2012年高考文科数学真题汇编之6---立体几何(解析版)_图文

2012 年高考文科数学真题汇编之 6

立体几何
一、选择题 1.【2012 高考新课标文 7】如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的是某几何体的三

视图,则此几何体的体积为(
( A) 6 (B) 9


( C ) ?? ( D ) ??

【答案】B 【解析】选 B 由三视图可知,该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为 3 ,所以几何体的体 积为 V ?
1 3 ? 1 2 ? 6 ? 3 ? 3 ? 9 ,选 B.

2.【2012 高考新课标文 8】平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α 的距离为 2,则此球的体积为 (A) 6π (B)4 3π 【答案】B 【解析】球半径 r ?
1? ( 2)
2

(C)4 6π
? 3 ,所以球的体积为

(D)6 3π
4 3

? ? ( 3 ) ? 4 3? ,选 B.
3

3.【2012 高考全国文 8】已知正四棱柱 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中 , A B ? 2 , C C 1 ? 2 2 , E 为
C C 1 的中点,则直线 A C 1 与平面 B E D 的距离为

(A) 2 【答案】D

(B) 3

(C) 2

(D) 1

【 解 析 】 连 结 AC , BD 交 于 点 O , 连 结 OE , 因 为 O , E 是 中 点 , 所 以 OE // AC 1 , 且
OE ? 1 2 AC 1 ,所以 AC 1 // BDE ,即直线 AC

1

与平面 BED 的距离等于点 C 到平面 BED 的距

离,过 C 做 CF ? OE 于 F ,则 CF 即为所求距离.因为底面边长为 2,高为 2 2 ,所以
AC ? 2 2 , OC ?
2 , CE ? 2 , OE ? 2 , 所 以 利 用 等 积 法 得 CF ? 1 , 选 D.
-1-

4.【2012 高考陕西文 8】将正方形(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体, 则该几何体的左视图为 ( )

8.【答案】B. 【解析】根据.空间几何体的三视图的概念易知左视图 AD 1 是实线 B 1 C 是虚线,故选 B. 5.【2012 高考江西文 7】若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为

A.

11 2

B.5

C.4

D.

9 2

【答案】D 【解析】由三视图可知这是一个高为 1 的直六棱柱。底面为六边形的面积为
(1 ? 3) ? 1 ? 2 ? 4 ,所以直六棱柱的体积为 4 ? 1 ? 4 ,选 D. 2

易错提示:本题容易把底面六边形看成是边长为 1 的正六边形,其实只有上下两个边长是 1. 6.【2012 高考湖南文 4】某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可 .. 能是 .

-2-

【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知,原图下 面图为圆柱或直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C,都可 能是该几何体的俯视图,D不可能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应为如图的矩 形.

【点评】本题主要考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力.是近年来热点题型. 7.【2012 高考广东文 7】某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为 6 3 5 5 5 5 6 3

正视图

侧视图

俯视图 图1 A. 7 2 ? B. 48 ? C. 3 0 ? D. 2 4 ?

【答案】C 【解析】该几何体是圆锥和半球体的组合体,则它的体积
V ? V圆 锥 ? V 半 球 体 ? 1 3

? ?3 ?4 ?
2

1 4 3 ? ? ? 3 ? 3 0? . 2 3

8.【2102 高考福建文 4】一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以

-3-

是 A 球 B 三棱锥 【答案】D. C 正方体 D 圆柱

【解析】球的三视图全是圆;如图

正方体截出的三棱锥三视图全是等腰

直角三角形;正方体三视图都是正方形.可以排除 ABC,故选D. 9.【2012 高考重庆文 9】设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a 且长为 a 的棱与 长为 2 的棱异面,则 a 的取值范围是 (A) (0, 2 ) 【答案】A 【解析】因为 BE ?
1? ( 2 2 )
2

(B) (0, 3 ) (C) (1, 2 ) (D) (1, 3 )

?

1?

1 2

?

2 2

则 BF ? BE , AB ? 2 BF ? 2 BE ?

