【高考调研】2013届高考数学一轮复习 第6课时 二次函数与幂函数课件 理 新人教版

2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)

第二章 函数与基本初等函数

第6课时 二次函数与幂函数

2012· 考纲下载
1.理解并掌握二次函数的定义、图像及性质. 2.会求二次函数在闭区间上的最值. 3.能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式 之间的联系去解决有关问题. 4.了解幂函数的概念;结合函数 y=x,y=x2,y= 1 x ,y=x ,y=x 的图像,了解它们的变化情况.
3
1 2

请注意!
从近两年的新课标高考试题来看,二次函数图像的 应用与其最值问题是高考的热点,题型多以小题或大题 中关键的一步的形式出现,主要考查二次函数与一元二 次方程及一元二次不等式三者的综合应用,幂函数的内 容要求较低,只要求会简单幂函数的图像与性质.

请注意!

预测2012年高考中以二次函数为命题落脚点的题目仍 将是一个热点.

1.二次函数的三种表示形式
y=ax2+bx+c,(a≠0) ; (1)一般式:
y=a(x-h)2+k (顶点坐标为(h,k)); (2)顶点式:

(3)双根式: y=a(x-x1)(x-x2) (x1,0),(x2,0)).

(图像与x轴的交点为

2.二次函数的图像和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0)

图像

解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0)

解析式 定义域 值域

f(x)=ax2+bx+c(a>0)
R
4ac-b2 {y|y≥ } 4a

f(x)=ax2+bx+c(a<0)
R
4ac-b2 {y|y≤ } 4a
b ] 2a 上单调递增

b (-∞,- ] 上单调递减 在 2a



(-∞,-

单调性

b [- ,+∞) 上单调递增 在 2a

b 在x∈[- ,+∞)上单调递减 2a

解析式

f(x)=ax2+bx+ c(a>0)

f(x)=ax2+bx+ c(a<0)

奇偶性

b=0时为偶函数,b≠0时为 非奇非偶 函数
b 图像关于直线 x=-2a

对称性

成轴对称图形

3.幂函数的定义
y=xα 叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 函数

4.幂函数的图像(如下图);

5.幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)有定义,并且图像都通 过点 (1,1). (2)如果α>0,则幂函数的图像过原点,并且在区间 [0,+∞)上为 增函数.

(3)如果α<0,则幂函数图像在区间(0,+∞)上是
减函数.在第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图像

在y轴右方无限地逼近y轴,当x趋向于+∞时,图像在x 轴上方无限地逼近x轴. (4)当α为奇数时,幂函数为 奇函数,当α为偶数时, 幂函数为 偶函数.

1.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示, 确定下列各式的正负: b______, ac______, a-b+c______.

答案

b>0 ac<0

a-b+c<0

b 解析 ∵a<0,- >0,∴b>0. 2a c ∵a=x1x2<0,∴ac<0,a-b+c=f(-1)<0.

2. 二次函数 y=f(x)满足 f(0)=f(2), 1、 2 是方程 f(x) x x =0 的两个实根,则 x1+x2=________.

答案

2

解析 ∵f(0)=f(2),∴f(x)图像关于x=1对称.∴x1 +x2=2×1=2.

3.(2011· 陕西文)函数y=x 的图像是(

1 3

)

答案 B

解析 显然代数表达式“-f(x)=f(-x)”,说明函 数是奇函数.同时由当0<x<1时,x <x,知只有B选项符合.
1 3

>x,当x>1时,x

1 3

4.下列命题正确的是(

)

A.y=x0的图像是一条直线 B.幂函数的图像都经过点(0,0),(1,1) C.幂函数的图像不可能出现在第四象限 D.若幂函数y=xn是奇函数,则y=xn是增函数

答案 C

解析 A中y=x0的图像是一条直线去掉了(0,1)点,B 中y=x-1不过(0,0)点; D中y=x 1是(-∞,0),(0,+∞)上的减函数.


5.(2012· 武汉模拟)已知二次函数f(x)图像的对称轴 是x=x0,它在区间[a,b]上的值域为[f(b),f(a)],则 ( ) A.x0≥b C.x0∈(a,b) B.x0≤a D.x0?(a,b)

答案 D
解析 若x0∈(a,b),f(x0)一定为最大值或最小值.

题型一

二次函数的解析式

例1 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是8,求此二次函数的解析式.

【解析】 解法一:设f(x)=ax2+bx+c. ?4a+2b+c=-1 ? ?a-b+c=-1 由题意知: ?a<0 ?4ac-b2 ? 4a =8 ? b=4,c=7.

解之得:a=-4,

解法二:设f(x)=a(x-k)2+8,
?f?2?=a?2-k?2+8=-1 ? 由题意知? ?f?-1?=a?1+k?2+8=-1 ?

1 解之得:a=-4,k=2. 解法三:∵f(2)=f(-1), 2+?-1? 1 ∴二次函数的对称轴为 =2, 2 12 ∴可设f(x)=a(x-2) +8,

12 ∵f(2)=-1,∴a· (2- ) +8=-1,∴a=-4. 2 12 ∴f(x)=-4(x-2) +8=-4x2+4x+7.

12 【答案】 f(x)=-4(x- ) +8=-4x2+4x+7 2

探究1 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用 待定系数法,选择规律如下:

思考题1 如图,抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐 标轴的正半轴上A、B两点,该抛物线的对称轴x=-1与 x轴相交于点C,且∠ABC=90° ,求: (1)直线AB的解析式; (2)抛物线的解析式.

