山东省枣庄市滕州一中2014届高三10月第一次单元测试 数学文 Word版含答案

2013~2014 学年度第一学期第一次单元检测 高三数学(文)试题
命题人:付令铎 一、 选择题共 60 分
?x

2013 年 10 月

1. 若集合 M={y| y= 3 } ,P={y| y= 3x ? 3 } 则 M∩P= , A{y| y>1} B{y| y≥1} C{y| y>0} D{y| y≥0}





2 2. 设 命 题 甲 : ax ? 2ax ? 1 ? 0 的 解 集 是 实 数 集 R; 命 题 乙 : 0 ? a ? 1 , 则 命 题 甲 是 命 题 乙 成 立 的

(

)

A . 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 2 3.若函数 f(x)=x +mx+1 有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是 ( A.(-1,1) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-2,2) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

)

4.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间 (a,b)内有极小值点( A.1 个 B.2 个 ). C.3 个 D.4 个 ) D. (2, ??) )

5.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 ( A. (??, 2) B. (0,3)

C. (1, 4)

x 6.已知 a>0 且 a≠1,函数 y ? log a x , y ? a , y ? x ? a 在同一坐标系中的图象可能是(

y

y

y

y

1 O 1

1

1 1

x

O

x

O

1

x

1 O 1

x

A

B

C

D ).

?1? 7.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)单调增加,则满足 f(2x-1)<f? ?的 x 的取值范围是( ?3? ?1 2? A.? , ? ?3 3? ?1 2? B.? , ? ?3 3? ?1 2? C.? , ? ?2 3? ?1 2? D.? , ? ?2 3?

π 8.把函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0,|φ |<π )的图象向左平移 个单位,再将图像上所有点的横坐标伸长 6 到原来的 2 倍(纵坐标不变)所得的图象解析式为 y=sinx,则( π A.ω =2,φ = 6 1 π C.ω = ,φ = 2 6 π B.ω =2,φ =- 3 1 π D.ω = ,φ = 2 12
第1页

)

2sin α +1 9.已知 tanα =2,则 =( sin2α A. 5 3 13 B.- 4

2

) C. 13 5 13 D. 4 B

10 如 图 , 在 △ ABC 中 , D 是 边 AC 上 的 点 , 且

AB ? AD, 2 AB ? 3BD, BC ? 2BD ,则 sinC 的值为
A.

3 3

B.

3 6
2 2

C.

6 3
2

D.

6 6
A D

C A 的取值

11.在 ?ABC 中,sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C ,则 范围是 (A) (0,

?
3

]

(B) [

?
6

,? )

(C) (0,

?
6

]

(D) [

?
3

,? )

12. 一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行,30 分钟后到达 B 处, 在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70°,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B,C 两点间的距离( A.10 2海里 C.20 3海里 )

B.10 3海里 D.20 2海里

二、选择题共 15 分 13. 设函数 f(x)=x(e +ae )(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________. ln x 14. 若 f(x)= , a<b<e, f(a)、 (b)的大小关系为________. 0< 则 f
x
-x

x

15.

如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA =60°,∠BCD=135°,则 BC 的长为________.

16.对于函数 f(x)=2cos x+2sinxcosx-1(x∈R)给出下列命题:①f(x)的最小正周期为 2π ;②f(x)在 π 5π π 区间[ , ]上是减函数;③直线 x= 是 f(x)的图像的一条对称轴;④f(x)的图像可以由函数 y= 2 2 8 8 π sin2x 的图像向左平移 而得到.其中正确命题的序号是________(把你认为正确的都填上). 4 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
2 17. (12 分) (1)已知集合 A ? x x ? 5x ? 6 ? 0 ,B= x mx ? 1 ? 0 ,且 A ? B ? A ,求实数 m 的值组

2

?

?

?

?