2 ,

选 A, 10.【2012 高考浙江文 3】已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积 是

A.1cm3

B.2cm3

C.3cm3

D.6cm3

-4-

【答案】C 【解析】由题意判断出,底面是一个直角三角形,两个直角边分别为 1 和 2,整个棱锥的高 由侧视图可得为 3,所以三棱锥的体积为 ?
3 1 1 2 ?1? 2 ? 3 ? 1 .

11.【2012 高考浙江文 5】 设 l 是直线,a,β 是两个不同的平面 A. 若 l ∥a, l ∥β ,则 a∥β B. 若 l ∥a, l ⊥β ,则 a⊥β C. 若 a⊥β , l ⊥a,则 l ⊥β D. 若 a⊥β , l ∥a,则 l ⊥β 【答案】B 【解析】利用排除法可得选项 B 是正确的,∵ l ∥a, l ⊥β ,则 a⊥β .如选项 A: l ∥a, l ∥β 时,a⊥β 或 a∥β ;选项 C:若 a⊥β ,l ⊥a,l ∥β 或 l ? ? ;选项 D:若若 a⊥β , l ⊥ a, l ∥β 或 l ⊥β . 12.【2012 高考四川文 6】下列命题正确的是( ) A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C 【解析】A.两直线可能平行,相交,异面故 A 不正确;B.两平面平行或相交;C.正确;D.这两 个平面平行或相交. 13.【2012 高考四川文 10】如图,半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 ? 内,过点 O 作平面
? 的垂线交半球面于点 A ,过圆 O 的直径 C D 作平面 ? 成 4 5 ? 角的平面与半球面相交,所得
? 交线上到平面 ? 的距离最大的点为 B ,该交线上的一点 P 满足 ? B O P ? 60 ,则 A 、 P 两点

间的球面距离为( A、 R arcco s
2 4

) B、
?R
4

C、 R arcco s

3 3

D、

?R
3

【答案】A 【解析】根据题意,易知平面 AOB⊥平面 CBD,? cos ? AOP ? cos ? AOB ? cos ? BOP
? 2 2 ? 1 2 2 4 ? 2 4

, ? ? AOP ? arccos

2 4

,由弧长公式易得, A 、 P 两点间的球面距离为

R arcco s

.

14.【2102 高考北京文 7】某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是

-5-

(A)28+ 6 5 (B)30+ 6 5 (C)56+ 1 2 5 (D)60+ 1 2 5 【答案】B 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,如图所示,图中蓝色数字所表示的为 直接从题目所给三视图中读出的长度,黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题 所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和, 利用垂直关系和三角形面积公式, 可得:S 底 ? 10 ,
S 后 ? 10 , S 右 ? 10 ,S 左 ? 6 5 ,因此该几何体表面积 S ? S 底 ? S 后 ? S 右 ? S 左 ? 30 ? 6 5 ,

故选 B。 二、填空题 15.【2012 高考四川文 14】如图,在正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, M 、 N 分别是 C D 、C C 1
D1 A1 B1 N D M A B C C1

的中点,则异面直线 A1 M 与 D N 所成的角的大小是____________。 【答案】
?
2

【解析】本题有两种方法,一、几何法:连接 MD 1 ,则 MD 1 ? DN ,又 A1 D 1 ? DN ,易知
DN ? 面 A1 MD 1 ,所以 A1 M 与 D N 所成角的大小是

?
2

;二、坐标法:建立空间直角坐标系,

-6-

利用向量的夹角公式计算得异面直线 A1 M 与 D N 所成角的大小是

?
2

.

16.【2012 高考上海文 5】一个高为 2 的圆柱,底面周长为 2 ? ,该圆柱的表面积为 【答案】 6 ? 【解析】底面圆的周长 2 ? r ? 2 ? ,所以圆柱的底面半径 r ? 1 ,所以圆柱的侧面积为 4 ? 两个底面积为 2 ? r ? 2 ? 。 ,所以圆柱的表面积为 6 ? 。
2

17. 【2012 高考湖北文 15】 已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为____________.

【答案】 12 ? 【解析】由三视图可知,该几何体是由左右两个相同的圆柱(底面圆半径为 2,高为 1)与中 间一个圆柱(底面圆半径为 1,高为 4)组合而成,故该几何体的体积是
V ? ? ? 2 ? 1 ? 2 ? ? ? 1 ? 4 ? 12 ? .
2 2

【点评】本题考查圆柱的三视图的识别,圆柱的体积.学生们平常在生活中要多多观察身边的 实物都是由什么几何形体构成的,以及它们的三视图的画法. 来年需注意以三视图为背景,考 查常见组合体的表面积. 18. 【 2012 高 考 辽 宁 文 13 】 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该 几 何 体 的 体 积 为 _______________.