【思路】 由直线方程知点A坐标(4,0),又可知点D 坐标.对称轴为x=-1,可求得抛物线方程.进而知点 B坐标,最后得直线AB的方程.

【解析】 1,0),

(1)由已知,得A(4,0),B(0,-4k),C(-

又∵∠CBA=∠BOC=90° ,∴OB2=CO· AO. 1 ∴(-4k) =1×4,∴k=± . 2
2

1 又∵从图知k<0,∴k=-2. 1 ∴所求直线的解析式为y=-2x+2.

(2)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0), ?0=16a+4b+c, ? ?2=c, 则? ? b ?-2a=-1, ? 1 ? ?a=-12, ? 1 解得? ?b=-6, ? ?c=2.

1 2 1 ∴所求抛物线解析式为y=-12x -6x+2.

1 1 2 1 【答案】 (1)y=-2x+2 (2)y=-12x -6x+2

题型二

二次函数的图像与性质

例2 设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值 为g(a),则g(a)=________. 【思路】 函数图像的对称轴是直线x=1,分对称轴在 区间[-2,a]内,对称轴在区间[-2,a]右边分别解决.

【解析】 ∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1, ∴对称轴为直线x=1,而x=1不一定在区间[-2,a] 内,应进行讨论. 当-2<a<1时,函数在[-2,a]上单调递减,则当x =a时,ymin=a2-2a; 当a≥1时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上 单调递增,则当x=1时,ymin=-1.

?a2-2a,-2<a<1, ? 综上,g(a)=? ?-1,a≥1. ?

【答案】

?a2-2a,-2<a<1, ? g(a)=? ?-1,a≥1. ?

探究2

(1)要注意抛物线的对称轴所在的位置对函

数最值的影响. (2)解二次函数求最值问题,首先采用配方法,将二 次函数化为y=a(x-m)2+n的形式,得顶点(m,n)或对称 轴方程x=m,分三个类型: ①顶点固定,区间固定; ②顶点含参数,区间固定; ③顶点固定,区间变动.

a 1 思考题2 已知函数y=-x +ax- + 在区间[0,1] 4 2
2

上的最大值是2,求实数a的值.

a 1 【解析】 ∵函数y=-x +ax- + 对应的图像开 4 2
2

a 口向下,对称轴为2. a a 2 a2 a 1 ∴当0<2<1即0<a<2时,y=-(x-2) + 4 -4+2 a2 a 1 - + =2. 4 4 2 解之得:a=3或a=-2(全舍). ∴

a 当 ≥1即a≥2时函数在[0,1]上单增, 2 a 1 ∴x=1时最大,即-1+a-4+2=2, 10 解之得a= 3 符合条件.

a 当 ≤0,即a≤0时,函数在[0,1]上单减. 2 a 1 ∴x=0时最大,即-4+2=2,∴a=-6. 10 综上所述:a=-6或a= 3 .

10 【答案】 a=-6或a= 3

题型三
例3

幂函数的图像和性质

如图,为幂函数y=xn在第一象限的图像,则C1、 )

C2、C3、C4的大小关系为( A.C1>C2>C3>C4 B.C2>C1>C4>C3 C.C1>C2>C4>C3 D.C1>C4>C3>C2

【解析】 观察图形可知,C1>0,C2>0,且C1>1, 而0<C2<1,C3<0,C4<0,且C3<C4.

【答案】 C

探究3 幂函数的图像一定会出现在第一象限,一定 不会出现在第四象限,是否在第二、三象限内出现,要 看奇偶性;在(0,1)上幂函数中指数愈大,函数图像愈靠 近x轴(简记“指大图低”)在(1,+∞)上,幂函数中指数 越大,函数图像越远离x轴.

思考题3 如图是幂函数y=xm和y=xn在第一象限内 的图像,则( )

A.-1<n<0<m<1 C.-1<n<0,m>1

B.n<-1,0<m<1 D.n<-1,m>1

【解析】 借助y=x,y=x 1的图像易知,- 1<n<0,0<m<1,故选A.



【答案】 A

【解析】 (1)把1看作1 (0,+∞)上它是增函数.

1 2

,考察幂函数y=x

1 2

,在

∵0<0.9<1<1.1,∴0.9 <1 <1.1 . 即0.9 <1<1.1 .
1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

【答案】

探究4 点:

利用幂函数的单调性比较大小要注意以下几

(1)将要比较的两个数都写成同一个函数的函数值的 形式. (2)构造的幂函数,要分析其单调性. (3)注意两个函数值要在同一个单调区间上取到. (4)若直接不易比较大小,可构造中间值,间接比较 其大小.

思考题4 比较下列各组数的大小.

【答案】

1.解决与二次函数有关的问题关键是通过配方得出 顶点坐标,由此可知函数的图像、对称轴、单调区间、 最值和判别式等.

2.关于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在闭区间 [m,n]上的最值问题,有如下结论: (1)若h∈[m,n],则ymin=f(h),ymax=max{f(m), f(n)}. (2)若h?[m,n],则ymin=min{f(m),f(n)}, ymax=max{f(m),f(n)}.

3.二次函数的综合应用. (1)ax ax
2 2

?a>0 ? +bx+c>0(a≠0)恒成立?? ?Δ<0 ?



?a<0 ? +bx+c<0(a≠0)恒成立?? ?Δ<0 ?

.

(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的分布,即 相应二次函数f(x)=ax2+bx+c的零点分布,也即抛物线 与x轴交点的分布,通过数形结合转化为不等式组求 解.注意开口方向、对称轴及纵截距的特点,能有效减 少讨论.


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