ? sin ? 2 (?为参数),则点( x, y )的 A、直线x ? 2 y ? 2 ? 0, B、以(2,0)为端点的射线 C、圆( x ? 1) ? y ? 1, D、以(2,0)和(0,1)为端点的线段 2 2 ( D ) a 1 ? x ? ( t ? ) ? ? 2 t (2) (4)? b 1 (t为参数,a、b为常数) ? y ? (t ? ) ? 2 t ? 3、将下列参数方程化为普通方程: ? x ? 2 ? 3 cos? ? x ? sin ? (3) (2) ? (1) ? ? y ? 3 sin ? ? y ? cos2? 2 x=t+1/t y=t2+1/t2 2 x y (2) ( 4) 2 ? 2 ? 1 a b (1)(x-2)2+y2=9 (2)y=1- 2x2(- 1≤x≤1) (3)x2- y=2(X≥2或x≤- 2) 二、普通方程 参数方程 如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系, 例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变 数与参数的关系y=g(t),那么 x ? f (t ) { y ? g (t ) 这就是曲线的参数方程。 x2 y 2 ? ?1 的参数方程。 例4 求椭圆 9 4 (1)设x=3cos?,?为参数; x2 y 2 ? ?1 的参数方程。 例4 求椭圆 9 4 (1)设x=3cos?,?为参数; 2 2 解:( 1 )把x ? 3

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