【答案】12+π 【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体,其中长方体的长、

-7-

宽、高分别为 4、3、1,圆柱的底面直径为 2,高位 1,所以该几何体的体积为
3 ? 4 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 12 ? ?

【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式,考查空间想象能力、运算求解能 力,属于容易题。本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状,然后再 根据几何体的形状计算出体积。 19. 【2012 高考江苏 7】 分) (5 如图, 在长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D1 中,A B ? A D ? 3cm ,A A1 ? 2cm , 则四棱锥 A ? B B1 D 1 D 的体积为 ▲ cm .
3

【答案】6。 【考点】正方形的性质,棱锥的体积。 【解析】∵长方体底面 A B C D 是正方形,∴△ A B D 中 B D = 3 2 cm, B D 边上的高是 (它也是 A ? B B1 D 1 D 中 B B1 D1 D 上的高) 。 ∴四棱锥 A ? B B1 D 1 D 的体积为 ? 3 2 ? 2 ?
3 1 3 2 2 =6 。 3 2 2 cm

20.【2012 高考辽宁文 16】已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边 形 ABCD 是边长为 2 3 正方形。若 PA=2 6 ,则△OAB 的面积为______________. 【答案】 3 3 【解析】点 P、 A、 B、 C 、 D 为 球 O内 接 长 方 体 的 顶 点 ,
球 心 O为 该 长 方 体 对 角 线 的 中 点 , ? ? O A B的 面 积 是 该 长 方 体 对 角 面 面 积 的 1 4 ,

? A B ? 2 3 , P A ? 2 6, P B ? 6, ? O A B D 面 积 = ? ?

1 4

? 2 3 ? 6=3 3

【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以 及转化思想,该题灵活性较强,难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手,注意到
-8-

条件中的垂直关系,把三棱锥转化为长方体来考虑就容易多了。 21.【2012 高考天津文科 10】一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体 积
m .
3

【答案】 30 【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体,上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。 长方体的体积为 3 ? 4 ? 2 ? 24 ,五棱柱的体积是
30 。
(1 ? 2 ) 2 ? 1 ? 4 ? 6 ,所以几何体的总体积为

22.【2012 高考安徽文 12】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于______。

【答案】 5 6 【解析】该几何体是底面是直角梯形,高为 4 的直四棱柱,几何体的的体积是
V ? 1 2 ?( 2 ? 5 ) ? 4 ? 4 ? 5 6 。
? A1 B1 C 1 D1 的棱长为

23.【2012 高考山东文 13】如图,正方体 A B C D 则三棱锥 A ?
D E D 1 的体积为_____.

1,E 为线段 B1 C 上的一点,

-9-

【答案】

1 6

【解析】因为 E 点在线段 B 1 C 上, 所以 S ? DED ?
1

1 2

?1?1 ?

1 2

,又因为 F 点在线段 B1C 上,所以点 F 到平面 DED 1 的距离为 1,
1 3 ? S ? DED 1 ? h ? 1 3 ? 1 2 ?1 ? 1 6

即 h ? 1 ,所以 V D

1

? EDF

? V F ? DED 1 ?

.

24. 2012 高考安徽文 15】 【 若四面体 A B C D 的三组对棱分别相等, A B ? C D ,A C ? B D , 即 A D ? B C ,则______(写出所有正确结论编号)。 ①四面体 A B C D 每组对棱相互垂直 ②四面体 A B C D 每个面的面积相等 ③从四面体 A B C D 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 9 0 。而小于 1 8 0 。 ④连接四面体 A B C D 每组对棱中点的线段互垂直平分 ⑤从四面体 A B C D 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 【答案】②④⑤ 【解析】②四面体 A B C D 每个面是全等三角形,面积相等; ③从四面体 A B C D 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于 1 8 0 ? ; ④连接四面体 A B C D 每组对棱中点构成菱形,线段互垂直平分; ⑤从四面体 A B C D 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长。 25.【2012 高考全国文 16】已知正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, E 、 F 分别为 B B1、 C C 1 的中 点,那么异面直线 A E 与 D 1 F 所成角的余弦值为____________.
3 5

【答案】

【解析】

如图连接 DF , D 1 F ,则 DF // AE ,所以 DF 与
5 , 在三角形 DD 1 F 中

D 1 F 所成的角即为异面直线所成的角, 设边长为 2, DF ? D 1 F ? 则

cos D 1 FD ?

