北京市朝阳区2012届高三上学期文科数学期末考试试题及答案

北京市朝阳区 2012 届高三上学期文科数学期末考试试题
(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分( 第一部分(选择题 共 40 分)
注意事项:考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上答无效。 注意事项:考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上答无效。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.已知集合 M = {x | x < 3}, N = {x | log 2 x > 1} ,则 M ∩ N 等于 A. φ C. {x | 0 < x < 3} ( )

1 < x < 3} 2 D. {x | 2 < x < 3}
B. {x | ( )

2.已知平面向量 a = (3,1) , b = ( x,3) ,且 a ⊥ b ,则实数 x 的值为 A. ?9 3. 函数 y = ? B. ?1 C. 1 D. 9

? x 2 ( x < 0) ? 的图象大致是 ?2 x ? 1( x ≥ 0) ?





4. 设数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列, a1 = 1 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则 {an } 的前 n 项 ( ) A. 和

Sn





n 2 7n + 8 8 n 2 3n + 2 4

B.

n 2 7n + 4 4
2

C.

D. n + n )

5.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( A. 1 B. ?1 C. ?2 D. 0

1

6. 函数 f ( x ) = 2 ?
x

A. (1,3)

2 ? a 的一个零点在区间 (1, 2) 内,则实数 a 的取值范围是( x B. (1, 2) C. (0,3) D. (0, 2)



7. 已知函数 f ( x ) = sin x + 3 cos x ,设 a = f ( ) , b = f ( ) , c = f ( ) ,则 a, b, c

π

π

π

7

6

3

的大小关系是 A. a < b < c

( B. c < a < b C. b < a < c D. b < c < a



8. 已 知 集 合 A = {( x, y ) | x = n, y = na + b, n ∈ Z} , B = {( x, y ) | x = m, y = 3m + 12,
2

m ∈ Z } .若存在实数 a, b 使得 A ∩ B ≠ ? 成立,称点 (a, b) 为“£”点,则“£”点在平面
区域 C = {( x, y ) | x + y ≤ 108} 内的个数是
2 2

( D. 无数个

)

A. 0

B. 1

C. 2

第二部分(非选择题 共 110 分) 二部分(
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上.

? x ≥ 1, ? 9. 若变量 x , y 满足约束条件 ? y ≥ x, 则 z = 2 x + y 的最大值为 . ?2 x + 3 y ≤ 6, ? 10. 已知有若干辆汽车通过某一段公路,从中抽取 200 辆汽车进行测速分析,其时速的频
率分布直方图如图所示,则时速在区间 [60, 70) 上的汽车大约有
频率 组距

辆.

0 04 0 03 0 02 0 01
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t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

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O

40 50

60 70

80 时速(km/h)

则这个几何体 11. 某几何体的三视图如图所示, 的体积是 .

3

3
主视图 2 俯视图

2 2 侧视图

2

2

12. 设直线 x ? my ? 1 = 0 与圆 ( x ? 1) + ( y ? 2) = 4 相交于 A , B 两点,且弦 AB 的长为
2 2

2 3 ,则实数 m 的值是

.

13. 某公司购买一批机器投入生产,据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润 y (万 元)与机器运转时间 x (年数, x ∈ N )的关系为 y = ? x + 18 x ? 25 .则当每台机器运转
2
?

年时,年平均利润最大,最大值是

万元.

14. 已知两个正数 a, b ,可按规则 c = ab + a + b 扩充为一个新数 c ,在 a, b, c 三个数中取两个 较大的数,按上述规则扩充得到一个新数,依次下去,将每扩充一次得到一个新数称为一次 操作. (1)若 a = 1, b = 3 ,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________; (2)若 p > q > 0 ,经过 6 次操作后扩充所得的数为 ( q + 1) ( p + 1) ? 1 ( m, n 为正整数) ,
m n

则 m, n 的值分别为______________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本题满分 13 分) 在锐 角 三角形 ABC 中, a , b , c 分别 为内 角 A , B , C 所对 的 边,且满足

3a ? 2b sin A = 0 .
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b =

7 , c = 2 ,求 ABi AC 的值.