成的集合。
?x -x-6≤0, ? (2)设 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a≠0,q:实数 x 满足? 2 ? ?x +2x-8>0.
2 2 2

若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.
第2页

?x π ? ?x π ? 18. (12 分)已知函数 f(x)=2 3sin? + ?cos? + ?-sin(x+π ). ?2 4 ? ?2 4 ?
(1)求 f(x)的最小正周期; (2)若将 f(x)的图象向右平移 值和最小值. π 个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0,π ]上的最大 6

19.在△ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 sin C ? cosC ? 1 ? sin (1)求 sin C 的值; (2)若 a ? b ? 4(a ? b) ? 8 ,求边 c 的值.
2 2

C . 2

20.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c .已知

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? . cos B b

sin C 的值; sin A 1 (2) 若 cos B ? , ?ABC 的周长为 5,求 b 的长. 4
(1) 求

21.已知:函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? 1 .
2

(1)试讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2)若

1 ? a ? 1 ,且 f ( x) 在 [1,3] 上的最大值为 M (a) ,最小值为 N ( a ) ,令 g (a) ? M (a) ? N (a) , 3

求 g (a ) 的表达式.

22.设函数 f ( x) ? ln x ? ( x ? a) , a ? R .
2

(1)若 a ? 0 ,求函数 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小值; (2)若函数 f ( x ) 在 [ , 2] 上存在单调递增区间,试求实数 a 的取值范围; (3)求函数 f (x ) 的极值点.
第3页

1 2

2013~2014 学年度第一学期第一次单元检测 数学(文)答案
一、选择题: C B C A D 二、填空题 13.答案 -1 15. 答案 8 2 14.答案 f(a)<f(b) C A BDD C A

16.[答案] ②③

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(1) A ? x x 2 ? 5x ? 6 ? 0 ? ?2,3? A ? B ? A,? B ? A , ① m ? 0时, B ? ?, B ? A ;-------------------------------------------2 分 ② m ? 0 时,由 mx ? 1 ? 0, 得x ? ?

?

?

1 m

? B ? A,? ?

1 1 1 1 1 ? A, ? ? ? 2或 ? ? 3, 得m ? ? 或 ? -----------4 分 m m m 2 3

所以适合题意的 m 的集合为 ?0,?

? ?

1 1? ,? ? 2 3?

---------------------------------6 分

(2)p 是 q 的必要不充分条件,即 q? p 且 p 又 B=(2,3],当 a>0 时,A=(a,3a);

q,设 A={x|p(x)},B={x|q(x)},则 A

B,

-------------8 分

a<0 时,A=(3a,a).
?a≤2, ? 所以当 a>0 时,有? ? ?3<3a,

解得 1<a≤2;

-----------------10 分

当 a<0 时,显然 A∩B=?,不合题意. 综上所述,实数 a 的取值范围是 1<a≤2. π 18.解 (1)因为 f(x)= 3sin?x+2?+sin x ? ? = 3cos x+sin x=2? 3 1 ?=2sin?x+π?, ? 3? ? 2 cos x+2sin x? ---------------------12 分

--------6 分

所以 f(x)的最小正周期为 2π. π (2)∵将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象, 6 π π π ∴g(x)=f?x-6?=2sin[?x-6?+ ] ? ? ? ? 3 π =2sin?x+6? ? ?
第4页

---------------------8 分

π π 7π ∵x∈[0,π],∴x+ ∈?6, 6 ?, ? 6 ? π π π π ∴当 x+ = ,即 x= 时,sin?x+6?=1,g(x)取得最大值 2. ? ? 6 2 3 π π 7π 1 当 x+ = ,即 x=π 时,sin?x+6?=- ,g(x)取得最小值-1. ? ? 6 6 2 19.解: (1)已知 sin C ? cos C ? 1 ? sin ------------------12 分

C 2

? 2 sin

C C C C C C C cos ? cos 2 ? sin 2 ? cos 2 ? sin 2 ? sin 2 2 2 2 2 2 2

整理即有: 2 sin

C C C C C? C C ? cos ? 2 sin 2 ? sin ? 0 ? sin ? 2 cos ? 2 sin ? 1? ? 0 2 2 2 2 2? 2 2 ?