5?5?4 2? 5? 5

?

3 5

.

- 10 -

三、解答题 26.【2012 高考全国文 19】 (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上 ..... 作答无效) .... 如图,四棱锥 P ? A B C D 中,底面 A B C D 为菱形,P A ? 底面
A B C D , A C ? 2 2 ,P A ? 2 ,E 是 P C 上的一点,P E ? 2 E C 。

P

(Ⅰ)证明: P C ? 平面 B E D ; (Ⅱ)设二面角 A ? P B ? C 为 90 ? ,求 P D 与平面 P B C 所成角的 大小。 【答案】
B C

E

A D

- 11 -

27.【2012 高考安徽文 19】 (本小题满分 12 分) 如图, 长方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中, 底面 A1 B1C 1 D 1 是正方形,O 是 BD 的中点,E 是 棱 AA 1 上任意一点。

- 12 -

(Ⅰ)证明: BD ? EC 1 ; (Ⅱ)如果 AB =2, AE = 2 , OE ? EC 1 ,,求 AA 1 的长。 【答案】 【解析】

28.【2012 高考四川文 19】(本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? A B C 中, ? A P B ? 90 , ? P A B ? 60 , A B ? B C ? C A ,点 P 在
? ?

P C

平面 A B C 内的射影 O 在 A B 上。

A

B

(Ⅰ)求直线 P C 与平面 A B C 所成的角的大小; (Ⅱ)求二面角 B ? A P ? C 的大小。 命题立意:本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系,线面角的概念,二面角的概 念等基础知识,考查空间想象能力,利用向量解决立体几何问题的能力. 【答案】 【解析】

- 13 -

2 29.【2012 高考重庆文 20】 (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分)已知直三棱

- 14 -

柱 A B C ? A1 B1C 1 中,A B ? 4 ,A C ? B C ? 3 ,D 为 A B 的中点。 (Ⅰ) 求异面直线 C C 1 和 A B 的距离; (Ⅱ)若 A B1 ? A1C ,求二面角 A1 ? C D ? B1 的平面角的余弦值。

【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ)

1 3

【解析】 (Ⅰ) (20) 1, AC=BC, D 为 AB 的中点, CD ? AB。 如答 图 因 故 又直三棱柱中,C C 1 ? 面 A B C ,故 C C 1 ? C D ,所以异面直线 C C 1 和 AB 的距离为 C D = B C ? B D ?
2 2

5

(Ⅱ) :由 C D ? A B , C D ? B B1 , 故 C D ? 面 A1 A B B1
? A1 D B1 为所求的二面角 A1 ? C D ? B1 的平面角。

,从而 C D ? D A1

, C D ? D B1 故

因 A1 D 是 A1C 在 面 A1 A B B1 上 的 射 影 , 又 已 知 A B1 ? A1 C ,

由三垂线定理的逆定理得

A B1 ? A1 D , 从 而 ? A1 A B1 , ? A1 D A 都 与 ? B1 A B 互 余 , 因 此 ? A1 A B1 ? ? A D A 所 以 , 1
A A1 AD ? A1 B1 A A1

R t? A A D R t ? B1 A1 A ,因此 ≌ 1

得 A A1 ? A D ? A1 B1 ? 8
2

从而 A1 D =

A A1 ? A D
2

2

? 2 3 , B1 D ? A1 D ? 2 3

所以在 ? A1 D B1 中,由余弦定理得 co s A1 D B1 ?

A1 D ? D B1 ? A1 B1
2 2

2

2 A1 D ? D B1

?

