湖南省衡阳市八中2019届高三第三次月考 数学理

衡阳市八中 2019 届高三第三次月考试题卷 理科数学
(考试内容: 集合与简易逻辑、函数、导数、三角函数、向量、复数、数列)

考生注意:本试卷满分 150 分,考试用时 120 分钟 。
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.若复数 z 满足 iz = 2 ,其中 i 为虚数单位,则 z 的虚部为 ( A. - 2 2. “? = B. 2 C. - 2i ) 。 D. 2i

?
6

”是 “tan ? ?

3 ” ( 3

)条件。 D. 既不充分也不必要

A.必要不充分 B.充分不必要 C.充分必要 3.下列函数中,在区间(1,+ ? )上为增函数的是( ) A. y = - 2x +1 C. B. y =

x 1- x

y = log 1 ( x - 1)
2

D. y = - ( x - 1)2
2 2 2

4.已知正项数列 {an } 中, a1 =1, a2 = 2, 2an = an+1 + an- 1 (n ? 2), 则a6 等于 ( A.16 B.8 C. 2 2 D.4 ) 。 D.

)。

5.若向量 a, b的夹角为 , 且 a = 2, b = 1, 则 a与a+2b 的夹角为 ( A.

p 6

p 3 p B. 3

C.

2p 3

5p 6

6.函数 y ? f ( x) 的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图) ,则不等式 f ( x) ? f (? x) ? 2 x 的

解集为(

) 。

A



? ? 2 2 ? x ? 0或 ? x ? 1? ?x | ? 2 2 ? ?

B. ? x | ?1 ? x ? ?

? ?

? ? 2 2 2 2? 或 ? x ? 1? C. ? x | ?1 ? x ? ? 或0 ? x ? ? D. 2 2 2 2 ? ? ?

? ? 2 2 ?x? 且x ? 0? ?x | ? 2 2 ? ?

7.







y = sin x 、y = sin (x +

2p 2p x x )、y = cos (2x + )、y = sin 2 - cos 2 中,最小正周期为 p 的函 3 3 2 2
·1·

数的个数为( A.1 8.设函数 f ( x ) = 等于( ) 。

)。 B.2 C.3 D.4

1 x 1 2 + log2 , 定义 Sn = f ( ) + f ( ) + 2 1- x n n
B.

+f(

n- 1 ), 其中 n ? N , n ? 2 ,则 Sn n

n(n - 1) A. 2 n- 1 C. 2

n- 1 - log 2 (n - 1) 2 n- 1 + log 2 (n - 1) D. 2

9.已知点 A,B,C 在圆 x2 + y 2 = 1 上运动,且 AB ^ BC .若点 P 的坐标为(2,0) ,则

PA + PB + PC 的最大值为(
A.6 B.7

) 。 C.8 D.9 的 最 小 正 周 期 为 p , 当 A w ) ( 均为正的常数) j , , ) 。

10. 已 知 函 数 f ( x) =

As w i n+( xj

x=

2p 时,函数 f ( x) 取得最小值,则下列结论正确的是( 3
B. f (0) < f (2) < f (- 2) D. f (2) < f (0) < f (- 2)
2

A. f (2) < f (- 2) < f (0) C. f (- 2) < f (0) < f (2)

11.已知函数 f ( x) = a ln( x +1) - x 在区间(0,1)内任取两个实数 p,q,且 p ?

q ,不等式

f ( p +1) - f (q +1) > 2 恒成立,则实数 a 的取值范围为( p- q
A. (12,30] C. [18, +? )
x 2

) 。

B. (- ? ,18] D. (- 12,18]

12 .已知 f ( x) = a + x - x ln a( a > 0 且 a? 1).若函数 y = f ( x) - t - 1有三个零点,则 t 的值为 ( ) 。 A.1 B.2 C.3 D. ± 2 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上) 13.已知 sin x ? 2cos x ? 0 ,则 sin x ? 1 ? ________________.
2

14. 《九章算术》中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题: “今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日 一尺,小树也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何?题意是: ”有两只老 鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后
·2·

每天减半,如果墙足够厚, Sn 为前 n 天两只老鼠打洞之和,则 Sn =______________尺. 15. 已知函数 f ( x ) ? cos x, x ? (

?
2

, 3? ) ,若方程 f ( x) ? m 有三个不同的实根,且从小到大依次成等比

数列,则 m 的值为 _____________ . 16.已知 f ( x ) 是定义在 R 上不恒为零的函数,对于任意的 x,y ? R,都有 f ( xgy) = xf ( y) + yf ( x) 成
n 立。数列 {an }满足 an = f (3 ) (n ? N + ) ,且 a1 = 3, 则数列的通项公式为 an = _________.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.)
17.(本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) = k g , a- x (k , a为常数,a > 0且a ? 1)的 图像过点 A(0,1) B(3,8). (1)求实数 k,a 的值; (2)若函数 g ( x) =

f ( x) - 1 , 试判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. f ( x) + 1

18. (本小题满分 12 分)已知 A,B,C 三点的坐标分别为 A(3,0) , B(0,3) , C (cos ? ,sin ? ) ,其中

? 3? (1)若 AC ? BC ,求角 ? 的值; ? ?( , ).
2 2

(2)若 AC BC ? ?1 ,求 tan(? ? ) 的值. 4

?