16. (本题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 S ? ABCD 中, 平面 SAD ⊥ 平面 ABCD . 四边形 ABCD 为正方形, P 且 AD 的中点, Q 为 SB 的中点. (Ⅰ)求证: CD ⊥ 平面 SAD ; (Ⅱ)求证: PQ // 平面 SCD ; (Ⅲ)若 SA = SD , M 为 BC 中点,在棱 SC 上是否存在点 N , 使得平面 DMN ⊥平面 ABCD ,并证明你的结论. P 17. (本题满分 13 分) A S Q

C D B
·

M

如图, 一个圆形游戏转盘被分成 6 个均匀的扇形区域. 用力旋转转盘, 转盘停止转动时, 箭头 A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动) , 且箭头 A 指向每个区域的可能性都是相等的.在一次家庭抽奖的活动 中,要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘, 得分记为 (a, b)(假设儿童和成人的得分互不影响,且每个家庭只能参 加一次活动) . 2 3 5 5 3 2 A

3

(Ⅰ)请列出一个家庭得分 (a, b) 的所有情况; (Ⅱ)若游戏规定:一个家庭的总得分为参与游戏的两人所得分数之和,且总得分为偶数的 家庭可以获得一份奖品.请问一个家庭获奖的概率为多少? 18. (本题满分 13 分) 设函数 f ( x) = a ln x +

ax 2 ? 2 x, a ∈ R . 2

(Ⅰ)当 a = 1 时,试求函数 f ( x) 在区间 [1,e] 上的最大值; (Ⅱ)当 a ≥ 0 时,试求函数 f ( x) 的单调区间. 19. (本题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 3 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 ,且过点 P (1, ) , F 为其右焦点. 2 a b 2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 A(4, 0) 的直线 l 与椭圆相交于 M 、 N 两点(点 M 在 A, N 两点之间) ,若

△ AMF 与 △MFN 的面积相等,试求直线 l 的方程.
20. (本题满分 14 分) 数列 {an } , {bn } ( n = 1, 2,3,? )由下列条件确定:① a1 < 0, b1 > 0 ;②当 k ≥ 2 时,

a k 与 bk 满足:当 a k ?1 + bk ?1 ≥ 0 时, a k = a k ?1 , bk = ak = a k ?1 + bk ?1 , bk = bk ?1 . 2

a k ?1 + bk ?1 ;当 a k ?1 + bk ?1 < 0 时, 2

(Ⅰ)若 a1 = ?1 , b1 = 1 ,求 a2 , a3 , a4 ,并猜想数列 {a n } 的通项公式(不需要证明) ; ( Ⅱ ) 在 数 列 {bn } 中 , 若 b1 > b2 > ? > bs ( s ≥ 3 , 且 s ∈ N * ) , 试 用 a1 ,b1 表 示 bk ,

k ∈ {1,2,?, s} ;
( Ⅲ ) 在 ( Ⅰ ) 的 条 件 下 , 设 数 列 {c n } (n ∈ N*) 满 足 c1 =

1 , cn ≠ 0 , 2

cn +1 = ? cn < 1 .

22 ? m 2 cn + cn (其中 m 为给定的不小于 2 的整数),求证:当 n ≤ m 时,恒有 mam

4

参考答案
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 题号 (9) 答案 (1) D (2) B (3) B (4) A

2012.1

(5) D

(6) C

(7) B

(8) A

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

18 5

80

3 3

3 ± 3

5

8

255

8,13

注:若有两空,则第一个空 3 分,第二个空 2 分. 三、解答题: (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由 3a ? 2b sin A = 0 , 根据正弦定理得:

3 sin A ? 2sin B sin A = 0 .………………………………………………………3 分
因为 sin A ≠ 0 ,所以 sin B = 又 B 为锐角, 则 B = (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, B =

π
3

3 . ………………………………………………5 分 2
…………………………………………………6 分

.

π
3

.因为 b =
2

7 ,c = 2,

根据余弦定理,得 7 = a + 4 ? 4a cos
2

π
3

, ……………………………………8 分

整理,得 a ? 2a ? 3 = 0 .由于 a > 0 ,得 a = 3 . ……………………………10 分 于是 cos A =

b2 + c2 ? a2 7 + 4 ? 9 7 = = , 2bc 14 4 7

………………………………11 分

所以 AB i AC = AB i AC cos A = cb cos A = 2 × 7 ×

7 = 1 . ……………13 分 14

(16) (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)因为四边形 ABCD 为正方形,则 CD ⊥ AD . …………………1 分 又平面 SAD ⊥ 平面 ABCD ,