1 3

【2012 高考上海文 19】本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题 满分 6 分 如图,在三棱锥 P ? A B C 中, P A ⊥底面 A B C , D 是 P C 的中点,已知∠ B A C =
A B ? 2 , A C ? 2 3 , P A ? 2 ,求:

?
2



- 15 -

(1)三棱锥 P ? A B C 的体积 (2)异面直线 B C 与 A D 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)









【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证 能力.综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解,同时考查空间几何体的体积公式的运 用.本题源于《必修 2》立体几何章节复习题,复习时应注重课本,容易出现找错角的情况, 要考虑全面,考查空间想象能力,属于中档题. 30.【2012 高考天津文科 17】 (本小题满分 13 分)

- 16 -

如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2 3 ,PD=CD=2. (I)求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值; (II)证明平面 PDC⊥平面 ABCD; (III)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值。 【答案】

31.【2012 高考新课标文 19】 (本小题满分 12 分)

- 17 -

1 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=2AA1,D 是棱 AA1 的中点 (I)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

C1 A1

B1

D C A B

【答案】

32.【2012 高考湖南文 19】 (本小题满分 12 分) 如图 6,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD. (Ⅰ)证明:BD⊥PC; (Ⅱ)若 AD=4,BC=2,直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30°,求四棱锥 P-ABCD 的体积.

- 18 -

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【答案】 【解析】 (Ⅰ)因为 P A ? 平 面 A B C D , B D ? 平 面 A B C D , 所 以 P A ? B D . 又 A C ? B D , P A , A C 是平面 PAC 内的两条相较直线,所以 BD ? 平面 PAC, 而 P C ? 平面 PAC,所以 B D ? P C . (Ⅱ)设 AC 和 BD 相交于点 O,连接 PO,由(Ⅰ)知,BD ? 平面 PAC, 所以 ? D P O 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角,从而 ? D P O ? 3 0 . 由 BD ? 平面 PAC, P O ? 平面 PAC,知 B D ? P O . 在 R t ? P O D 中,由 ? D P O ? 3 0 ,得 PD=2OD.
? ?

因为四边形 ABCD 为等腰梯形, A C ? B D ,所以 ? A O D ,? B O C 均为等腰直角三角形, 从而梯形 ABCD 的高为
S ? 1 2 ? (4 ? 2) ? 3 ? 9. 1 2 AD ? 1 2 BC ? 1 2 ? ( 4 ? 2 ) ? 3, 于是梯形 ABCD 面积

在等腰三角形AOD中, O D ?

2 2

, AD ? 2 2 ,

所以 P D ? 2 O D ? 4 2 , P A ?

PD ? AD
2

2

? 4.

故四棱锥 P ? A B C D 的体积为 V ?

1 3

? S ? PA ?

1 3

? 9 ? 4 ? 12 .

- 19 -

【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问 只要证明 BD ? 平面 PAC 即可,第二问由(Ⅰ)知,BD ? 平面 PAC,所以 ? D P O 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角,然后算出梯形的面积和棱锥的高,由 V ? 33.【2012 高考山东文 19】 (本小题满分 12 分) 如图,几何体 E
? ABCD

1 3

? S ? P A 算得体积.

是四棱锥,△ A B D 为正三角形, C B

? CD , EC ? BD

.

(Ⅰ)求证: BE ? D E ; (Ⅱ)若∠ B C D
? 120 ?

,M 为线段 AE 的中点,

求证: D M ∥平面 B E C . 【答案】(19)(I)设 B D 中点为 O,连接 OC,OE,则由 B C
CO ? BD ? CD

知 ,


? BD

又已知 C E 所以 B D

,所以 B D ? 平面 OCE.

? OE

,即 OE 是 BD 的垂直平分线,

所以 BE ? D E . (II)取 AB 中点 N,连接 M N , D N , ∵M 是 AE 的中点,∴ M N ∥ B E , ∵△ A B D 是等边三角形,∴ D N
? AB

.
? AB

由∠BCD=120°知,∠CBD=30°,所以∠ABC=60°+30°=90°,即 B C 所以 ND∥BC, 所以平面 MND∥平面 BEC,故 DM∥平面 BEC.



