人教版2017高中数学(选修4-4)2.2圆锥曲线的参数方程PPT课件_图文

二 圆锥曲线的参数方程 【自主预习】 椭圆、双曲线、抛物线的普通方程和参数方程 圆锥曲线 普通方程 参数方程 椭圆 x y ? 2 ?1 2 a b (a>b>0) 2 2 ? x ? acos?, _____________ ? ? y ? bsin? (φ为参数) 圆锥曲线 双曲线 普通方程 参数方程 (a>0,b>0) x 2 y2 ? 2 ?1 2 a b (φ为参数) ? x ? asec?, ? ? y ? btan? 抛物线 ___________ y2=2px(p>0) 2p ? x? 2 , ? ? tan ? ? 2p ? (α 为参数) y? ? ? tan? 【即时小测】 1.参数方程 ?x ? cos?, (θ为参数)表示的曲线为( ? ? y ? 2sin? ) 【解析】选B.由参数方程 ?x ? cos?, (θ为参数)得 ? y ? 2sin ? ? x ? cos ? , ? 2+ 2 =1,表示焦点在y轴 将两式平方相加 , 得 x ? y ?y ? sin?, ? 4 上的椭圆 . 2 ? x ? sin?, ? 1 2.直线y=2x与曲线 ? (φ为参数)的交点坐 2 ? y ? cos 2? 标是________. 【解析】因为cos2φ=1-2sin2φ, 所以曲线方程化为y=1-2x2,与直线y=2x- 1 联立, 2 解得:? 1 ? 3 x ? , ?x ? ? , ? ? 2 ? 2 或 ? ? ?y ? 1 ?y ? ? 7 , ? 2 ? 2 ? ? 3 ? x?? , ? 2 不符合题意,舍去, 由-1≤sinφ≤1,故 ? ? ?y ? ? 7 ? 2 1 1 ? 则直线与曲线的交点坐标为 ( , ). 2 2 答案: 1 1 ( ,) 2 2 【知识探究】 探究点 圆锥曲线的参数方程 1.椭圆的参数方程中参数的几何意义是什么? 提示:椭圆的参数方程中,参数φ的几何意义为椭圆上 任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角α区分开来, 除了点M在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外 (即在0到2π的范围内),在其他任何一点,两个角的数 值都不相等.但当0≤α≤ 时,相应地也有0≤φ≤ , ? 在其他象限内也有类似范围. 2 ? 2 2 ? x ? 2pt , 2 2.抛物线y =2px(p>0)的参数方程 ? (t为参数) ? y ? 2pt 中参数t的几何意义是什么? 提示:由抛物线参数方程的推导过程可知,参数t表示抛 物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数 . 【归纳总结】 1.椭圆的参数方程 ? x ? acos?,中的参数φ与圆的参数 ? ? y ? bsin? 方程 ? x ? rcos?, 中的参数 θ意义的区别 ? 从椭圆参数方程的推导过程可以看出参数 φ是椭圆上 ? y ? rsin? 的点M所对应的大圆的半径OA的旋转角,不是OM的旋转 角,而圆的参数方程中的θ是半径OM的旋转角,椭圆参 数方程中的φ称为点M的离心角. 2.余切函数、正割函数、余割函数与双曲线的参数方 程 (1)定义. 如图,已知点P(x,y)是角α的终边上异于原点的任一点 (角α的始边是x轴的正半轴,顶点是坐标原点),其到原 点的距离为|OP|=r,则 x r r ,, y x y 分别叫做角α的余切函 数、正割函数、余割函数,表示为cotα= x , { α| α≠ kπ,k∈Z};secα= r {α|α≠kπ+ ? k∈Z};cscα= y { α | α ≠k π ,k∈Z}. r x , 2 , y , x ? asec?, (2)双曲线 x 2 y2 (a>0,b>0)的参数方程为 ? ? ? 2 ?1 2 ? y ? btan?. a b (α为参数,且α≠kπ+ ? k∈Z)双曲线 y2 x 2 ? 2 ?1 , 2 a b (a>0,b>0)的参数方程为 2 (α为参数 , 且α≠ ? x ? bcot ?, ? kπ,k∈Z) ? y ? acsc ?. 类型一 椭圆的参数方程与应用 【典例】已知曲线C1的参数方程是 ?x ? 2cos?, (φ为参数) ? y ? 3sin?, ? 以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程是ρ=2,正方形ABCD的顶点都在C2 上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为 ? (2, ), 3 (1)求点A,B,C,D的直角坐标. (2)求曲线C1的普通方程,判断曲线形状. (3)设P为C1上任意一点,求 值范围. 的取 |PA| ? | PB| ? | PC| ? | PD| 2 2 2 2 【解题探究】(1)典例(1)中如何求各点的直角坐标? 提示:先求A点的直角坐标,由对称性求其余各点的坐标. (2)曲线C1的形状是什么? 提示:将曲线C1的参数方程化为普通方程,是椭圆. (3)如何求距离平方和的取值范围? 提示:利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最值问题 . 【解析】(1)由曲线C2的极坐标方程ρ=2,可知曲线C2 是圆心在极点,半径为2的圆,正方形ABCD的顶点都在C2 上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为 故 5? B(2, ), 6 由对称性得,直角坐标分别为 ? (2, ), 3 A(1, 3),B(? 3,1), C(?1, ? 3),D( 3, ?1). ? x ? 2cos?, (2)由曲线C1的参数方程 ? (φ为参数) ? y ? 3sin ?, ?x 得 ? ? cos ?, 两式平方相加得 x 2 y2 ?2 ? ? 1. ? 4 9 ? y ? sin ?, 所以曲线是焦点在 y轴上的椭圆. ? ?3 (3)由于点P为曲线C

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