5

且面 SAD ∩ 面 ABCD = AD , 所以 CD ⊥ 平面 SAD . ………………………………………………………3 分 (Ⅱ)取 SC 的中点 R,连 QR, DR.
1 由题意知:PD∥BC 且 PD= BC.…………………4 分 2 在 ?SBC 中, Q 为 SB 的中点,R 为 SC 的中点, 1 所以 QR∥BC 且 QR= BC. 2
P A

S R(N) Q C D O B ·M

所以 QR∥PD 且 QR=PD,

则四边形 PDRQ 为平行四边形. …………………………………………………7 分 所以 PQ∥DR.又 PQ ? 平面 SCD,DR ? 平面 SCD, 所以 PQ∥平面 SCD. ……………………………………………………………10 分 (Ⅲ)存在点 N 为 SC 中点,使得平面 DMN ⊥ 平面 ABCD . ………………11 分 连接 PC、 DM 交于点 O ,连接 PM 、 SP , 因为 PD // CM ,并且 PD = CM , 所以四边形 PMCD 为平行四边形,所以 PO = CO . 又因为 N 为 SC 中点, 所以 NO // SP .………………………………………………………………………12 分 因为平面 SAD ⊥ 平面 ABCD ,平面 SAD ∩ 平面 ABCD = AD ,并且 SP ⊥ AD , 所以 SP ⊥ 平面 ABCD , 所以 NO ⊥ 平面 ABCD , ……………………………………………………13 分 又因为 NO ? 平面 DMN , 所以平面 DMN ⊥ 平面 ABCD .……………………………………………………14 分 (17) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意可知,一个家庭的得分情况共有 9 种,分别为 (2, 2), (2,3), (2,5), (3, 2) ,
(3,3), (3,5), (5,3), (5, 2), (5,5) .

…………………………………………………………7 分

(Ⅱ)记事件 A:一个家庭在游戏中获奖,则符合获奖条件的得分情况包括 (2, 2) , (3,3), (3,5), (5,3), (5,5) 共 5 种, ……………………………………………11 分 所以 P( A) =
5 . 9

5 所以一个家庭获奖的概率为 . 9

…………………………………………………13 分

(18) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (0, +∞) . 当 a = 1 时, f ( x) = ln x + ………………………………………………1 分

x2 1 ( x ? 1)2 ? 2 x ,因为 f ′( x) = + x ? 2 = ≥ 0, 2 x x

…3 分

所以函数 f ( x) 在区间 [1,e] 上单调递增,则当 x=e 时,函数 f ( x) 取得最大值

6

e2 f (e) = 1 + ? 2e . 2
(Ⅱ) f ′( x ) =

…………………………………………………………………5 分

ax 2 ? 2 x + a . x

………………………………………………………6 分

当 a = 0 时,因为 f ′( x) = ?2 < 0 ,所以函数 f ( x) 在区间 (0, +∞) 上单调递减;…7 分
2 当 a > 0 时,⑴当 ? = 4 ? 4a ≤ 0 时,即 a ≥ 1 时, f ′( x) ≥ 0 ,所以函数 f ( x) 在区

间 (0, +∞) 上单调递增;
2

…………………………………………………………9 分

⑵当 ? = 4 ? 4a > 0 时,即 0 < a < 1 时,由 f ′( x) > 0 解得,

0< x<

1 ? 1 ? a2 1 + 1 ? a2 ,或 x > . …………………………………………10 分 a a 1 ? 1 ? a2 1 + 1 ? a2 <x< ; a a
………………………………11 分

由 f ′( x) < 0 解得

1 ? 1 ? a2 ) 上单调递增;在 所以当 0 < a < 1 时,函数 f ( x) 在区间 (0, a 1 ? 1 ? a2 1 + 1 ? a2 1 + 1 ? a2 ( , ) 上单调递减, ( , +∞) 单调递增. a a a
(19) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 ………13 分

c 1 = ,所以 a = 2c , b = 3c . a 2

…………………………………1 分

x2 y2 3 1 3 设椭圆方程为 2 + 2 = 1 ,又点 P (1, ) 在椭圆上,所以 2 + 2 = 1 , 4c 3c 2 4c 4c
解得 c = 1 ,
2

…………………………………………………………………………3 分

所以椭圆方程为

x2 y 2 + = 1. 4 3

…………………………………………………………4 分

(Ⅱ)易知直线 l 的斜率存在, 设 l 的方程为 y = k ( x ? 4) , ……………………………………………………………5 分

? y = k ( x ? 4), ? 2 消去 y 整理,得 y2 由? x = 1, ? + 3 ? 4

7

(3 + 4k 2 ) x 2 ? 32k 2 x + 64k 2 ? 12 = 0 ,
2 2 2 2

………………………………………………6 分

由题意知 ? = (32k ) ? 4(3 + 4k )(64k ? 12) > 0 , 解得 ?