34.【2012 高考湖北文 19】 (本小题满分 12 分) 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰 梯形的四棱台 A1B1C1D1-ABCD,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的 四棱柱 ABCD-A2B2C2D2。 A.证明:直线 B1D1⊥平面 ACC2A2; B.现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知 AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单位:厘 米) ,每平方厘米的加工处理费为 0.20 元,需加工处理费多少元?

- 20 -

【答案】

【解析】本题考查线面垂直,空间几何体的表面积;考查空间想象,运算求解以及转化与划 归的能力.线线垂直 ? 线面垂直 ? 面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法;四棱柱 与四棱台的表面积都是由简单的四边形的面积而构成,只需求解四边形的各边长即可.来年需 注意线线平行,面面平行特别是线面平行,以及体积等的考查. 35.【2012 高考广东文 18】本小题满分 13 分) 如图 5 所示,在四棱锥 P ? A B C D 中, A B ? 平面 P A D , A B // C D , P D ? A D , E 是
P B 的中点, F 是 C D 上的点且 D F ?

1 2

A B , P H 为△ P A D 中 A D 边上的高.

- 21 -

(1)证明: P H ? 平面 A B C D ; (2)若 P H ? 1 , A D ?
2 , F C ? 1 ,求三棱

锥 E ? B C F 的体积; (3)证明: E F ? 平面 P A B .

【解析】 (1)证明:因为 A B ? 平面 P A D , 所以 P H ? A B 。 因为 P H 为△ P A D 中 A D 边上的高, 所以 P H ? A D 。 因为 A B ? A D ? A , 所以 P H ? 平面 A B C D 。 (2)连结 B H ,取 B H 中点 G ,连结 E G 。 因为 E 是 P B 的中点, 所以 E G // P H 。 因为 P H ? 平面 A B C D , 所以 E G ? 平面 A B C D 。 则 EG ?
1 2
VE ? ? 1 3 S?

PH ?

1 2


1 3 1 ? 2

B C F

B C F

? E G ?

?

F ?C

2 A D ? G 。 ? E 12

(3)证明:取 P A 中点 M ,连结 M D , M E 。 因为 E 是 P B 的中点,
1 AB 。 ? 2 1 因为 D F // A B , ? 2

所以 M E //

所以 M E // D F ,
?

所以四边形 M E D F 是平行四边形,

- 22 -

所以 E F // M D 。 因为 P D ? A D , 所以 M D ? P A 。 因为 A B ? 平面 P A D , 所以 M D ? A B 。 因为 P A ? A B ? A , 所以 M D ? 平面 P A B , 所以 E F ? 平面 P A B 。 36.【2102 高考北京文 16】 (本小题共 14 分)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别 为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F ⊥CD,如图 2。

(I)求证:DE∥平面 A1CB; (II)求证:A1F⊥BE; (III)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由。 【答案】

- 23 -

37. 【2012 高考浙江文 20】 本题满分 15 分) ( 如图, 在侧棱锥垂直底面的四棱锥 ABCD-A1B1C1D1 中,AD∥BC,AD⊥AB,AB= 2 。AD=2,BC=4,AA1=2,E 是 DD1 的中点,F 是平面 B1C1E 与 直线 AA1 的交点。 (1)证明: (i)EF∥A1D1; (ii)BA1⊥平面 B1C1EF; (2)求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值。 【答案】 【解析】(1) (i)因为 C 1 B1 / / A1 D1 , C 1 B1 ? 平面 ADD1 A1,所以 C 1 B1 / / 平面 ADD1 A1. 又因为平面 B1C 1 E F ? 平面 ADD1 A1= E F ,所以 C 1 B1 / / E F .所以 A1 D1 / / E F .

(ii)

因为 B B1 ? A1 B1C 1 D 1 ,所以 B B1 ? B1C 1 ,

又因为 B B1 ? B1 A1 ,所以 B1C 1 ? A B B1 A1 ,
2 2

在矩形 A B B1 A1 中,F 是 AA 的中点,即 tan ? A1 B1 F ? tan ? A A1 B ? 即
? A1 B1 F ? ? A A1 B ,故 B A1 ? B1 F .

.

所以 B A1 ? 平面 B1C 1 E F . (2) 设 B A1 与 B 1 F 交点为 H,连结 C 1 H .
- 24 -

由(1)知 B1C 1 E F ,所以 ? B C1 H 是 B C 1 与平面 B1C 1 E F 所成的角. 在矩形 A B B1 A1 中,
AB ? 2 , A A1 ? 2 ,得 B H ?
4 6

,在直角 ? B H C 1 中, B C 1 ? 2 3 , B H ?