19. (本小题满分 12 分)已知数列 {an }中, a1 = 2, a2 = 3 ,且 an+ 1 = 2an + 3an- 1 (n ? 2) (1)设 bn ? an?1 ? an ,证明 {bn }是等比数列。 (2)求数列 {an }的通项公式。

20. (本小题满分 12 分)如图 1,有一建筑物 OP,为了测 的高度,在地面上选一基线 AB,设其长度为 d,在 A 点处

P

量 它 测得 P

·3·

A

α β
B O

点的仰角为 ? ,在 B 点处测得 P 点的仰角为 ? 。 (1)若 AB=40,

? =30 ? , ? =45 ? ,且 ? AOB=30 ? ,
图1

求建筑物的高度 h; (2)经分析若干测得的数据后,发现将基线 AB 调整到 线段 AO 上(如图2),

? 与 ? 之差尽量大时,可以

P

提高测量精确度,设调整后 AB 的距离为 d, tan ? =

4 ,建筑物的实际高度为 21,试问 d 为何值时, d

α
A B
图2

β
O

? - ? 最大?

21. (本小题满分 12 分)已知数列 {an }的各项排成如图所示的三角形数阵,数阵中 每一行的第一个数 a1 , a2 , a4 , a7 ,K 构成等差数列 {bn },Sn 是 bn 的前 n 项和, 且 b1 = a1 = 1, S5 = 15. (1) 若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列, 且公比相等,已知 a9 = 16, 求 a50 的值; (2) 设 Tn =

a1 a2 a4 a5 a3 a6

1 S n+ 1

+

1 S n+ 2

+ ... +

1 , 求Tn . S2 n

R, b 22. (本小题满分 12 分)已知二次函数 r ( x) = x + ax + b(a, b 为常数, a 挝

2

R) 的一个零点是

- a ,函数 g ( x) = ln x, e 是自然对数的底数,设函数 f ( x) = r ( x) - g ( x).
(1)过坐标原点 O 作曲线 y = f ( x) 的切线,证明切点的横坐标为 1; (2)令 F ( x ) =

f ( x) , 若函数 F ( x) 在区间(0,1〕上是单调函数,求 a 的取值范围。 ex

·4·

参考答案
一、选择题
题号 答案

1 A

2 B

3 B

4 D

5 A

6 A

7 B

8 C

9 B

10 A

11 C

12 B

二、填空题 13.

9 5

14. 2 -

n

1 1 +1 15. ? n- 1 2 2

3 16. ng

n

17.解: (1)把 A(0,1) ,B(3,8)的坐标代入 f ( x) = k g a (2) g ( x) 是奇函数。理由如下:
x

- x

得{

k a0 = 1
-3

k a =8

解得: k = 1, a =

1 。 2

由(1)知: f ( x) = 2 ,所以 g ( x) = 函数 g ( x) 的定义域为 R,

f ( x) - 1 2 x - 1 = . f ( x) + 1 2 x + 1

又 g (- x) =

f (- x) - 1 2- x - 1 2x - 1 = -x =- x = - g ( x). f (- x) + 1 2 + 1 2 +1

所以函数 g ( x) 是奇函数。

18. ∵ AC ? (cos ? ? 3,sin ? ) , BC ? (cos ? ,sin ? ? 3) , ∴ | AC | (cos? ? 3)2 ? sin2 ? ? 10 ? 6cos? , | BC |? 10 ? 6sin ? . 由 | AC |?| BC | 得 sin ? ? cos ? . …………………………………4 分 …………………………………6 分

? 3? 5 又 ? ? ( , ) ,∴ ? ? ? . 4 2 2

(2)由 AC BC ? ?1 ,得 (cos ? ? 3) cos ? ? sin ? (sin ? ? 3) ? ?1 ,
·5·

∴ sin ? ? cos ? ? 又由

? 2 2 ?0. ,∴ sin(? ? ) ? 4 3 3

……………………………9 分

?
2

?? ?