又 C 为 ?ABC 中的角,? sin

C ?0 2
2

C C 1 C? 1 C C C C 1 ? C ? sin ? cos ? ? ? sin ? cos ? ? ? ?2 sin cos ? cos2 ? sin 2 ? 2 2 2 2 2? 4 2 2 2 2 4 ?
? 2 sin C C 3 3 cos ? ? sin C ? 2 2 4 4
--------------------------- ------------6 分

(2)? a 2 ? b2 ? 4?a ? b? ? 8

?a 2 ? b2 ? 4a ? 4b ? 4 ? 4 ? 0 ? ?a ? 2? ? ?b ? 2? ? 0 ? a ? 2, b ? 2
2 2

由(1)中有 sin

C C C ? C ? ? ? ? cos ? 0 及 ? (0, ) 得 ? ( , ) ,?C ? ( , ? ) 2 2 2 2 2 4 2 2
2

又? cosC ? ? 1 ? sin C ? ?

7 , 4
-------------------------12 分 理 得

?c ? a2 ? b2 ? 2abcosC ? 7 ?1
20. 解 ( 1) 由 正 弦 定

a ? 2 R sin A,

b ? 2 R sin B,

c ? 2 R sin C ,





2sin ? C c o s A - 2 c o C s sin A 2 c - a = , = sin B c o s B b
n 即 sin B cos A ? 2sin B cos C ? 2sin C cos B ? sin A cos B , 即 有 s i A ? ( B ? ) 2 ? i, n ( Bs C即 )

sin C =2. -----------------6 分 sin A c sin C (2)由(1)知 =2,所以有 ? 2 ,即 c ? 2a ,又因为 ?ABC 的周长为 5,所以 b =5-3 a , sin A a 1 2 2 2 2 2 2 2 由余弦定理得: b ? c ? a ? 2ac cos B ,即 (5 ? 3a) ? (2a) ? a ? 4a ? , 4 解得 a =1,所以 b =2. -------------------12 分
sin C ? 2sin A ,所以
21.解: (1)当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? ?2 x ? 1在 (??, ??) 上为减函数;
第5页

当 a ? 0 时,抛物线 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 1 开口向上,对称轴为 x ? ∴函数 f ( x ) 在 (??, ] 上为减函数,在 [ , ??) 上为增函数 当 a ? 0 ,抛物线 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 1 开口向下,对称轴为 x ? ∴函数 f ( x ) 在 (??, ] 上为增函数,在 [ , ??) 上为减函数. (2)∵ f ( x) ? a( x ? ) ? 1 ?
2

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 1 1 1 ? a ? 1 得 1 ? ? 3 ∴ N (a) ? f ( ) ? 1 ? . 3 a a a 1 1 1 当 1 ? ? 2 ,即 ? a ? 1 时, M (a) ? f (3) ? 9a ? 5 ,故 g ( a ) ? 9a ? ? 6 ; a 2 a 1 1 1 1 当 2 ? ? 3 ,即 ? a ? 时, M (a) ? f (1) ? a ? 1 ,故 g ( a ) ? a ? ? 2 . a 3 2 a


1 1 1 ? ?a ? a ? 2, a ? [ 3 , 2 ] ? ∴ g (a) ? ? . ?9a ? 1 ? 6, a ? ( 1 ,1] ? a 2 ?
22(1) f (x ) 的定义域为 (0, ? ?) .

1 ? 2 x ? 0 ,所以 f ( x) 在 [1, e] 上是增函数, x 当 x ? 1 时, f ( x ) 取得最小值 f (1) ? 1 . 所以 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小值为 1.
因为 f ?( x) ? (2) f ?( x) ?
2

-----------------------4 分

1 2 x ? 2ax ? 1 , ? 2( x ? a) ? x x 设 g ( x) ? 2x2 ? 2ax ? 1 , 1 依题意,在区间 [ , 2] 上存在子区间使得不等式 g ( x) ? 0 成立. 2
注意到抛物线 g ( x) ? 2x2 ? 2ax ? 1 开口向上,所以只要 g (2) ? 0 ,或 g ( ) ? 0 即可.