4 6

,得

sin ? B C 1 H ?

BH B C1

?

30 15

,所以 BC 与平面 B1C 1 E F 所成角的正弦值是

30 15

.

38.【2012 高考陕西文 18】 (本小题满分 12 分) 直三棱柱 ABC- A1B1C1 中,AB=A A1


?CAB

?
=

2

(Ⅰ)证明 C B 1 ? B A 1 ; (Ⅱ)已知 AB=2,BC= 5 ,求三棱锥 C 1 ? A B A 1 的体积 【答案】

39.【2012 高考辽宁文 18】(本小题满分 12 分) 如图, 直三棱柱 A B C ? A B C ,? B A C ? 90 ,A B ? A C ?
/ / / ?

2 , AA′=1, M, 分别为 A B 点 N
/

和 B C 的中点。 (Ⅰ)证明: M N ∥平面 A A C C ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? M N C 的体积。
/

/

/

/

/

- 25 -

(椎体体积公式 V= 【答案】

1 3

Sh,其中 S 为地面面积,h 为高)

【解析】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算,考查空 间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明 线面平行,也可通过面面平行来证明;第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键,也 可以采用割补发来球体积。

- 26 -

40.【2012 高考江苏 16】 (14 分)如图,在直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中, A1B1 ? A1C 1 , D ,E 分别
CC 是棱 BC , 1 上的点(点 D 不同于点 C ) ,且 A D ? D E ,F 为 B1 C 1 的中点.

求证: (1)平面 A D E ? 平面 B C C 1 B1 ; (2)直线 A1 F / / 平面 A D E .

【答案】证明: (1)∵ A B C ? A1 B1C 1 是直三棱柱,∴ C C 1 ? 平面 A B C 。 又∵ A D ? 平面 A B C ,∴ C C 1 ? A D 。 又∵ A D ? D E ,C C 1, D E ? 平面 B C C 1 B1, C C 1 ? D E ? E ,∴ A D ? 平面
B C C 1 B1 。

又∵ A D ? 平面 A D E ,∴平面 A D E ? 平面 B C C 1 B1 。 (2)∵ A1 B1 ? A1C 1 , F 为 B1 C 1 的中点,∴ A1 F ? B1 C 1 。 又∵ C C 1 ? 平面 A1 B1 C 1 ,且 A1 F ? 平面 A1 B1 C 1 ,∴ C C 1 ? A1 F 。 又∵ C C 1,B1C 1 ? 平面 B C C 1 B1 , C C 1 ? B1 C 1 ? C 1 ,∴ A1 F ? 平面 A1 B1 C 1 。 由(1)知, A D ? 平面 B C C 1 B1 ,∴ A1 F ∥ A D 。 又∵ A D ? 平面 A D E , A1 F ? 平面 A D E ,∴直线 A1 F / / 平面 A D E 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。 【解析】 (1)要证平面 A D E ? 平面 B C C 1 B1 ,只要证平面 A D E 上的 A D ? 平面 B C C 1 B1 即可。 它可由已知 A B C ? A1 B1C 1 是直三棱柱和 AD ? D E 证得。 (2)要证直线 A1 F / / 平面 A D E ,只要证 A1 F ∥平面 A D E 上的 A D 即可。 41.【2102 高考福建文 19】 (本小题满分 12 分) 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 为棱 DD1 上的一点。

- 27 -

(1) 求三棱锥 A-MCC1 的体积; (2) 当 A1M+MC 取得最小值时,求证:B1M⊥平面 MAC。

42.【2012 高考江西文 19】 (本小题满分 12 分) 如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,E,F 是线段 AB 上的两点,且 DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12, AD=5,BC=4 2 ,DE=4.现将△ADE,△CFB 分别沿 DE,CF 折起,使 A,B 两点重合与点 G, 得到多面体 CDEFG.

(1) 求证:平面 DEG⊥平面 CFG; (2) 求多面体 CDEFG 的体积。

- 28 -

【答案】

- 29 -


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