1 1 <k< . 2 2

……………………………………………………………………7 分

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 + x2 = 因为 △ AMF 与 △MFN 的面积相等,

32k 2 64k 2 ? 12 ?????? ①, x1 x2 = , .… ②. 3 + 4k 2 3 + 4k 2

所以 AM = MN ,所以 2 x1 = x2 + 4 . ?????? ③ 由①③消去 x2 得 x1 =

……………………………………10 分

4 + 16k 2 . ?????? ④ 3 + 4k 2 64k 2 ? 12 . ?????? ⑤ 3 + 4k 2

将 x2 = 2 x1 ? 4 代入②得 x1 (2 x1 ? 4) =

4 + 16k 2 4 + 16k 2 64k 2 ? 12 将④代入⑤ (2 × ? 4) = , 3 + 4k 2 3 + 4k 2 3 + 4k 2
整理化简得 36k = 5 ,解得 k = ±
2

5 ,经检验成立. 6

…………………………12 分

所以直线 l 的方程为 y = ± (20) (本小题满分 14 分)

5 ( x ? 4) . 6

…………………………………………13 分

(Ⅰ)解:因为 a1 + b1 = 0 ,所以 a 2 = a1 = ?1 , b2 =

a1 + b1 = 0. 2

……1 分

因为 a 2 + b2 = ?1 < 0 ,则 a 3 =

a 2 + b2 1 = ? , b3 = b2 = 0 . 2 2

………………2 分

a4 =

a3 + b3 a3 1 = =? 2 . 2 2 2

……………………………………………………3 分
n? 2

?1? 猜想当 n ≥ 2 时, an = a2 × ? ? ?2?

?1? = ?1 ? ? ? ?2?

n? 2

=?

1 2
n?2

.

? ?1, n = 1, ? 则 an = ? 1 ?? n ? 2 , n ≥ 2. ? 2

…………………………………………………………4 分

(Ⅱ)解:当 2 ≤ k ≤ s 时,假设 ak ?1 + bk ?1 < 0 ,根据已知条件则有 bk = bk ?1 ,
8

与 b1 > b2 > ? > bs 矛盾,因此 ak ?1 + bk ?1 < 0 不成立,

……………………5 分

所以有 ak ?1 + bk ?1 ≥ 0 ,从而有 ak = ak ?1 ,所以 ak = a1 .

……………………6 分

当 a k ?1 + bk ?1 ≥ 0 时, a k = a k ?1 , bk = 所以 bk ? ak =

a k ?1 + bk ?1 , 2
…………………………8 分

ak ?1 + bk ?1 1 ? ak ?1 = (bk ?1 ? ak ?1 ) ; 2 2
1 (bk ?1 ? ak ?1 ) 成立. 2

当 2 ≤ k ≤ s 时,总有 bk ? ak = 又 b1 ? a1 ≠ 0 ,

所以 {bk ? ak } ( k = 1,2,?, s )是首项为 b1 ? a1 ,公比为

1 的等比数列, ……9 分 2

?1? bk ? ak = (b1 ? a1 )? ? ?2?

k ?1

, k = 1, 2,? , s ,

又因为 ak = a1 ,所以 bk = (b1 ? a1 )? ?

?1? ?2?

k ?1

+ a1 .

…………………………10 分

22 ? m 2 (Ⅲ)证明:由题意得 cn +1 = ? cn + cn mam 1 2 cn + cn . m 1 2 1 2 因为 cn +1 = cn + cn ,所以 cn +1 ? cn = cn > 0 . m m =
所以数列 {cn } 是单调递增数列. ………………………………………………11 分

因此要证 c n < 1( n ≤ m) ,只须证 c m < 1 . 由 m ≥ 2 ,则 c n +1 =

1 2 1 1 1 1 c n + c n < c n c n +1 + c n ,即 ? > ? . …12 分 m m cn +1 cn m

因此

1 1 1 1 1 1 1 1 )+( ) +?+ ( ? ) + =( ? ? cm c m c m?1 c m ?1 c m ?2 c 2 c1 c1
>? m ?1 m +1 +2= . m m

9

所以 cm <

m <1. m +1
………………………………………………………14 分

故当 n ≤ m ,恒有 c n < 1 .

10


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