1 2

9 , 4 1 1 3 由 g ( ) ? 0 ,即 ? a ? 1 ? 0 ,得 a ? , 2 2 2 9 所以 a ? , 4 9 所以实数 a 的取值范围是 ( ??, ) . ----------------------------------8 分 4 1 2 x 2 ? 2ax ? 1 解法二: f ?( x) ? ? 2( x ? a) ? , x x 1 依题意得,在区间 [ , 2] 上存在子区间使不等式 2 x2 ? 2ax ? 1 ? 0 成立. 2
由 g (2) ? 0 ,即 8 ? 4a ? 1 ? 0 ,得 a ?
第6页

又因为 x ? 0 ,所以 2a ? (2 x ? ) .

1 x

1 1 ,所以 2a 小于函数 g ( x) 在区间 [ , 2] 的最大值. 2 x 1 又因为 g ?( x ) ? 2 ? 2 , x 1 2 由 g ?( x ) ? 2 ? 2 ? 0 解得 x ? ; x 2 1 2 由 g ?( x ) ? 2 ? 2 ? 0 解得 0 ? x ? . x 2 2 1 2 所以函数 g ( x) 在区间 ( , 2) 上递增,在区间 ( , ) 上递减. 2 2 2 1 所以函数 g ( x) 在 x ? ,或 x ? 2 处取得最大值. 2 9 9 9 1 又 g (2) ? , g ( ) ? 3 ,所以 2 a ? , a ? 2 4 2 2 9 所以实数 a 的取值范围是 ( ??, ) . 4 2 2 x ? 2ax ? 1 (3)因为 f ?( x) ? ,令 h( x) ? 2 x2 ? 2ax ? 1 x ①显然,当 a ≤ 0 时,在 (0, ??) 上 h( x) ? 0 恒成立,这时 f ?( x) ? 0 ,此时,函数 f ( x ) 没有极值点; ②当 a ? 0 时, (ⅰ)当 ? ≤ 0 ,即 0 ? a ≤ 2 时,在 (0, ??) 上 h( x) ≥ 0 恒成立,这时 f ?( x) ≥ 0 ,此时,函 数 f ( x ) 没有极值点;
设 g ( x) ? 2 x ? (ⅱ)当 ? ? 0 ,即 a ?
2

2 时,

a? a ?2 a ? a2 ? 2 时, h( x) ? 0 ,这时 f ?( x) ? 0 ; ?x? 2 2 a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 当0 ? x ? 或x? 时, h( x) ? 0 ,这时 f ?( x) ? 0 ; 2 2 a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 所以,当 a ? 2 时, x ? 是函数 f ( x ) 的极大值点; x ? 是函数 f ( x ) 的极 2 2
易知,当 小值点. 综上,当 a ≤ 2 时,函数 f ( x ) 没有极值点; 当a ?

2 时, x ?

a ? a2 ? 2 是函数 f ( x ) 的极大值点; 2
-----------------------14 分

x?

a ? a2 ? 2 是函数 f ( x ) 的极小值点. 2

2013~2014 学年度第一学期第一次单元检测

高三数学(文)答题纸
命题人:付令铎
第7页

2013 年 10 月

注意事项: ⒈答题前,考生务必将本人班级、姓名、考号填写在相应位置. ⒉答第Ⅰ卷时,必须使用 2B 铅笔填涂答题卡上相应题目的的答案标号,修改时,要用橡皮擦干净. ⒊答第Ⅱ卷时, 必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写, 作图时, 可用 2B 铅笔, 要求字体工整、 笔迹清晰. 务 必在题号所指示的答题区域内作答. ⒋保持答题纸清洁、完整.严禁在答题纸上作任何标记,严禁使用涂改液、胶带纸、修正带. 题 号 得 分 阅卷人 二 三 17 18 19 20 21 22 卷Ⅱ总分

得分

评卷人

二、填空题(每小题 4 分)

13.

14.

15.

16.

第8页

得分

评卷人

三、17. (本小题满分 12 分)

第9页

得分

评卷人

三、18. (本小题满分 12 分)

第 10 页

得分

评卷人

三、19. (本小题满分 12 分)

第 11 页

得分

评卷人

三、20. (本小题满分 12 分)

班级

姓名

考号

第 12 页

得分

评卷人

三、21. (本小题满分 12 分)

第 13 页

得分

评卷人

三、22. (本小题满分 14 分)

第 14 页

第 15 页


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