? 7 3? 3? ? ,∴ . ? ? ? ? ? ,∴ cos(? ? ) ? ? 4 3 2 4 4
…12 分

14 ? 故 tan(? ? ) ? ? . 4 7

19.解答:解答: (1)证明: bn ? an?1 ? an , bn?1 ? an ? an?1

bn a ?a 2a ? 3an?1 ? an ? n ?1 n ? n ?3 bn?1 an ? an ?1 an ? an ?1
所以 {bn }是等比数列 (2)由(1)得 b1 ? 5, bn ? b1qn?1 ? 5 ? 3n?1 所以 an?1 ? an ? 5 ? 3n?1 则 an?1 ? an?1 ? 10 ? 3n?2 (n ? 2) 所以 {an }奇数项差是首项为 10 的等比数列,偶数项差是首相为 30 的等比数列;

a2 n ?

5 2 n ?1 3 5 3 ? 3 ? , a2 n ?1 ? ? 32 n ? 2 ? 4 4 4 4 5 4
n- 1

因此 an = ? 3

3 ? ( 1) n- 1 4

20. 解:(1)在 Rt ? POA 中,OA= 3 h,在 Rt ? POB 中,OB=h, 在 Rt ? AOB 中,d =( 3 h) +h -2 3 hhcos30 ? ,其中:d=40,得:h=40,
2 2 2

故建筑物的高度为 40.

4 h ,tan ? = dh d d? 4 4 4h ? 16d 16 d d (h ? 4) ∴tan( ? - ? )= = 2 = 16h 16h d (h ? 4) ? 16h 1? 2 d (h ? 4) ? d (h ? 4) d 16 2 2 = = ? 2 16h(h ? 4) h(h ? 4) 5 21
(2) ∵tan ? = 当且仅当 d(h+4)=

16h 4 21 即 d= 时“=”成立 d 5
·6·

4 21 时,tan( ? - ? )最大, 5 ? ? ∵0< ? < ? < ,∴0< ? - ? < , 2 2 4 21 当 d= 时, ? - ? 最大 5
故当 d= 21. () 1 Q {bn }为等差数列,设公差为 d , b1 = 1, S5 = 15, S5 = 5 + 10d = 15, d = 1

\ bn = 1+ (n - 1)? 1

n。

设从第三行起,每行的公比都是 q ,且 q > 0 ,

a9 = b4q2 , 4q2 = 16, q = 2, 1+ 2 + 3 + K + 9 = 45,
故 a50 = b10 q4 = 10? 24

160.
n(n + 1) , 2

(2) Q S n = 1 + 2 + 3 + K + n =

\ Tn =

1 S n+ 1

+

1 S n+ 2

+K+

1 S2 n


=

2 2 2 2n + +K+ = (n + 1)(n + 2) (n + 2)(n + 3) 2n(2n + 1) (n + 1)(2n + 1)

a7

a8

a9

a10

2 22. 解: (1) Q - a 是二次函数 r ( x) = x + ax + b 的一个零点, \ b = 0 。

\ f ( x) = x2 + ax - ln x, \ f ' ( x) = 2 x + a 设切点为 P( x0 , y0 ), 则切线的斜率 k = 2 x0 + a 2

1 ( x > 0). x

x 2 + ax0 - ln x0 1 。 = 0 x0 x0

整理得 x0 + ln x 0- 1 = 0. 显然, x0 = 1 是这个方程的解。 上是增函数, Q y = x2 + ln x - 1在( 0, +? ) 则方程 x + ln x - 1 = 0 有唯一实数解,故 x0 = 1.
·7·
2

F ( x) =

f ( x) x 2 + ax - ln x = ,则 ex ex

F ' ( x) =

- x 2 + (2 - a) x + a ex
2

1 + ln x x ,
1 + ln x, x

设 h( x) = - x + (2 - a ) x + a 则 h ( x) = - 2 x +
'

1 1 + + 2 - a. x2 x

易知 h' ( x) 在 (0,1]上是减函数,从而 h' ( x) ? h' (1)

2- a 。

①当 2 - a ? 0, 即 a ? 2 时, h' ( x) ? 0, h( x) 在区间 [0,1]上是增函数。

Q h(1) = 0, \ h( x) ? 0 在 (0,1] 上恒成立,即 F ' ( x) ? 0 在 (0,1] 上恒成立。 \ F ( x) 在区间 (0,1]上是减函数。则 a ? 2 满足题意。
' ②当 2 - a < 0 ,即 a > 2 时,设函数 h ( x) 的唯一零点为 x0 ,

则 h( x) 在 (0, x0 ) 上递增,在 (x0,1] 上递减。

Q h(1) = 0, \ h( x0 ) > 0. Q h(e- a ) = - e- 2a + (2 - a)e- a + a - ea + ln e- a < 0,
\ h( x) 在 (0,1) 内有唯一一个零点 x ' ,
' ' 当 x ? (0, x ) 时, h( x) < 0 ,当 x ? ( x ,1] 递增,与在区间 (0,1] 上是单调函数矛盾。

\ a > 2 不合题意。
综合①②得, a ? 2. 即 a 的取值范围是 (- ? , 2] 。

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·8·


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